任意摆角单摆运动周期的一个近似公式

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摆角单意运动摆周的期一个似公式近鞠衍

（辽东清学院 科处研，宁 辽东丹%%+"" ( ）

摘

要：利用

性线值插的法， 方提了在一个任意摆角条件下出单摆的动运期周近的公式似 &同时 利

用,./0--.23-1软 ， 件在对不摆 同 下角 的单摆 振动 周期 进 行了精 确 计 算 ， 并制出了精绘确解的 线 曲& 将导出推的近似式与公精该确及其解他近似式公行进了 对比 & 结果表 明： 该似公近的式导为 推决类解似问题供提了一个好的较路， 思结其与果精确也符 解 合 很得好 而& ， 从推且过导程出得的图 像可比中较直地看出观单摆作简谐振所动的小需角条件 度 关&键 词：单摆 ；谐简动振；周期,；-.0/1.-23 -件；线性插软 文值标识码：5 中图献分号：4类( %!

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!— 摆角；；# ! — 加速度角 ’

微分方程此以求难解， 此在一般情因况，下本 只讨论在文摆角小时很，利 用 E 92 !! ! 的 近似 ，将单作为一摆种简 谐 振 动来研 究， 并可得出时 单此摆的动周期为振 (" $ ! !收

稿期日：""#!$ " $%%# &金项目：辽基宁省教育厅年基青资金项助目 （!"’"%(" ) ）&作者简 介鞠衍： 清 %)#* $ （ ，） ，男辽 宁丹东，人 硕士， 副授，教 要主事大学物从理教学与的究 &

研

图 %2R

摆运单动

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但是，当 摆较角时大 一（般 认 为 大 于 ) *时） ， 公该便式不适用 了， 因 为

E29 ! !!已不 再 成立 ［%］’此时单摆的振 周期动须必 方 程用 （% ）的 精 确 式 解（( ）示表 ’

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而得到从摆运动单期周一的新的近个公似 式（( ! ） ""!（ ( 9’） ( #$（ :

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于由此微 分方 程 及涉 到 第一 类 椭圆积 分 ，

难!［ ］以求解， 使 用起 很来不 便 ) 此， 为一文献些用利［( *+］ 各不相同 方的 法， 出了给多种近似式公)其

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与确精及解其它似公近式的比

较该似近公与精确解的式较 比考察为 式:（ ）的确程精度 可以，通过值计算

数中

乏不较比精的， 确但有也度精微稍一些差 的 本) 文试从另图外个角度提出一一个的近新公似 式

)的方法， 并

通图过示将其来与精解确进行较 )比

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过导程

在 式公（ ( ） ， 积分的难中点在于积被数函

中!

）区 间 式对 利 用;=

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的处母理 因，它为不一是个简单数 函 如$果能找 范!围内某个简的函单数该函与 一到 在个 "， ! 数比接近较， 则该分积便方便可求地 出$为此 研究

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" ]下该函 一数， 为方 便 ，计 本 文令 % %&"’（" ）及

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（ 于 对%） " $ #" % !%&’! ! $从图 ! 可 看 出 &，!， ! 范 内 的围 同不的 ， "， % 是 ） 个 一平 滑 &， ""!（ !

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数，函而 且 波 浪呈状 $ 利用该 曲线 的 这 一 特 殊 性

［，,， -］ 采可 用 性线 值插的 方 ， 法一用条线直替代来

它$该线直为通过点即（ " （ !， ， ）$及点 $ #!%） ! 的"线直 （’!， "" ）! （’ !，" "） $ #"（ $ # # !）!

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图 (

公 （:）式与精确解的 较比

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从图

(中 可 看出 ，式 （ :） 精 确 与解符 合 很得好 （中图实线精为确，解虚 曲线为似近） 解 !"$! 同其它似公式近比较的为同现 有 文 献 给出 几 的 近 种 似 公 加式 以 比， 本文较用采上相述同方的，法同样给 这出些公 式与精解的比确较线，曲 图 见 :* , $中其包括 "! ［ ! ］ !）" $（+ !" $,(

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为此，式 （(） 可进近行积似

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!! ） 区间内 的 任何 摆相比 之 下 可看 出 （" 在 ， 角， 本!得文的出公式似近度程相当是好的 $

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论）本文 $提 出的 公式 是 用 利了椭 圆 分积中 的

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第 M"卷

被积函 的数 一 特种殊 况 情 推 而导出 的 虽 !然似 乎 出于一种合巧 但可，为一作思路， 来种决类似解 的问题 !"）该公式与精 解确符得合好 !很不足 处之 稍是嫌繁 琐（因为 涉 及 三要角 函 数 及 数对的 计 算）， 利但一用的般算器计 该，问题可容易解 !

! 决比的值可也看出 !

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=［］件 （ > 从5,76*,&85 的计算结 果,和 图 ; 可 看，出

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（ 当 !

参文考：献［ ］ >3-,&/ ) (2,!.&.8,2 A@,/*&.［8> ］ ! B7 4C -)D ： E,@87&8* 39$=! -7..， ［F ］ " 立宣新 ! 等高 数 ［学 > 高 ］等教 育 出 版 社， !北 ：京 ==3 != （G 1, / HG I!’67&-* 5,67,*58&. ［ >］ !7&KJ&/’ ： &’I76@L8,15&/) F-..7， ===3 !） ; ］ 贾［ 润玉 ，王公 治， 凌 玲佩! 大 物 理 学实验［ > ］ ! 上 海 复：大学旦出版社，3 =M ! （ N&: ,CO ， P, ’ Q/ R， H/& ’FH ! )22(’7 +67.&A.8 7+S-&T7! U,/’6,&6 ：%1,@ V//& W-.7&A5 F-.7， .=3:M! ） * /75［. ］ >［ #］ > )2&/, X>! Y 6 27&7/-,&Z5&),/)0 56 7&.+*2 +77@1/21*（"） ： !FA.&8.6Y 7,87- ，63 == :M#= )- 0,A ,*+/25&@7［1N ］ [#= ］ !"［ ］!J7&K /& ’： 1F\2&.6&’/， I)1.7 0 )L7852-)/8& .X@/15.-A" ］中 国矿 业 学 大出 版社， 徐 州!：3==M ! U（/ U H 1!( *+1)&/’5* 57)6［@> ］ ! G1Z)16 (：&/,6V &T 3/=M !=） W7.-5&A )0>& /&/’ ,@/Y7 68/2)’) F-7.A. ，子电工 ［业 ］M徐安农 ! > ,576,5*8&, 数实 学［ 验 ］ !> 北 ：京出版 ， 社"67*,55&87 S+7-*7&/5.4& 5 6*567,*5&,,8［ ］> J7&K!/’&： I&6’- L71@8,5&)/F-7. . ，验 ］ 京北 高 ： 教等 育 出版 ， 社! " J!&7&/K’ ：I&’6 7-L @1,5&8/ )F-..， 7

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