立体几何常考定理总结(八大定理)
立体几何的八大定理
一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行
文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行. ．．
a
a ⊄α⎫
⎪
符号语言：b ⊂α⎬⇒a //α
a //b ⎪⎭
关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行
b
文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直．．．．
线就和交线平行. ．．
β
l
⎫
⎪
符号语言：l ⊂β⎬⇒l //m
α⋂β=m ⎪⎭
l //α
m
α
关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． ．．．．．．．．
⎫b ⊂α⎪⎪⎪
符号语言：a b =A ⎬⇒α//β
⎪a ∥β
⎪
b ∥β⎪⎭
关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时和第三．．．．个平面相交, 那么所得的两条交线平行. ．．．．．符号语言:
文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个．．平面.
符号语言:α//β, a ⊂α⇒a //β 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．
a ⊂α
α//β⎫⎪
α⋂γ=a ⎬⇒a //b β⋂γ=b ⎪⎭
关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行 ．．．．．．．
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五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直
文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面. ．．．．．．
a ⊥m ⎫
⎪a ⊥n ⎪
符号语言：⎬⇒a ⊥α
m ⋂n =A ⎪m ⊂α, n ⊂α⎪⎭
关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直
a
A
α
m
n
文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线. ．．
l ⊥α⎫
符号语言：⎬⇒l ⊥a
a ⊂α⎭
关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. ．．
（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）
a ⊥α⎫符号表示：⎬⇒α⊥β
a ⊂β⎭
关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直
β
a
文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一．．．．
个平面.
α⊥β⎫
α β=l ⎪⎪
符号语言：⎬⇒AB ⊥β
AB ⊂α⎪
AB ⊥l ⎪⎭
关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
A l B
2
3
4