函数的奇偶性2.1.4
2.1.4 函数的奇偶性
知识结构 理清知识脉络
问题感知 激活思维火花
问题探究1、分析取整函数f(x)=[x], y=x-[x]的奇偶性。 问题探究2、
函数y=
1 (x ≤ 0 ) 是奇函数,这种说法正确吗? -1 (x>0)
新知导航 梳理核心知识
1. 奇函数:_____________________________________________. 2. 偶函数:_______________________________________________.
3. 奇函数的图象关于_____________对称,偶函数的图象关于______
____对称。
自主学习 享受探究乐趣
一、 相关知识回顾
问题探究1、什么叫增函数、减函数的定义,并复述证明函数单调性的步骤;
合作交流:
生1:一般地,设函数f (x ) 的定义域为A ,区间M ⊆A 。
如果对于区间M 内的任意两个自变量的值x 1、x 2,
当改变量∆x=x2 - x1>0时都有∆y= f(x2)-f(x1)>0,,那么就说f (x ) 在这个区间M 上是增函数。
如果对于区间M 内的任意两个自变量的值x 1、x 2,
当改变量∆x=x2 - x1>0时都有∆y= f(x2)-f(x1) <0, ,那么就说f (x ) 在这个区间M 上是减函数。
生2:用定义法证明函数单调性的步骤?
第一步:取值。即设x 1,x 2是该区间内的任意两个值,且x 1
第二步:求∆y . 即计算f(x2)-f(x1), 并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断∆y 的符号的方向变形。
第三步:定号。确定∆y 的符号,当符号不确定时,可以进行分步讨论。 第四步:判断。根据定义作出结论。
2
.函数y =的单调递增区间是 .
合作交流:
2
生:二次函数y = -(x+1)+ 9 =-(x-2)(x+4)的对称轴为x= -1;与x 轴的交点为(-4,0)和(2,0).
所以函数y =的定义域为[-4,2]
它的单调增区间为[-4,-1].
3. 轴对称与中心对称图形的概念 合作交流:
生:轴对称图形的定义:如果一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线是它的对称轴。
中心对称图形的概念:如果一个图形绕着一点旋转180度后,能够和图形原来的位置重合,这个图形就叫做中心对称图形。这一点是它的对称中心。
二、 新知识学习
知识点1、奇函数、偶函数的定义
问题探究1、请同学们观察图形,说出函数y =x 和y =x 的图象各有怎样的对称性?
2
3
3 y =x 2
y =x
分析:图1整个图象关于y 轴对称,图2整个图象关于原点对称。 抽象概括:
(1)偶函数的定义:一般地,设函数的定义域为D , 如果对D 内的任意一个x, 都有-x ∈D,
且f (-x ) =f (x ) ,那么函数f (x ) 就叫做偶函数。
例如:函数f (x ) =x +1, f (x ) =x -2等都是偶函数。 (2)奇函数的定义:一般地,设函数的定义域为D , 如果对D 内的任意一个x, 都有-x ∈D, 且f (-x ) =-f (x ) ,那么函数f (x ) 就叫做奇函数。 例如:函数f (x ) =x ,f (x ) =
2
4
1
都是奇函数。 x
(3)奇偶性的定义:如果函数f (x ) 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f (x ) 具有奇偶性。
说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数:
(1)其定义域关于原点对称;在奇函数和偶函数的定义中都要求x ∈D, -x∈D, 也就是说,一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域都一定关于坐标原点对称。如果一个函数的定
义域关于坐标原点不对称,那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件,既这个函数既不是奇函数也不是偶函数。
(2) f (-x ) =f (x ) 或f (-x ) =-f (x ) 必有一成立。否则是非奇非偶函数。
(3)函数f (x ) =0既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足
f (x ) =f (-x ) 也满足f (x ) =-f (-x ) 。
(4)奇函数若在x =0时有定义,则f (0)=0.因为f(-0)= -f(0), 所以2f(0)=0,f(0)=0. 知识点2、按函数的奇偶性,函数的分类
(1)是奇函数但不是偶函数 (2)是偶函数但不是奇函数 (3)是奇函数又是偶函数 (4)非奇非偶函数
知识点3、奇偶函数的图象的对称性
一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称,反过来,如果一个函数的图形关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数。
2
例:已知定义在区间[-2,2]上的函数f(x)的图象关于原点对称,且x ∈[0,2],f(x)=x+x, 求x ∈[-2,2],f(x)的解析式。
解:由条件函数f(x)的图象关于原点对称, 可知f(x)为[-2,2]上是奇函数, 所以x ∈[-2,0]时,f(x)= -f(-x), 这时,-x ∈[0,2]
22
所以f(x)=-f(-x)=(-x)-x=x-x.
所以区间[-2,2]上函数f(x)的解析式为
X 2-x x ∈[-2,0] f(x)=
X 2+x x ∈[0,2]
知识点4、用定义判断函数奇偶性的步骤
(1) 考查定义域是否关于原点对称; (2) 判断f(-x)=±f(x)之一是否成立;
其中第(2)步也可用等价形式f(-x)-f(x)=0或f(-x)+f(x)=0去判断。 问题探究:怎样判断函数的奇偶性? 合作交流: 生:(1)定义法(2)图象法,就是作出函数的图象,然后观察图象是否关于 y轴对称,或关于原点对称。(3)利用结论:在公共定义域内,两个偶(或奇)函数的和或差为偶(或奇)函数;两个偶(或奇)函数的积是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积是奇函数。
解题方法 乘坐智慧快车
一、 经典题型
题型1、用定义判断函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性:
(1)f (x ) =x +x (奇函数) (2
)f (x ) =3
64
(3)f (x ) =3x +1(非奇非偶函数) (4)f (x ) =x +x +8 x ∈[-2,2) (非奇非偶函数)
(5)f (x ) =0(既是奇函数又是偶函数) (6)f (x ) =2x 4+3x 2(偶函数) 【分析】先观察定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)之间的关系。 解:(1)函数的定义域为R ;
f(-x)= (-x)3+(-x)=- (x3+x)= -f(x);
∴ 函数f (x ) =x 3+x 是奇函数。
(2)函数的定义域为{-1,+1}
;f (x ) ==0;
f(-x)=-f(x)=f(x)=0;
∴ 函数既为奇函数又为偶函数。
(3) 函数的定义域为R ; f(-x)=-3x+1≠±f(x) ∴ 函数是非奇非偶函数.
(4) 函数的定义域为[-2,2) ,它不关于原点对称,所以函数是非奇非偶函数; (5) 函数的定义域为R, f(-x)=-f(x)=f(x)=0; 所以函数既为奇函数又为偶函数。
4242
(6)函数的定义域为R , f(-x)=2(-x)+3(-x)= 2x+3x=f(x); ∴函数为偶函数;
【点拔】判断函数的奇偶性时不要忘记先判断函数的定义域是否关于原点对称。 -x 2+x (x>0) 例2、判断函数的奇偶性。 x 2 + x (x≤0)
【分析】这是一个分段函数,求f(-x)时,需要分类讨论。 解1、按定义证明
这个函数的定义域为R ;
222
当x>0时, -x
当x ≤0时,-x ≥0, f(-x)=
-(-x) 2+(-x)= -x 2-x= -(x2+x)= -f(x).
2 -(-x+x) (x>0)
-f(x). ∴
-(x2+x) (x≤0)
∴ f(-x)= -f(x), ∴ 函数f(x)为奇函数。
解2、应用函数图象,判断它的奇偶性。
作出函数的图象,如图所示。由图可知,函数图象关于原点对称,故函数f(x)是奇函数。
【点拔】判断一个函数的奇偶性,可以按定义证明也可以按图象去判断。 分段函数,在求f(-x)时,注意x 的范围。
例3.判断下列函数的奇偶性:
(1
)f (x ) =|x | (2
)f (x ) =(奇函数)
【分析】先去绝对值号,然后按定义去判断。
解:(1
)f (x ) =|x |-|x|=0 , 其定义域为R , f(-x)= - f(x)= f(x), 所以函数既为奇函数又为偶函数。
(2)
1-x 2 ≥0 -1 ≤x ≤1 2-|x+2|≠0 , x ≠0且x ≠-4
所以函数的定义域为: [-1, 0 ) U ( 0, 1 ].
∴
-x 2-x 2
=- f (x ) =
x 2-(x +2)
-(-x ) 2
f(-x)= -= ∴
(-x )
∴ f(x)为奇函数。
-x 2
= -f(x). x
【点拔】通过上面的解法,我们可以看到:在解题中先确定函数的定义域不仅可以避免许多错
误,而且有时还可以避开讨论,简化所需的过程。
例4、已知函数f(x)对一切x,y 都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1) 求证: f(x) 是奇函数;
(2) 若f(-3)= a , 试用a 表示f(12).
【分析】要证f(x)为奇函数,需证f(-x)= -f(x) . 即f(-x)+f(x)=0. 解:
(1) 令x=y=0, 得 f(0+0)=f(0)+f(0)
∴ f(0)=0,
令y= -x 得, f(x-x)=f(x)+f(-x)
∴ f(-x)+f(x)=0
∴ 函数f(x)为奇函数。
(2) f(-3)=a, 函数f(x)为奇函数. ∴f(3)= -a,
∴f(6)=f(3)+f(3)= -2a, ∴f(12)=f(6)+f(6)= -4a . 【点拔】在解有关抽象函数的问题时,常用赋值法。在判断函数的奇偶性时,需要判断f (-x )
与f (x ) 的关系,可以从f (-x ) 开始化简得到;也可以去考虑f (x ) +f (-x ) 或
f (x ) -f (-x ) 是否为零来判断两者的关系。
题型2、奇、偶函数的图象的性质的应用
例6、(1)已知函数f(x)为偶函数,它在y 轴右边的图象如图1所示,画出y=f(x)在y 轴左边的图象。(2)已知函数f(x)为奇函数,它在y 轴右边的图象如图2所示,画出y=f(x)在y 轴左边的图象。
【分析】利用奇偶函数的图象的对称性,可以简化图象的画法。 解:
(1)第一步:在图1 y轴右边的图象上取几个点。例如取点A 1,A 2 , A3,A 4 .(这些点一般应包括图象的最低点、最高点等) 。
第二步:画出这些点关于y 轴的对称点。例如点A 1,A 2 , A3,A 4,A 5的对称点A 1' ,A 2' ,A 3' ,A 4' 。
第三步:用平滑曲线把图中画出的点连结起来。就得到函数y=f(x)在y 轴左边的图象。 (2)第一步:在图1 y轴右边的图象上取几个点。例如取点A 1,A 2 , A3,A 4,A 5 .(这些点一般应包括图象的最低点、最高点等) 。
第二步:画出这些点关于原点的对称点。例如点A 1,A 2 , A3,A 4的对称点A 1' ,A 2' ,A 3' ,A 4' 。
第三步:用平滑曲线把图中画出的点连结起来。就得到函数y=f(x)在y 轴左边的图象。 题型3、利用奇偶函数求解析式
例7、f (x ) 为R 上的奇函数,当x >0时,f (x ) =-2x 2+3x +1,求f (x ) 的解析式。 【分析】求f(x)的解析式,需要求x
为x>0的范围,然后利用条件代入求得解析式。 解:设x
又-x >0,由已知有f (-x ) =-2(-x ) +3(-x ) +1=-2x -3x +1
2
2
⎧-2x 2+3x +1x >0⎪
x =0. 从而解析式为f (x ) =⎨0
⎪2x 2+3x -1x
【点拔】要利用条件”当x >0时,f (x ) =-2x 2+3x +1”,需要先把自变量的取值范围变到大于零的情况才能应用条件。若函数f(x)为奇函数,且f(0)有意义,则根据奇函数的定义得到f(0)=0。
二、 综合应用创新题
综合题
53
例1.已知函数f (x ) =x +ax +bx -8若f (-2) =10,求f (2)的值。
【分析】先构造函数g (x ) =f (x ) +8=x 5+ax3+bx.
53
解:构造函数g (x ) =f (x ) +8,则g (x ) =x +ax +bx 一定是奇函数
又∵f (-2) =10,∴ g (-2) =18
因此g (2)=-18 所以f (2)+8=-18,即f (2)=-26.
【点拔】本题是利用函数的奇偶性进行求值。
例2.已知:函数y =f (x ) 在R 上是奇函数,而且在(0,+∞) 上是增函数, 证明:y =f (x ) 在(-∞,0) 上也是增函数。
【分析】利用定义证明。
证明:设x 1-x 2>0∵f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数。
∴f (-x 1) >f (-x 2) , 又f (x ) 在R 上是奇函数。 ∴-f (x 1) >-f (x 2) , 即f (x 1)
所以,y =f (x ) 在(-∞,0) 上也是增函数。
【点拔】本题为函数的奇偶性和单调性的综合:奇函数在对称于原点的两个区间上的单调
性一致;偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反! 例3.(1)定义在(-1,1) 上的奇函数f (x ) 为减函数,且f (1-a ) +f (1-a 2)
的取值范围。
(2) 定义在[-2, 2]上的偶函数g (x ) ,当x ≥0时,g (x ) 为减函数,若g (1-m )
立,求m 的取值范围。 【分析】(1)这是一个抽象函数不等式问题,一般把不等式转化成f(A)
(2)g(x)为偶函数,它的图象关于y 轴对称。利用数形结合的方法把不等式f(A)
解:(1)∵f (1-a ) +f (1-a 2)
∵奇函数f (x ) ∴f (1-a )
⎧1-a >a 2-1⎪
∴⎨-1⎪-1
(2)因为函数g (x ) 在[-2, 2]上是偶函数,
则g (1-m )
⎧|1-m |≤2
1⎪
又当x ≥0时,g (x ) 为减函数,得到⎨|m |≤2解之得-1≤m
2⎪|1-m |>|m |
⎩
【点拔】本题用到了转化的思想,(2)转化为自变量的绝对值的大小关系,这种转化避免
了讨论,有利于问题的解决。
创新题
1=x ,试判断f (x ) 的奇偶性。 x
(2)函数f (x ) 定义域为R ,且对于一切实数x , y 都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,试
判断f (x ) 的奇偶性。
例1、(1)已知f (x ) 的定义域为{x |x ≠0},且2f (x ) +f (【分析】(1)应先求f(x)的解析式,再判断它的奇偶性。(2)令y= -x ,得到f(0)=f(x)+f(-x),
再求f(0)=0,从而判断f(x)为奇函数。 解:(1)∵f (x ) 的定义域为{x |x ≠0},且2f (x ) +f () =x ①
1
x
111
得:2f () +f (x ) = ② x x x 2x 2-1
解①②得f (x ) =,
3x
∵定义域为{x |x ≠0}关于原点对称
令①式中x 为
2(-x ) 2-12x 2-1
又∵f (-x ) ==-f (x ) =-
3(-x ) 3x 2x 2-1
∴f (x ) =是奇函数。
3x
(2)∵定义域关于原点对称,
又∵令x =y =0的f (0)=f (0)+f (0)则f (0)=0,
再令y =-x 得f (0)=f (x ) +f (-x ) , ∴f (-x ) =-f (x ) 所以,原函数为奇函数。
开放探究题
例1.设a 为实数,函数f (x ) =x 2+|x -a |+1,x ∈R . (1) 讨论f (x ) 的奇偶性; (2)求 f (x ) 的最小值. 【分析】(1)分两种情况a=0和a ≠0进行讨论。 (2)去绝对值号,利用数形结合求f(x)的最小值。
2
解:(1)当a =0时,f (-x ) =(-x ) +|-x |+1=f (x ) ,此时f (x ) 为偶函数;
22
当a ≠0时,f (a ) =a +1,f (-a ) =a +2|a |+1,∴f (-a ) ≠f (a ), f (-a ) ≠-f (a ), 此时函数f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数.
22
(2)①当x ≤a 时,函数f (x ) =x -x +a +1=(x -) +a +
123, 4
1
,则函数f (x ) 在(-∞, a ]上单调递减,∴函数f (x ) 在(-∞, a ]上的最小值为2
f (a ) =a 2+1;
1131
若a >,函数f (x ) 在(-∞, a ]上的最小值为f () =+a ,且f () ≤f (a ) .
2242
1232
②当x ≥a 时,函数f (x ) =x +x -a +1=(x +) -a +,
24
1131
若a ≤-,则函数f (x ) 在[a , +∞) 上的最小值为f (-) =-a ,且f (-) ≤f (a ) ;
22421
若a >-,则函数f (x ) 在[a , +∞) 上单调递增,∴函数f (x ) 在[a , +∞) 上的最小值
2
f (a ) =a 2+1.
1311
综上,当a ≤-时,函数f (x ) 的最小值是-a ,当-
2224
2
是a +1,
13当a >,函数f (x ) 的最小值是a +.
24
若a ≤
【点拔】本题(1)主要考查了利用定义证明函数的奇偶性,不具有奇偶性的函数即非奇非偶
函数也可以举反例得到验证。如本例,这样就避免了去绝对值进行讨论。(2)考查了最小值的求法,分类讨论的思想和逻辑思维能力。
三 、相关高考信息
本节高考主要考查函数的奇偶性证明、判断及应用,会利用函数的奇偶性作图。 例1、(2004全国) 设函数f(x)(x∈R) 为奇函数,f(1)=
A. 0 B. 1 C.
1
,f(x+2)=f(x)+f(2), 则f(5)等于( ). 2
5
D . 5 21
【分析】 f(x)为奇函数,∴f(-1)= -f(1)= -. 利用f(x+2)=f(x)+f(2)把求f(5)转化为求f(2).
2
然后令x= -1,求得f(2). 解: f(x)为奇函数,
1
∴ f(-1)= -f(1)= -,
2
令x= -1, 由f(x+2)=f(x)+2, 得 f(1)=f(-1)+f(2), 即f(2)=1,
13+1= . 22
35
所以f(5)=f(3)+f(2)= +1=.
22
f(3)=f(1)+f(2)=
【答案】C
【点拔】本题主要考查了函数的奇偶性及运算。 例2、(1997年全国理) 定义在区间(-∞,+∞) 上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+ ∞])的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式: (1) f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) (2) f(b)-f(-a)g(b)-g(-a) (4) f(a)-f(-b)
A. (1)与(4) B. (2)与(3) C . (1)与(3) D.(2)与(4) 【分析】不防设f(x)=x, 则g(x)=|x|,然后取特值进行分析判断。 解:设f(x)=x, 则g(x)=|x|。 取特值,又设a=2,b=1. f(a)-f(-b)=f(2)-f(-1)=2+1=3. g(a)-g(-b)=g(2)-g(-1)=1-2= -1. ∴ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)
又f(b)-f(-a)=f(1)-f(-2)=1+2=3, g(a)-g(-b)=g(2)-g(1)=2-1=1. ∴ f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b), 即(1)与(3)成立。 【答案】C
【点拔】本题考查了函数的奇偶性的概念及计算。用取特值法解某些选择题有快速、简洁、化繁为简的功效。
例3、(2002年海淀) 已知f(x)是奇函数,定义域为{x| x ∈R,x ≠0},又f(x)在区间(0,+∞) 上
是增函数,且f(-1)=0, 如果f(x)>0,则x 的取值范围是( )
A. (-1,0)U(1,+∞) B. (0,1) C. (1,+ ∞) D. (-∞, -1)U(1,+ ∞).
【分析】 f(x)为奇函数, ∴f(-1)= -f(1)=0. 得f(1)=0.
不防设f(x)在区间(0,+∞) 上的解析式为: f(x)=lg x.
利用奇函数的条件作出函数的图象,如图所示:
由图象可得f(x)>0的x 的取值范围是(-∞, -1)U(1,+ ∞).
【答案】D
【点拔】考查了函数的奇偶性和函数的单调性的基本知识,通过具体例子和数形结合的思想可以很容易得出结论。
例4、(2003年海淀) 奇函数f(x)在[3,6]上是增函数,在[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= ( )
A . 5 B. –5 C. –13 D . –15
【分析】已知奇函数f(x)在[3,6]上是增函数,在[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,所以 f(3)= -1, f(6)=8.
而2f(-6)+f(-3)= -2 f(6) – f(3)= -2 ×8 -(-1) = -16 +1= -15.
【答案】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的基本知识。
厚积薄发 总结学习规律
本节主要学习了奇偶函数的定义及判别方法。学习本节的内容重点掌握以下几点:
1、掌握奇偶函数的概念:
一般地,设函数的定义域为D , 如果对D 内的任意一个x, 都有-x ∈D, 且f (-x ) =f (x ) ,那么函数f (x ) 就叫做偶函数。
一般地,设函数的定义域为D , 如果对D 内的任意一个x, 都有-x ∈D, 且f (-x ) =-f (x ) ,那么函数f (x ) 就叫做奇函数。
注意具有奇偶性的函数:
(1)其定义域关于原点对称;如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数。
(2) f (-x ) =f (x ) 或f (-x ) =-f (x ) 必有一成立。否则是非奇非偶函数。
(3)函数f (x ) =0既是奇函数也是偶函数
(4)奇函数若在x =0时有定义,则f (0)=0.
2. 明确奇偶函数图象的对称性:
一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称,反过来,如果一个函数的图形关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数。
3.掌握判断或证明函数的奇偶性的方法:
(1) 定义法(2)图象法,就是作出函数的图象,然后观察图象是否关于 y轴对称,或关于原点对称。(3)利用结论:在公共定义域内,两个偶(或奇)函数的和或差为偶(或奇)函数;两个偶(或奇)函数的积是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积是奇函数。
新题精练 走出题海误区
基础强化
一、 选择题
1. 函数f(x),g(x)在区间[-a,a]上都是奇函数,则下列结论(1)f(x)+g(x)在[-a,a]上是奇函数;(2)f(x)-g(x)在[-a,a]上是奇函数;(3)f(x)g(x)在[-a,a]上是偶函数,其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是( )
A. 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶 D 既奇又偶
3. 已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=x2 –2x ,则f(x)在R 上的表达式是( )
A. y=x(x-2) B. y=x(|x|-1) C. y=|x|(x-2) D y=x(|x|-2)
4.已知f(x)=x5+cx3+bx-8, 且f(-2)=10, 那么f(2)等于( )
A. –26 B 26 C 10 D –10
5. 已知f(x)是偶函数,且其图像与x 轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和为( )
A .4 B 2 C 1 D 0
6、已知f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式中一定成立的是( )
A f(-1) f(2) D f(2)>f(0)
二、填空题
7. 若函数f(x)=ax2+bx+3x+b是偶函数,其定义域为[a-3, 2a], 则a=___,b=____。
8. 已知函数f(x)=
9.若f(x)= (m-1)x2 +6mx+2 是偶函数,则f(0), f(1), f(-2)从小到大的顺序是____________.
10.已知函数f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,给出下列命题:
(1).F(0)=0;
(2).若 f (x ) 在 [0, +∞)上有最小值 -1,则f (x ) 在(-∞, 0)上有最大值1;
(3).若 f (x ) 在 [1, +∞)上为增函数,则f (x ) 在(-∞, -1]上为减函数;
其中正确的序号是:1+a为奇函数,则常数a=_________. x 3-1
能力突破
21、 已知偶函数f (x ) 定义域R ,且在[0,+∞) 上是减函数,比较f (-) 和f (a -a +1) 的3
4
大小。(答案:当a = 1132时,相等;当a ≠时,f (-) >f (a -a +1) ) 224
222、已知f (x ) =(m -1) x +(m -1) x +n +2,当m , n 为何值时,f (x ) 为奇函数。
3、 已知函数f(x)= (1)判断f(x)的奇偶性.
(2)确定f(x)在(-∞,0) 上是增函数还是减函数? 在区间(0,+∞)上呢? 证明你的结论.
探究拓展 .
已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞) 上是增函数,且f(x)
增函数还是减函数?证明你的结论。
1在(-∞,0) 上是f (x )
答案
基础强化
二、 选择题
1 【分析】定义域相同,由奇(偶)函数的定义容易判断三个命题均正确。
【答案】C
2 【分析】因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 是偶函数,所以b=0,从而g(x)= ax3+cx为奇函数。
【答案】A
3 【分析】求f(x)在R 上的表达式,关键是求f(x)在x
当x
x0, ∴f(x)= -f(-x)= -[ (-x)2 –2(-x)]= -x 2 -2x. (x
X 2- 2x (x≥0) 所以f(x)= -x 2-2x (x
即f(x)=x(|x|-2) (x∈R).
【答案】D
4 【分析】令g(x)= x5+cx3+bx,
显然g(x)为奇函数,故有
f(-2)=g(-2)-8=10,
所以g(-2)=18, g(2)= -18.
故f(2)=g(2)- 18= -18-8= -26.
【答案】A
5 【分析】
f(x)是偶函数,
其图像关于y 轴(x=0)对称 ∴
f(x)的图象与x 轴有4个交点
若x 1为f(x)=0的一个根,则 –x 1也必为方程的一个根,即方程的四个根两两互为 ∴
相反数,故四根之和为零。
【答案】D
6 A f(-1) f(2) D f(2)>f(0)
【分析】f(3)>f(1)=f(-1) ==== > f(-1)
【答案】A
三、 填空题
7 【分析】由函数f(x)=ax2+bx+3x+b是偶函数,得b= -3, 且定义域[a-3,2a]关于原点对称,
则
2a+ a-3=0, 得a =1.
8 【分析】取特殊值x= -1, 则f(-1)= -f(1). 得关于a 的方程:
111+a ) +a= - ( , 解得a= . 3-123-1-1
9 【分析】
f(x)= (m-1)x2 +6mx+2 是偶函数,
m= 0, ∴
f(x)= -x2+2. ∴ ∴ f(0)=2, f(1)=1, f(-2)= -2, ∴f(-2)
【点拔】二次函数为偶函数 对称轴为y 轴。
10 其中正确的序号是:【分析】已知函数f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, 所以f(-x)= -f(x).
f(-0)= -f(0) , 2f(0)=0 ∴
f(0)=0, (1)正确。 ∴
由奇函数的图象关于原点对称,易知(2)正确,(3)错误。
【点拔】奇函数在对称区间上单调性相同。
能力突破
31 【分析】把两个自变量转化到一个单调区间内,依据函数的单调性, 比较f (-) 和4
f (a 2-a +1) 的大小转化为比较两个自变量的大小。
33解:因为f(x)为定义在R 上的偶函数,所以f (-) =f(). 44
而无论a 取任何实数,a -a+1>0恒成立。 2
32和 a-a+1之间的大小: 4
31112222作差比较, (a-a+1) - = a-a += (4a –4a+1)= (2a-1). 4444
1333222I) 当a= 时, (a-a+1) -=0, 则a -a+1=. 这时,f(a-a+1)=f(). 2444
13322II) 当a ≠时, (a-a+1) ->0,则(a-a+1) >, 由函数f(x)在[0,+∞])上244
3322是减函数, 得f() >f (a -a +1) , 所以f (-) >f (a -a +1) . 44比较
所以, 当a =131322时,f (-) =f (a -a +1) ;当a ≠时,f (-) >f (a -a +1) . 2424
【点拔】利用函数的单调性比较两个函数值的大小时,需要把两个自变量转化到一个单调区间内,然后比较两个自变量的大小即可得到两个函数值的大小关系。另外对于一个偶函数来说,两个函数值的大小关系,可以转化为两个自变量的绝对值的大小关系,如本题可以比较 |-32|和| a-a+1|的大小关系,由已知较大者其函数值较小,较小者其函数值较大。 4
2 【分析】可以利用定义f(-x)= -f(x)去求m,n ;也可以取特殊值求m,n.
解:已知f(x)为定义在R 上的奇函数。
令x=0,得 f(0)=n+2=0, 得 n= -2.
222取特值,令x= -1 ,x=1,则f(-1)+f(1)= (m-1 + 1- m) + (m-1 + m-1)=2(m-1)=0 得 ,m=±1.
所以,当m=±1, n= -2时,f(x)为奇函数。
【点拔】取特值,是常用的一种方法。
3 【分析】函数奇偶性的判断和证明以及函数单调性的证明一般用定义。
解:
(1)因为f(x)的定义域为R ,又
f(-x)= =
=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(2)f(x)在(-∞,0) 上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数.
其证明:取x 1<x 2<0,
f(x1)-f(x2) =
- =
=
.
因为x 1<x 2<0,所以
x 2-x 1>0,x 1+x2<0,
x 1+1>0,x 2+1>0,
得 f(x1)-f(x2) <0,即f(x1) <f(x2).
所以f(x)在(-∞,0) 上为增函数.
【点拔】奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反.
探究拓展 22
1 【分析】根据函数的增减性的定义,可以任取x 1
f (x 2) -f (x 1) 1=的正负。 f (x 1) f (x 1) f (x 2)
解:
设x 1-x 2>0 .
已知y=f(x)是奇函数,所以f(-x 1)= -f(x1), f(-x2) = -f(x2).
因为函数f(x)在(0,+∞) 上是增函数,所以f(-x 1)> f(-x2), ∴ -f(x1)> -f(x2)
∴ f(x1)
∴ f(x2) - f(x1)>0.
又因为x ∈(0,+∞), f(x)>0 ,所以f(x2)>0, f(x1)>0.
∴ F(x1)-F(x2)=f (x 2) -f (x 1) 11- = >0. f (x 1) f (x 1) f (x 1) f (x 2)
所以F(x1)>F(x2).
所以F(x)=1在(-∞,0) 上是减函数。 f (x )
【点拔】本题最容易发生的错误,是受已知条件的影响,一开始在(0,+∞) 内任意取x 1