垂心存在的四面体的两个性质
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2 0 0 0年 第 4 期
中学数 学教学
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垂心存在的四面体的两个性质
江苏盐城市第八中学 宋素珍
若四面体的四条高线交于一点。 则称这点为四面
体的垂心。四面体并不总有垂心。文[ 1 ] 中给 出四面 体存在垂心的充要条件是两组对棱分别垂直。一般说 来, 垂心存在 的四面体与三 角形有更多 的类似性质。
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( 邮编: 2 2 4 0 0 2 )
许多性质定理。一般地讲, 等面四面体未必为正四面
体。 但我们有 定理 2 垂心存在的等面 四面体必为正四面体。 证明 如图。 设 H 为等 面四面 体 A B C D 的 垂 心, A E、 D F分别为过顶点 A、 D 的高。 则A E、 D F交于点H, D E、 A F交点M 在 B C 上。 由垂心存在四面体的性质知 A D上 B C, 故 由三垂线定理 知D M上B C , A M J _ B C, 又由等面 四面体 的性 质知 AA B C和aD B C 面积相等, 进而 D M =AM。设 N 为A D 中点。 则A D- l - MN, 进而 D A上平面 B C N, 即平 面B N C为棱 A D 的垂 直平分 面, 故A B :B D, C D=
D
定理 1 垂心存在的四面体为正四面体的充分必 要条件是其垂心和重心重合。 证 充分性 设 四面体 A B C D 的垂心H 和重 心 G重合。延长 D G交△A B C 于点 Gl , 则 Gl 为AA B C的
重心, D G, 上平面 A B C 。由
D
C
四面体存在垂心的充要条件 。
知 A D上 B C, B D上 A C 。 从
C
而, 由三垂线定理知, A Gl - l - B C , B Gl 上A C ,即 Gl为
AA B C的垂 心。 进而 aA B C 的重 心和 垂心 重合。 故 A B=B C=A C 。同理 可证 A B=A D =B D, A D=A C
=D C。从 而 A B:B C=A C=A D=B D=C D。
C A。同理可证 A D=A B, C D:C B; A D:B D, A C: B C。进而 A B:B C=A C:D A=D B=D C, 即 四面体
A B C D 为正四面体。
必要性 设四面 体 A B C D 为 正 四面 体, D M 为 高。因为 D A=D B=D C, 所以 _ V , I A:MB=MC, 从而 M 为正三 角形 A B C的外 心. 进 而 M 为 AA B C 的重 心, 即D M 也为四面体 A B C D 的 中线。所 以, 正 四面 体的垂心和重心重合。 口 三组对棱分别相等的四面体叫等面四面体, 显然, 等面四面
体 四个面是全等的三角形 。 它是等边三角形 在空间的 自然推广。文[ 1 ] [ 2 ] 中给出了等面四面体的
( 9 ) 。
参考文献
1 杨 之。从 三 角形 到四 面体。初等 数 学论 丛
2 左铨如。 季素月。初等几何研 究。上海科技教
育 出版社 1 9 9 2年 9月。
( 收稿 日 期 2 0 0 0 一O 4 —2 5 )
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