夏显奇矢量三角形法则在物理解题中的应用

矢量三角形法则在物理解题中的应用

夏显奇

（云南师范大学2011级学科教学（物理）教育硕士）

摘要：矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代，应用矢量三角形法则可以求解动态平衡问题，求物理量的极值及研究抛体运动，利用矢量三角形法则再结合数学知识，可以使很多物理问题迅速得到解决,而且非常直观显见、简捷。 关键词：矢量三角形；动态平衡；极值；抛体运动；直观 1. 引言

矢量概念是高中物理教学中引进的重要概念之一，在物理中，将有大小和方向的量称为矢量，如力、位移、速度、加速度、动量、冲量等物理量都是矢量。平行四边形是一切矢量合成的普遍法则，在许多矢量合成与分解的问题中，尤其是一些动态变化的问题，应用平行四边形法则导出的矢量三角形法则进行分析求解就显得很方便快捷。矢量三角形法则作图简单，线条较少，图象清晰，在讨论某些变化的矢量或矢量的增量时，有时比平行四边形法则更清楚、方便。矢量三角形不但可以处理力的问题，它同样可以处理与速度、加速度、动量等有关的矢量问题。 2. 矢量三角形的建立 2.1 矢量三角形1

C

F2

1

丙

F1

2

乙

在 图1甲中，F是共点力F1和F2的合力，构成平行四边形，该

图1

平行四边形含有两个全等的三角形，每一个三角形都包含了三个矢量的大小和方向，因此，如果我们只取其中的一个三角形，如图1乙所示，从O点出发，把代表F1和F2的线段OA、AC首尾相接地画出来，连接O和C，从O指向C的矢量就表示合力F的大小和方向。上述作图法叫做力的三角形定则，其合矢量与分矢量的关系是：两个分矢量首尾相接，分矢量与合矢量首首相接，尾尾相接，作三角形OBC，如图1丙所示，同样可以求出F1和F2的合力F。图1乙、丙中矢量三角

形的数学表达式为:F1F2F。

2.2 矢量三角形2

F3

F乙

图2

1

三个力F1、F2、F3使物体处于平衡状态，如图2甲，由力的平衡知识知道，F1、F2的合力F3与力F3等大、反向，如果把F3平移到F3的位置上，则构成如图2乙的三角形。图2乙中矢量三角形的数学表达式为:F1F2F30。若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则代表三个力的有向线段必定构成首尾相接的封闭三角形。 3. 用矢量三角形解动态平衡问题

力学中的动态平衡是指在控制某一或某些物理量不变的情况下，物体的状态发生缓慢连续的变化，在该变化过程中物体始终处于动态平衡。因此，我们也可以把动态平衡称为准静态平衡。

3.1 常见动态平衡问题的分类 3.1.1 三个参量不变

高中阶段接触的力学动态平衡问题，一般物体只受三个力，分析这三个力的大小、方向总共六个参量中，大都会有三个参量不变。一般而言，三个不变的参量往往是一个恒力的大小和方向以及另一个力的大小或方向。

3.1.1.1一力为恒力，另一个力方向恒定情形

三力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确

定，这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定。

如图3中F1的大小和方向恒定，力

F2的方向确定，三个力构成闭合矢量三角

形，对应的就是物体所处动态平衡的相应状态。F2的大小单调变化，F3的大小变化不单调，存在极小值，且方向将变化。

3.1.1.2 一力为恒力，另一个力大小恒定情形

图3 F2的方向确定

三力中有一个力确定，即大小方向不变，另一个力大小确定，

这个力的方向及第三力的大小、方向变化情况待定。

图4中若力F2的大小确定，则F2的

方向将变化，F3的大小单调变化，方向可能出现重复性。如果题目对力F3的角度加以限制，那么F3的方向变化也可能是单调的。因此，常规的动态平衡问题总体形态

图4 F2的大小确定

分布比较明确，抓住三个不变的参量，构建合理的力的矢量三角形，

并抓住与状态动态变化相对应的特征物理量进行分析，就能使问题顺利得解。

例1 如图5所示，在“验证力的平行四边形定则”实验中，用Ａ、Ｂ两只弹簧称把橡皮条上的节点拉到某一位置Ｏ，这时两绳套ＡＯ、ＢＯ的夹角∠ＡＯＢ小于９０°，现保持弹簧称Ａ的 示 数 不 变 而 改 变其拉力方向使α角减小，那么要使结点仍在位置Ｏ，就应调整弹簧称Ｂ的拉力大小及β角，则下列调整方法中可行的是 （Ａ）增大Ｂ的拉力，增大β角 （Ｂ）增大Ｂ的拉力，β角不变 （Ｃ）增大Ｂ的拉力，减小β角 （Ｄ）Ｂ的拉力大小不变，增大β角 解析：因为节点Ｏ不变，故左边橡皮条上的拉力Ｆ大小和方向均确定，Ａ弹簧拉力FA大小确定。如

图6 图

5

图6所示，取Ｏ点为起始点，先作力Ｆ的有向线段，以其箭头端点O为圆心，以大小不变力FA的线段长度为半径作一圆，该圆的每条矢径均为力FA矢量，从该圆周上各点指向Ｏ点的各有向线段便是弹簧称Ｂ的拉力FB矢量，这样就画出了表示可能的三力关系的三角形集合图，由图能很快得出正确选项为（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）。 3.1.2 两个参量不变

这样的动态平衡问题就很特殊。进一步分析可知，这两个不变的参量往往是某个力的大小、方向同时不变，即有一个力是恒力。恒力外的其他两力方向受条件（如空间方位、大小尺寸、运动轨迹等）

的定性约束，从而可以判断方向变化趋势，在这类特殊习题中，挖掘并正确解读这些信息对解决问题是至关重要的。

3.1.2.1三力中有一个力确定，即大小方向不变，另二力方向变化有

依据，判断二力大小变化情况。

例2 建筑工人通过安装在楼顶的一个定滑轮，将建筑材料运送到高处，如图7所示，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人（未画出）要用绳CD拉住材料，使它与竖直墙面总保持一定的距离l。若不计两根绳的重力，在建筑材料被提起的过程中，绳AB的拉力F1和绳CD的拉力F2的大小将如何变化。

F1解析： B点在拉力F1、F2和F(材料

F2

对B点的拉力，大小等于材料的重力)3个力作用下处于动态平衡状

图7

乙

F的态，在建筑材料提起的过程中，

甲

大小和方向不变，F1和水平方向间

的夹角逐渐减小，F2和水平方向间的夹角逐渐增大，B点受力情况用矢量三角形如图7乙所示，从图中可以看出，F1、F2都在增大。 3.1.2.2 一力为恒力，另两力夹角恒定情形

恒力外的其他两力方向变化趋势确定，且方向间存在定量的约束关系，两力夹角始终不变。

例3 如图8所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过90，转动过程中始终保持

角不变

图8

（90），且物体始终静止。设绳

OA的拉力为T1，绳OB的拉力为T2，

则在此旋转过程中 (A)T1先减小后增大 (B)T1先增大后减小 (C)T2逐渐减小 (D)T2最终变为零

解析： T1、T2的合力T的大小、方

乙

图9 甲

向两个参量是不变的，在绳子OA从水平到竖直的顺时针转动过程中，设绳OA与竖直方向的夹角为，则090，且不断减小。选取绳子在转动过程中的任一状态，并构成如图9所示的力的矢量三角形由于两绳夹角不变，其余各角如图9所示。由几何知识可知，CAO1。

力的矢量三角形的三个定点C、A1、O位于同一圆周上，OC是长度、位置均不变的固定弦，因此所对的圆周角OA1C大小也不变（角大小为），且小于90，如图所示。依据题意，A1沿圆周从水平方向缓慢转到竖直位置的过程中，弦A1O的长度先边长再变短，当弦恰好为直径时最长，此时三条弦恰好构成直角三角形，表明力T1的大小先变大后变小，存在着极大值

1

G；弦A1C一直变短，当弦A1C与弦CO重sin

合时，弦A1C为零，即表明力T2的大小一直减小，存在的极小值为零。 3.1.2.3 一个力恒定不变，另外两个力的大小方向均发生变化

例4 光滑半球固定在水平面上，悬点O处有一大小不计的定滑轮，如图所示，小球在一穿过定滑轮的绳子的拉力作用下，沿半球面

缓慢上滑一段距离。则半球对小球的支持力N和细绳对小球的拉力T的大小将如何变化。

甲

图10

乙

解析： 在小球沿半球面缓慢上滑过程中，除重力大小和方向之外的四个参量都可能变化，但小球在上滑时，绕半球的球心O在转动，

AO长度始终不变是该题的重要特征。依题意知，与恒定的重力对应

的竖直边OO长度一定，且其余的对应边都互相平行或共线，将力的矢量三角形与几何三角形类比，对应边成比例。如图10所示，由三角形相似关系得

GNT

。由于半球的半径AO长度不变，绳长OOAOAO

AO逐渐变短，故支持力N大小不变，拉力T变小。

4. 用矢量三角形求物理量的极值

求物理量的极值是中学物理中较常见的一类问题，求解方法很多。利用矢量三角形求物理量的极值，较其它方法有更为直观、简捷的优点。如果能熟练运用它，不仅节省时间，而且不容易出现错误。

例5 质量为m的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因素为，欲使物体匀速向右运动，求拉力F的最小值？

F甲

图11

乙

解析：当物体匀速滑动时，物体受４个力而平衡（如图11所示）。其合力为F合。在F、mg和F合三力构成的矢量三角形中，FN和Ff正交，

当F和F合正交时，F取最小值。由图可知： tan

FfFN



，sin

(1) (2)

而Fmin

mgsin，故Fmin力与水平方向的夹角arctan

例6 表面光滑的均质球重mg，置于倾角为的斜面上，如图12所示。当挡板与斜面的夹角为何值时，挡板对球的作用力有极小值。

图12

乙

解析： 图12所示球受三个力的作用，用三力平衡作矢量图。从矢量三角形可看出，当FN2与FN1正交时，FN2取极小值。即



2

时，

FN2minmgsin。

(3)

例7 把重为mg的物体放在倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为。若使物体沿斜面向上滑动，求拉力的最小值。

图13

乙

解析：当物体沿斜面匀速向上滑动时 受力如图13所示，物体受

mg、FN、Ff

、F4个力。根据力的平衡条件，做矢量图，FN与Ff正

交，合力为F合。在F、mg和F合三力构成的矢量三角形中，当F和F合正交时，F取最小值。

则Fminmgsin()。 (4) 因arctan，故Fmgsin(arctan)nim

(5) 。

例8 水面上有A、B两船，A船以速度vA沿MN直线，从P点如图所示方向匀速航行，同时B船

A从距直线为d的Q点匀速追赶A船，PQL。若能赶上A船，求

B船的最小速度。

A

图14

解析：根据速度矢量的合成，若取Ａ船为参考系，

则把Ａ船看成静止的。要使Ｂ船匀速追上Ａ船，Ｂ船相对Ａ船的速度ｖ必须从Ｑ指向Ｐ。设Ｂ船的对地速度为vB，作Ｂ船的速度矢量三角

形如图14，只有当vB与ｖ正交时，vB才取极小值。

故：vBminvAsinvA (6) 方向：arcsin，即图中QD的方向。 5. 用矢量三角形法研究抛体运动

根据物体在刚抛出时的速度方向不同，抛体运动分为平抛运动和斜抛运动，描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，抛体运动是高中物理教学的重点,是曲线运动的重要形式之一。在处理抛体运动问题时，学生往往是死搬硬套位移、速度大小公式，而忽视了它们的方向。实际上从它们的方向这一角度去处理抛体运动问题，会使问题迎刃而解，思路变得简单而又清晰。为此抛体运动中的位移矢量三角形、速度矢量三角形，值得老师和同学们高度重视。下面就几个例子说明这两个矢量三角形及其应用。

抛体运动是匀变速运动，加速度恒定，为重力加速度g。由于位移矢量和速度矢量随时间变化，所以通常解题时需要先确定研究的位置（状态），再根据平行四边形定则得到两个矢量三角形，即位移三角 形和速度三角形。

图15为平抛运动，图16为斜抛运动时的情形。

d

L

dL

x

y

图15

l

位移三角形

vy

v

速度三角形

vgt

速度三角形

图16

例9 如图17所示，从倾角为=45的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，则小球抛出后离开斜面的最大距离是多少？

解析：此题常见的解决方法是分解法，即将小球的初速度和加速度沿斜面和垂直于斜面分解。这样分解比沿水平方向和竖直方向分解要

图17

简单。该解法见诸各种资料，此不赘述。下面从分析抛体运动的两个矢量三角形的方法解此题。由题意分析可知，当物体的速度方向平行于斜面时，离斜面最远。经过时间ｔ时作物体的位移矢量三角形和速

gt2

度矢量三角形，如图17，在位移矢量三角形中有tan (7)

2v0t

在速度矢量三角形中有tan

gt

(8) v0

将θ＝４５°代入式（7）、（8）得

t

v0

n ta

g

0 .5

由几何知识有

d

v0t

sin( ) (9) cos

代入数据得

20

(10) d4g

例10 如图18所示，大炮在山脚直接对着倾角为的山坡发射炮弹，炮弹初速度为v0，要在山坡上达到尽可能远的射程，则大炮的瞄准角θ应为多少？最远射程有多少？（不计空气阻力）

)

图18

解析：此题常见解法是把速度与加速度沿斜面和垂直于斜面分解，建立两个方向的运动学方程求解。下面利用抛体运动的两个矢量三角形来解此题。如图18所示，作炮弹运动的位移矢量三角形。

12

gt

v0tl

由正弦定理有 (11) 

sin()sinsin()22

取前一个等号并化简得t

2v0sin

gcos

2v0

代入第二个等号并解得l2sincos() 2

gcos

2v0

sin(2)sin (12)

gcos2

由式可知，当2

lmax



2

即



4





2

时，得

2v01sin (13) 

gcos2

例11 从高ｈ处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角θ为多大时，物体落地的水平位移最大。（不计空气阻力） 解析：例10用到了位移矢量三角形，本题尝试用速度矢量三角形来讨论。设落地时速度大小为v，作速度矢量三角形，如图19所示

图19

由动能定理，易得v

的大小v (14) 设矢量三角形的面积为s，则sgtv0cos (15) 式中v0tcos即为物体水平方向的位移x因此，只需考虑何时矢量三角形有最大面积即可。

由于三角形面积也可以写成sv0vsin() (16) 因v0，v的大小确定，则当此时arctan



21

212

时，s有最大值。

v0 (17) v1

2

12

由面积相等sgxv0v

得水平位移最大值为x6. 结论

矢量运算在力学中占有重要的地位，利用矢量三角形法则可以使

(18)

很多物理问题迅速得到解决,而且非常直观，矢量三角形法则在中学力学中应用广泛。加强矢量运算的教学，可加深学生对概念意义的理解和对规律的认识，培养学生的思维能力，为进一步深入学习打下良好的基础。

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