高中数学-对数与对数函数-李君浩
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: ______________ 副校长/组长签字: 签字日期:
【考纲说明】
1. 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;
2. 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点;
3.知道对数函数是一类重要的函数模型; 4.了解指数函数
与对数函数
互为反函数
【趣味链接】
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,正如科学家伽利略(1564-1642)说:「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。又如十八世纪数学家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯(1611-1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫「真数」,0.3010叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。
我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》(1845)、《续对数简法》(1846)等。1854年,英国的数学家艾约瑟(1825-1905) 看到这些著作后,大为叹服。
【知识梳理】
1
1. 对数的定义:
如果a b =N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b . 2. 指数式与对数式的关系:
a b =N log a N =b (a >0,a ≠1,N >0). 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化.
3. 对数运算性质:
①log a (MN )=loga M +loga N . ②log a M =loga M -log a N .
N
③log a M n =n log a M . (M >0,N >0,a >0,a ≠1) ④对数换底公式:log b N =4. 对数函数的定义
函数y =loga x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
log a N log a b
(a >0,a ≠1,b >0,b ≠1,N >0).
5. 对数函数的图象
1) a
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.
6.
对数函数的性质:
①定义域:(0,+∞).
2
②值域:R . ③过点(1,0),即当x =1时,y =0.
④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数.
【经典例题】
1. 函数f (x )=|log2x |的图象是( )(09河南)
A
B
C D
11
2. 若f -(x )为函数f (x )=lg(x +1)的反函数,则f -(x )的值域为___________________.
(11江西)
3. 已知f (x )的定义域为[0,1],则函数y =f [log 1(3-x )]的定义域是__________.
2
(08北京)
4. 若log x y =z ,则x 、y 、z 之间满足( )(12河南)
A. y 7=x z B. y =x 7z C. y =7x z D. y =z x
5. 已知1<m <n ,令a =(log n m )2,b =logn m 2,c =logn (log n m ),则( )( 13广东)
3
A. a <b <c B. a <c <b C. b <a <c D. c <a <b
6. 若函数f (x )=loga x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 等于( )(12四川) A.
2
4
B.
22
C. 1 D. 1
4
2
7. 函数y =log 2|ax -1|(a ≠0)的对称轴方程是x =-2,那么a 等于( )(11湖南) A. 1 B. -1 C.2 D. -2
2
2
8. 函数f (x )=log2|x |,g (x )=-x 2+2,则f (x )·g (x )的图象只可能是( )(11大连)
A
B
C D
9. 设f -1(x )是f (x )=log2(x +1)的反函数,若[1+ f -1(a )][1+ f -1(b )]=8,则f (a +b )的值为( )(11北京) A.1
B.2
C.3
D.log 23
10. 方程lg x +lg(x +3)=1的解x =___________________.
4
【课堂练习】
⎧1x
() , x ≥4,
f (x )=⎪则⎨2
⎪⎩f (x +1), x
1. 已知函数f (2+log23)的值为( )(08辽宁)
1
12
A. 1 B. 1 C.
3
6
3
D.
1 24
2. 已知f (x )=log1[3-(x -1)2],求f (x )的值域及单调区间. (11河南)
3. 已知y =loga (3-ax )在[0,2]上是x 的减函数,a 的取值范围.________(12河北) 4. 求函数y =2lg(x -2)-lg (x -3)的最小值. (09南京)
5. (2003年北京宣武第二次模拟考试)在f 1(x )=x ,f 2(x )=x 2,f 3(x )=2x ,f 4(x )=log1x
2
1
2
四个函数中,x 1>x 2>1时,能使1[f (x 1)+f (x 2)]<f (
2x 1+x 2
2
)成立的函数是( )
A. f 1(x )=x C. f 3(x )=2x
1
2
B. f 2(x )=x 2
2
D. f 4(x )=log1x
【课后作业】
1. 若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为( )(09河北)
5
A a-2 (B )3a-(1+a)2 (C )5a-2 (D )3a-a 2
2.已知x 2+y2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,loga
1y
=n , 则log a 等于( )(11上海) 1-x (A )m+n (B )m-n (C )11
2(m+n) (D )2
(m-n)
3. 已知log [log-1
73(log2x)]=0,那么x 2
等于( )(12南宁) (A )1 (B )
113
2 (C )
22
(D )
133
4. 函数y=log2x-1x -2的定义域是( )(09江苏)
(A )(2,1)⋃(1,+∞) (B )(1
32,1)⋃(1,+∞)
(C )(23,+∞) (D )(1
2
,+∞)
5. 函数y=log1(2x2-3x+1)的递减区间为( )(08吉林)
2
(A )(1,+∞) (B )(-∞,3
4
]
(C )(12,+∞) (D )(-∞,1
2
]
6. 若log m 9
(A )m>n>1 (B )n>m>1 (C )0
(A )(0,2
2
3
)⋃(1,+∞) (B )(3
,+∞)
(C )(23
, 1) (D )(0,22
3)⋃(3,+∞)
8. 已知函数y=loga (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( (A )(0,1) (B )(1,2) (C )(0,2) (D )[2,
6
)(07天津)
+∞)
【课后反馈】
本次______________同学课堂状态:_________________________________________________________________ 本次课后作业:___________________________________________________________________________________ 需要家长协助:____________________________________________________________________________________ 家长意见:________________________________________________________________________________________
【参考答案】 经典例题:
1. 答案:A 2.解析:f -1(x )的值域为f (x )=lg(x +1)的定义域. 由f (x )=lg(x +1)的定义域为(-1,+∞),∴f -1(x )的值域为(-1,+∞). 答案:(-1,+∞)
3. 解析:由0≤log 1(3-x )≤1⇒log 11≤log 1(3-x )≤log 1
2
2
2
2
1
2
⇒
1
≤3-x ≤1⇒2≤x ≤5. 答案:[2,5] 222
y ⇒x
7z
4. 解析:由log x y =z ⇒x z ==y ,即y =x 7z . 答案:B
5. 解析:∵1<m <n ,∴0<log n m <1. ∴log n (log n m )<0. 答案:D
6. 解析:∵0<a <1,∴f (x )=loga x 是减函数. ∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =1. ∴1+loga 2=1. ∴log a 2=-2. ∴a =
3
3
3a
2
4
. 答案:A
a
a
7. 解析:y =log2|ax -1|=log2|a (x -1)|,对称轴为x =1,由1=-2 得a =-1. 答案:B
2
8. 解析:∵f (x )与g (x )都是偶函数,∴f (x )·g (x )也是偶函数,由此可排除A 、D. 又由x →+∞时,f (x )·g (x )→-∞,可排除B.
7
答案:C
9. 解析:∵f -1(x )=2x -1,∴[1+ f -1(a )][1+ f -1(b )]=2a ·2b =2a +b . 由已知2a +b =8,∴a +b =3. 答案:C
10. 解析:由lg x +lg(x +3)=1,得x (x +3)=10,x 2+3x -10=0. ∴x =-5或x =2.∵x >0,∴x =2. 答案:2
课堂练习:
1.D 2.解:∵真数3-(x -1)2≤3,
∴log 1[3-(x -1)2]≥log 13=-1,即f (x )的值域是[-1,+∞). 又3-(x -1)2>0,
3
3
得1-<x <1+,∴x ∈(1-3,1]时,
3)时,f (x )单调递增.
3-(x -1)2单调递增,从而f (x )单调递减;x ∈[1,1+
3. 解:∵a >0且a ≠1,∴t =3-ax 为减函数. 依题意a >1,又t =3-ax 在[0,2]上应
有t >0,∴3-2a >0. ∴a <3. 故1<a <3.
2
2
(x -2) 2
y =lg
x -3
4. 解:定义域为x >3,原函数为
(x -3)+
1
+2≥4, x -3
(x -2) 2
. 又∵
x -3
=
(x -3) 2+2(x -3) +1x 2-4x +4==x -3x -3
∴当x =4时,y min =lg4.
5. 解析:由图形可直观得到:只有f 1(x )=x 为“上凸”的函数. 答案:A
1
2
课后作业: ADCAACAB
8