框架结构内力与位移计算

《高层建筑结构与抗震》辅导材料四

框架结构内力与位移计算

学习目标

1、熟悉框架结构在竖向荷载和水平荷载作用下的弯矩图形、剪力图形和轴力图形； 2、熟悉框架结构内力与位移计算的简化假定及计算简图的确定； 3、掌握竖向荷载作用下框架内力的计算方法——分层法；

4、掌握水平荷载作用下框架内力的计算方法——反弯点法和D值法，掌握框架结构的侧移计算方法。

学习重点

1、竖向荷载作用下框架结构的内力计算； 2、水平荷载作用下框架结构的内力及侧移计算。

框架在结构力学中称为刚架，刚架的内力和位移计算方法很多，可分为精确算法和近似算法。精确法是采用较少的计算假定，较为接近实际情况地考虑建筑结构的内力、位移和外荷载的关系，一般需建立大型的代数方程组，并用电子计算机求解；近似算法对建筑结构引入较多的假定，进行简化计算。由于近似计算简单、易于掌握，又能反映刚架受力和变形的基本特点，因此近似的计算方法仍为工程师们所常用。

本章内容主要介绍框架结构在荷载作用下内力与位移的近似计算方法。其中分层法用于框架结构在竖向荷载作用下的内力计算，反弯点法和D值法用于框架结构在水平荷载作用下的内力计算。既然是近似计算，就需要熟悉框架结构的计算简图和各种计算方法的简化假定。

一、框架结构计算简图的确定

一般情况下，框架结构是一个空间受力体系，可以按照第四章所述的平面结构假定的简化原则，忽略结构纵向和横向之间的空间联系，忽略各构件的抗扭作用，将框架结构简化为沿横方向和纵方向的平面框架，承受竖向荷载和水平荷载，进行内力和位移计算。

结构设计时一般取中间有代表性的一榀横向框架进行分析，若作用于纵向框架上的荷载各不相同，则必要时应分别进行计算。

框架结构的节点一般总是三向受力的，但当按平面框架进行结构分析时，则节点也相应地简化。在常见的现浇钢筋混凝土结构中，梁和柱内的纵向受力钢筋都将穿过节点或锚入节点区，这时节点应简化为刚接节点；对于现浇钢筋混凝土柱与基础的连接形式，一般也设计成固定支座，即为刚性连接。

作用于框架结构上的荷载有竖向荷载和水平荷载两种。竖向荷载包括结构自重及楼（屋）面活荷载，一般为分布荷载，有时也有集中荷载。水平荷载包括风荷载和水平地震作用，一般均简化成节点水平集中力。

二、竖向荷载作用下框架内力的计算

框架结构在竖向荷载作用下的内力计算采用分层法。

1．基本假定

（1）在竖向荷载作用下，不考虑框架的侧移；

（2）每层梁上的荷载对其他各层梁的影响可忽略不计。

2．计算步骤

（1）计算单元的确定 根据计算假定，计算时先将各层梁及其上下柱所组成的框架作为一个独立的计算单元，而按无侧移的框架进行计算（上下柱的远端均假设为固定端）。

（2）各杆件弯矩的计算 一般用结构力学中的弯矩分配法，分别计算每个单层框架中梁与柱的弯矩。 在用弯矩分配法计算各杆件的弯矩之前，应先计算各杆件在节点处的弯矩分配系数及传递系数。对底层基础处，可按原结构确定其支座形式，若为固定支座，传递系数为1/2；若为铰支座，传递系数为0。至于其余柱端，在分层计算时，假定上下柱的远端为固定端，而实际上，上下柱端在荷载作用下会产生一定转角，是弹性约束端。对这一问题，可在计算分配系数时，用调整柱的线刚度来考虑支座转动影响。因此，对这类柱子的线刚度应乘一个折减系数0.9，相应的传递系数为1/3。

（3）弯矩汇总 分层计算所得的梁的弯矩即为最后的弯矩，由于每一层柱属于上、下两层，因此每一根柱的弯矩需由上、下两层计算所得的弯矩值叠加得到。

（4）不平衡弯矩的再分配 叠加后的弯矩图为原框架的近似弯矩图，由于柱为上、下两层之和，因此叠加后的弯矩图往往在框架节点处不平衡，一般相差很小，若欲进一步修正，则可将这些不平衡力矩再进行一次弯矩分配。

分层法的具体计算过程和计算要点，可参见课本中的例5-1。

三、水平荷载作用下框架内力的计算

作用在框架上的水平荷载主要有风荷载和地震作用，它们均可简化成作用在框架节点上的水平集中力。

由于水平荷载均可简化为水平集中力的形式，所以高层多跨框架在水平荷载作用下的弯矩图通常如图X-1所示。各杆的弯矩图均为直线，且均有一弯矩为零的点，称为反弯点。该点弯矩为零，但有剪力，如图X-1中所示的V。如果能求出各柱的剪力及其反弯点位置，则各柱端弯矩就可算出，进而根据节点力矩平衡可算出梁端弯矩。因此必须确定各柱间剪力的分配比和确定各柱的反弯点的位置。

图X-1 水平荷载作用下框架的弯矩图

框架结构在水平荷载作用下的内力计算方法主要反弯点法和D值法，两种计算方法的计算步骤相同，只是在确定各柱间剪力的分配比和确定各柱的反弯点的位置时有所区别。下面通过反弯点法来具体介绍框架结构在水平力作用下的计算过程，至于D值法，仅介绍其与反弯点法的不同之处。

1．反弯点法

反弯点法的适用条件为梁的线刚度ib与柱的线刚度ic之比大于3，其计算过程如下：

（1）反弯点位置的确定 若梁的线刚度无限大，则柱两端产生相对水平位移时，柱两端无任何转角，且弯矩相等，反弯点在柱中点处。当梁柱线刚度之比大于3时，柱端转角很小，反弯点接近柱中。因此反

弯点法假定：对于上部各层柱，反弯点在柱中点；对于底层柱，由于柱脚为固定端，转角为零，但柱上端转角不为零，且上端弯矩较小，反弯点上移，故取反弯点在距固定端2/3高度处。

（2）柱的侧移刚度 侧移刚度d表示框架柱两端有相对单位侧移时柱中产生的剪力，它与柱两端的约束情况有关。由于反弯点法中梁的刚度非常大，可近似认为节点转角为零，则根据两端无转角但有单位水平位移时杆件的杆端剪力方程，最后得

d

V

12ich

2



 （X-1）

式中，V为柱中剪力，为柱层间位移，h为层高。

（3）同一楼层各柱剪力的分配 根据力的平衡条件、变形协调条件和柱侧移刚度的定义，可以得出第j层第i根柱的剪力为：

Vijdij

F

m

ijF （X-2）

dij

i1

式中，ij为第j层各柱的剪力分配系数，m为第j层柱子总数，F为第j层以上所有水平荷载的总和，即第j层由外荷载引起的总剪力。这里，需要特别强调的是，F与第j层所承担的水平荷载是有所区别的。

由式（X-2）可以看出，在同一楼层内，各柱按侧移刚度的比例分配楼层剪力。

（4）柱端弯矩的计算 由于前面已经求出了每一层中各柱的反弯点高度和柱中剪力，那么柱端弯矩可按下式计算：

柱下端弯矩柱上端弯矩

MM

ij下ij上

Vijlij



 （X-3）

Vijhjlij

式中，lij为第j层第i根柱的反弯点高度，hj为第j层的柱高。

（5）梁端弯矩的计算 梁端弯矩可由节点平衡求出，如图X-2所示。

图X-2 节点弯矩

对于边柱 对于中柱

MM

b

M

c上

M

c下

（X-4）

b左

MM

c上

M

c下c下

ib左ib左ib右

ib右ib左ib右

（X-5a）

M

b右c上

M （X-5b）

式中，ib左、ib右分别为左边梁和右边梁的线刚度。

（6）其他内力的计算 进一步，还可根据力的平衡条件，由梁两端的弯矩求出梁的剪力；由梁的剪综上所述，反弯点法的要点，一是确定反弯点高度，一是确定剪力分配系数ij。在确定它们时都假设节点转角为零，即认为梁的线刚度为无穷大。这些假设，对于层数不多的框架，误差不会很大。但对于力，根据节点的平衡条件，可求出柱的轴力。

高层框架，由于柱截面加大，梁柱相对线刚度比值相应减小，反弯点法的误差较大。

2．修正反弯点法——D值法

反弯点法在考虑柱侧移刚度d时，假设节点转角为0，亦即横梁的线刚度假设为无穷大。对于高层建筑，由于各种条件的限制，柱子截面往往较大，经常会有梁柱相对线刚度比较接近，甚至有时柱的线刚度反而比梁大。这样，上述假设将产生较大误差。另外，反弯点法计算反弯点高度y时，假设柱上下节点转角相等，这样误差也较大，特别在最上和最下数层。此外，当上、下层的层高变化大，或者上、下层梁的线刚度变化较大时，用反弯法计算框架在水平荷载作用下的内力时，其计算结果误差也较大。

考虑到以上的影响因素和多层框架受力变形特点，可以对反弯点法进行修正，从而形成一种新的计算方法——D值法。D值法相对于反弯点法，主要从以下两个方面做了修正：修正柱的侧移刚度和调整反弯点高度。修正后的柱侧移刚度用D表示，故该方法称为“D值法”。D值法的计算步骤与反弯点法相同，计算简单、实用，精度比反弯点法高，因而在高层建筑结构设计中得到广泛应用。

D值法也要解决两个主要问题：确定侧移刚度和反弯点高度。

（1）修正后柱的侧移刚度 考虑柱端的约束条件的影响，修正后的柱侧移刚度D用下式计算：

D

12ich

2

（X-6）

式中，为与梁、柱线刚度有关的修正系数，表X-1给出了各种情况下值的计算公式。

由表X-1中的公式可以看到，梁、柱线刚度的比值愈大，值也愈大。当梁、柱线刚度比值为时，

=1，这时D值等于反弯点法中采用的侧移刚度d。

（2）同一楼层各柱剪力的计算 求出了D值以后，与反弯点法类似，假定同一楼层各柱的侧移相等，则可求出各柱的剪力：

Vij

Dij

m

F （X-7）

Dij

i1

式中，Vij为第j层第i柱所受剪力，Dij为第j层第i柱的侧移刚度。

表X-1 值和K值计算表

（3）各层柱的反弯点位置 各层柱的反弯点位置与柱两端的约束条件或框架在节点水平荷载作用下，该柱上、下端的转角大小有关。影响柱两端转角大小的因素（影响柱反弯点位置的因素）主要有三个：①该层所在的楼层位置，及梁、柱线刚度比；②上、下横梁相对线刚度比值；③上、下层层高的变化。

在D值法中，通过力学分析求出标准情况下的标准反弯点刚度比y0（即反弯点到柱下端距离与柱全高的比值），再根据上、下梁线刚度比值及上、下层层高变化，对y0进行调整。因此，可以把反弯点位置用下式表达：

yhy0y1y2y3h （X-8）

式中，y为反弯点距柱下端的高度与柱全高的比值（简称反弯点高度比），y1为考虑上、下横梁线刚度不相等时引入的修正值，y2、y3为考虑上层、下层层高变化时引入的修正值，h为该柱的高度（层高）。

为了方便使用，系数y0、y1、y2和y3已制成表格，可通过查表的方式确定其数值。

（4）弯矩图的绘制 当各层框架柱的侧移刚度D和各层柱反弯点位置yh确定后，与反弯点法一样，就可求出框架的弯矩图。

四、水平荷载作用下框架侧移的计算

框架侧移主要是由水平荷载引起的，本节介绍框架侧移的近似计算方法。由于设计时需要分别对层间位移及顶点侧移加以限制，因此需要计算层间位移及顶点侧移。 1．框架侧移的变形特点

一根悬臂柱在均布荷载作用下，可以分别计算弯矩作用和剪力作用引起的变形曲线，二者形状不同，如图X-3虚线所示。由剪切引起的变形形状愈到底层，相邻两点间的相对变形愈大，当q向右时，曲线凹向左。由弯矩引起的变形愈到顶层，变形愈大，当q向右时，曲线凹向右。

图X-3 剪力和弯矩引起的侧移

对于框架结构，如果只考虑梁柱杆件弯曲产生的侧移，则侧移曲线如图X-4（a）虚线所示，它与悬臂柱剪切变形的曲线形状相似，可称为剪切型变形曲线。如果只考虑柱轴向变形形成的侧移曲线，如图X-4（b）虚线所示，它与悬臂柱弯曲变形形状相似，可称为弯曲型变形曲线。为了便于理解，可以把框架看成一根空腹的悬臂柱，它的截面高度为框架跨度。如果通过反弯点将某层切开，空腹悬臂柱的弯矩M和剪力V如图X-5所示。M是由柱轴向力NA、NB这一力偶组成，V是由柱截面剪力VA、VB组成。梁柱弯曲变形是由剪力VA、VB引起，相当于悬臂柱的剪切变形，所以变形曲线呈剪切型。柱轴向变形由轴力产生，相当于弯矩M产生的变形，所以变形曲线呈弯曲形。

图X-4 水平荷载作用下框架变形图

图X-5 空腹悬臂柱

2．框架侧移计算

框架在水平荷载作用下的总侧移，可近似地看做由梁柱弯曲变形和柱的轴向变形所引起侧移的叠加。

MVN （X-9）

式中，MV为由框架梁柱弯曲变形引起的侧移，N——由框架柱轴向变形引起的侧移。 （1）由梁柱弯曲变形引起的侧移MV

根据框架在水平荷载作用下的变形图，见图X-4（a），有

Mv1im （X-10）

其中，第i层间相对侧移i

ViDi

（X-11）

式中，Vi为第i层的楼层剪力，等于第i层以上所有水平力之和；Di为第i层各柱侧移刚度之和。

（2）由柱轴向变形引起的侧移N

当房屋层数较多时，可近似地将框架边柱轴向变形及水平位移看做连续变化，见图X-4（b）。根据结构力学的知识，框架在轴力作用下顶点最大水平位移N为

（X-12）

若为均布荷载，则qxq，代入式（X-12）得

（X-13）

其中V0为框架底部总剪力，V0qh

（X-14）

同理，可求得顶点集中力F作用下的N，用式（X-13）表达，即

（X-15）

则其中 V0F，

（X-16） 同样亦可用式（X-13）表示在倒三角形荷载作用下的N，其中，V012qH

（X-17）

式（X-14）、式（X-16）、式（X-17）已制成图表，可查图X-6。

图X-6 Fn计算图表

从计算N的公式（X-13）看出当房屋越高（H越大），宽度越窄（B越小）时，则由柱轴向力引起的变形N就越大。根据计算，对于房屋高度H大于50m或房屋的高宽比H／B大于4的结构，其中N约为由框架梁柱弯曲变形而引起的侧移MV的5％～11％，因此当房屋高度或高宽比H／B低于上述数值时，

N可忽略不计。

本章内容回顾

1．框架结构是一个空间受力体系，在进行内力和位移计算时，可忽略结构纵向和横向之间的空间联系，忽略各构件的抗扭作用，将框架结构简化为纵、横向的平面框架。

2．框架结构在竖向荷载作用下的内力计算，可采用分层法。分层法计算时，将各层梁及上下柱所组成的框架作为一个独立的计算单元。梁的弯矩为分层法计算所得的弯矩，柱的弯矩需由上、下两层计算所得的弯矩值叠加得到。

3．框架结构在水平荷载作用下的内力计算，应根据梁柱的线刚度比值分别采用反弯点法和D值法。反弯点法适用于梁柱线刚度比大于3的情况，通过计算各柱的剪力及其反弯点位置，求出柱端弯矩，进而可算出梁端弯矩；D值法是对反弯点法的修正，适用于柱刚度较大的情况，计算步骤同反弯点法。

4．框架在水平荷载作用下的总侧移，可近似地看做由梁柱弯曲变形和柱的轴向变形所引起侧移的叠加。框架结构在水平荷载作用下应控制两种水平位移——顶点总位移和层间相对位移。