世界地图等差分纬线多圆锥投影的正反解变换

第28卷第2期

2008年4月

大地测量与地球动力学

JOURNALOFGEODESYANDGEODYNAMICS

Vol.28No.2

　Apr.,2008

　　文章编号:167125942(2008)0220095205

世界地图等差分纬线多圆锥投影的正反解变换

董　曼

1,2)

3

　李胜乐

1,2)

1)中国地震局地震研究所,武汉　4300712)地壳运动与地球观测实验室,武汉　

由于国家测绘局在网上正式发布的《世界地图》没有给出具体的投影参数和正反解变换公式,用户使用摘　要　不方便。导出了等差分纬线多圆锥投影的正反解变换公式,,投影参数,然后根据该公式对地理信息进行坐标转换,将各类点、关键词　世界地图;地图投影;等差分纬线;中图分类号:P282:A

NORMALSUTIONOFEQUIVALENTDIFFERENCE

LATITUDEPARALLELPOLYCONICPROJECTIONOFWORLDMAP

DongMan

1,2)

andLiShengle

1,2)

1)InstituteofSeismology,CEA,Wuhan　

2)CrustalMovementLaboratory,Wuhan　Abstract　Astheworldmapwhich

ispublishedonthenetbyStateBureauofSurveyingandMappinghasno

theconcreteprojectionparametersandthenormalandinversetransformationformulae,itisdifficulttoprojectthegeo2informationtothemap.Wederivedtheformulaeofthenormalandinversesolutionofequivalentdifferencelati2tudeparallelpolyconicprojection.Throughtchoosingthereferencepoints,andcomputingtheprojectionparametersfromthecoordinatevaluesofreferencepoints,peoplecanmakethetransformationofgeo2informationaccordingtothenormalandinversetransformationformulae,andprojectthedots,linesorpanelstothemapeasily.

Keywords:theworldmap;mapprojection;equivalentdifferencelatitudeparallel;polyconicprojection;coordi2natetransformation

1　引言

1963年我国制图工作者根据我国国土形状和

果

位置设计了等差分纬线多圆锥投影。等差分纬线多圆锥投影属于任意性质的多圆锥投影,该投影已在我国编制的各种比例尺的世界政区图以及其它类型世界地图中得到广泛应用,并获得了较好的效

。

在国家测绘局发布的《世界地图》上,虽然有经纬网、河流等信息,但由于没有提供具体的投影参数及变换公式,用户很难将自己的信息投影到地图上;同时,矢量化的地图通常采用直角坐标系,单位为毫米或米,用户无法直接从地图上获取某一点的经纬度坐标,而且在MapInfo、MapGIS、ArcGIS、ArcInfo等

[1]

3收稿日期:2007210225

基金项目:“十一五”国家科技支撑项目(2006BAC01B02-03-05)

作者简介:董曼,女,1982年生,硕士研究生,主要研究方向为地震与地理信息系统.Email:[email protected]

96

大地测量与地球动力学28卷

软件中也没有该投影的正反解变换。为此,本文研究了等差分纬线多圆锥投影的正反解变换公式,建立了经纬度坐标与直角坐标的转换关系;对各种点、线、面信息进行坐标转换,用户能够很方便地将转换后的信息投影到地图上,并很容易地从坐标转换后

[2]

的矢量化地图上得到信息的地理坐标。

《世界地图》等差分纬线多圆锥投影的基本思路是将经纬度坐标转换成直角坐标,具体实现步骤为:1)地图投影参考点的选取;2)根据参考点计算投影参数;3)经纬度坐标与直角坐标之间的转换;

4)根据需求将信息投影到地图上。

2　地图投影参考点的选取

在地图上选择参考点,目的是为了利用参考点的坐标值计算投影参数,从而对地图进行配准。

图1是一幅国家测绘局发布的等差分纬线多圆

[3]

锥投影的《世界地图》,中央经线为150°,从图中可以看出,各经纬线交点的坐标值为已知。如图1所示,选取14个点作为进行投影参数的计算以及坐标转换时所用的参考点,坐标见表1

。

图1　参考点

Fig.1　Referencepoints

表1　参考点的坐标

Tab.1　Coordinateofreferencepoints

　　等差分纬线投影有一个特点:纬线投影后为对称于赤道的同轴圆圆弧,圆心位于中央经线上,经线对称于中央直经线

[4]

点号

123

[**************]4

)经度(°[***********][***********]150150

)纬度(°9066.566760

3023.4333

0-23.4333-30-60-66.5667-9066.5667

0-60

X(mm)583.00684.42704.86771.22781.97802.50784.03772.89706.44686.09595.00420.17420.26420.28

Y(mm)79130.10144.52230.70253.57341.30428.79451.23538.53553.90608170.71344.33498.37

。因此,我们在选择参考点的

时候只需要选择其中一条边经线上的点进行计算即可,程序将会根据这一特点自动计算另一边的投影参数及坐标值。

在图1中选择参考点时,其中纬度为90°和-90°的这两个参考点我们无法根据图1精确确定其

位置,只能利用边经线上其他参考点的经纬度坐标值进行外推。

3　等差分纬线多圆锥投影的正反解变

换

“地图投影”是按照一定的投影变换公式,将地球椭球面(或球面)上的信息投影到平面上。它的实质是将地球表面的地理坐标变换为平面坐标,建

　第2期董曼等:世界地图等差分纬线多圆锥投影的正反解变换

97

立两者的函数关系。然后,根据函数关系式计算的

[2,5-7]

数据,将地球表面的点投影到平面上。

3.1　等差分纬线多圆锥投影的正解变换

等差分纬线多圆锥投影正解变换的原理是将已知点的经纬度坐标转换成平面的直角坐标。

1)确定中央经线上各纬线交点的坐标值(x0,

y0)

在《世界地图》等差分纬线多圆锥投影设计的初始阶段,对于坐标值(x0,y0)的确定,通常是在设计草图时直接给定x0的函数式,或者在图上直接量取。本文研究的是在《世界地图》上,根据所选参考点来确定x0的函数式系数。这样,对于不同的《世界地图》,函数式的系数即为一个不确定的值。求解(x0,y0)时的函数式为:

x0=Wx0+Wx1φ+Wx3φ

y0=Wy0

3

图2　计算边经线上各点坐标

Fig.2　Coordinatesofpointsofintersectionbetweenlongi2

tudelineandcomputededge

5)求解投影之后的动径角δ公式

(1)(2)

δ=

δn

(b-cλ(λ-150)180

(9)

式中:Wx0、Wx1、Wx3、Wy0为函数式系数。

数。,以,读取经度为,°,该点即为图形的中心点。(X0,Y0),该值为此点在图上的直角坐标,同时也是中央经线上纬线交点函数式的系数Wx0、Wy0,其中Wx0=X0、Wy0=

Y0。

。.180

。

(x,y)的公式

δ)x=x0+ρ(1-cosδ)y=y0+ρsin

(10)(11)

3.2　等差分纬线多圆锥投影的反解变换

等差分纬线多圆锥投影反解变换的原理是:根据已知点的直角坐标(x,y),求解该点的经纬度值。由于利用直角坐标值求解经纬度没有具体的解析公式,我们采用牛顿迭代法求解该点的经纬度坐标。

3.2.1　设置参考点的初始经纬度(φ,λ)

利用牛顿迭代法反解经纬度,需要先根据该点的直角坐标设置该点的初始经纬度,利用该点的初始经纬度,按照以下步骤来求解坐标值(x0,y0)、

(xn,yn)。再通过牛顿迭代法根据计算得到的(x0,(xn,yn)来反解经纬度。y0)、

选取经度为150°的其他两点,一般选择位于0°

两侧,且纬度值相差较大的两点,其对应的x坐标值

φ2。分别X1、X2,纬度值分别为φ利用下面的关系1、式求解系数Wx1和Wx3:

φ1

(X2-X0)φ1-(X1-X0)φ2=33

φ2φ1-φ1φ2

Wx1=

X1-X0-Wxφ1

3

(3)(4)

Wx3

2)确定纬线在右边经线上的坐标值(xn,yn)

初始经纬度的函数式如下:

φ=-90λ=-30+

x-Xmin

×180

Xmax-Xminy-YYmax-Ymin

(12)(13)

根据图1中所选择的参考点,采用多项式拟合函数式的系数Kx1、Kx2、Kx3、Ky1、Ky2、Ky3,导出计算坐标值的函数式。一般来说,拟合的次数可以根据参考点的个数来确定。本文采用三次拟合。

2

(5)xn=Kx1+Kx2φ+Kx3φ

yn=Ky1+Ky2φ+Ky3φ

2

×360

式中:(x,y)为已知点的直角坐标,Xmax、Xmin分别为中央经线上点x坐标的最大最小;Ymin、Ymin分别赤道上点的y坐标的最大值和最小值。3.2.2　利用牛顿迭代法求解纬度

(6)

式中:φ为纬度(图2)。

3)求解各纬线的动半径ρ的公式为

ρ=

(yn-y0)+(xn-x0)

2(xn-x0)

y-y2

2

具体步骤如下:

(7)

(2)、(5)、(6)、(7)计算中1)分别根据式(1)、

4)求解右边纬线与各纬度线交点的动径角δn

央经线上各纬线交点的坐标值(x0,y0)、纬线在右边

经线上的坐标值(xn,yn)、各纬线上点的动半径ρ;

2)计算中央经线上坐标(x0,y0)的一阶导数;

δn=arcsin

(8)

98

大地测量与地球动力学28卷

3)计算纬线在右边经线上的坐标(xn,yn)的一

阶导数;

4)计算各纬线上点的动半径ρ的一阶导数;

222

)+(y-y0)-ρ,F=5)令:f(φ)=(x0-x+ρ

()

;(φ)f′

计算纬度值:

φi+1=φi-F(14)当F的值小于0.00000001或者f(φ)的值小于0.00000001时,此时即可求得纬度值:φ=φi+1。

3.2.3　利用牛顿迭代法求解经度

1)纬线在中央经线上的坐标(x0,y0)、右边经

当F的值小于0.00000001或者f(φ)的值

小于0.00000001时,此时即可求得经度值为λ=λi+1。

4　实例

根据图1所示选参考点计算投影变换公式的系数,将经纬度坐标转换成直角坐标后投影到地图上。图3是根据正解变换公式将全球8级以上地震的经纬度坐标转换成直角坐标后投影到国家测绘局发布的比例尺为1:5亿的《世界地图》上。

经过投影变换后的地理信息不但可以在Map2Info环境中使用,同时也可以在MapGIS中使用。用户在MapGIS环境中,将投影变换后的数据导入,然后将其保存为MapGIS的数据格式,这样,用户也就可以在

MapGIS环境中很方便地叠加所需的信息。

4《世界地图》上。

线上的坐标(xn,yn)、动半径ρ分别由式(1)、(2)、

(5)、(6)、(7)计算得到;

2)右边经线与各纬度线交点的动径角δn由式

(8)计算得到;

3)计算投影后的动径角δ

δ4)令:f(λ)=-150)),F=

y)

5　结语

本文研究导出了等差分纬线多圆锥投影的正反解变换公式,利用公式对地图上的点、线、面等地理信息进行投影变换。在《世界地图》上选择参考点、计算投影参数,利用正解变换公式将用户所需的信

n

(b-cλ-150)(λ-180

()

,计算经度值:(λ)f′

λi+1=λi-F

(16)

图3　世界经纬网上绘制的震中分布图

Fig.3　Epicentersdistributioninlongitudeandlatitudenetoftheworldmap

　第2期董曼等:世界地图等差分纬线多圆锥投影的正反解变换

99

图4　MapGISFig.4　息投影到地图上,,随着鼠标位置的变化,在屏幕上将显示鼠标所在位置的经纬度值。利用本文给出的等差分纬线多圆锥投影的正反解变换公式进行坐标转换,转换后的地理信息可以直接、方便地在MapInfo、MapGIS、Arc2GIS、ArcInfo等软件中使用。

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