6 抽象函数奇偶性 高中数学 高考
六、奇偶性问题
例1 . (1)已知函数f(x)(x≠0的实数) 对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y),
试判断函数f(x)的奇偶性。
解析:函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称,再考虑f(-x)与f(x)的关系:
取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1),取x=y=1有f(1)=0.所以
f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。
(2)已知y=f(2x +1)是偶函数,则函数y=f(2x ) 的图象的对称轴是( D ) A. x =1
B. x =2
C. x =-
1
2
D. x =
1 2
解析:f(2x+1)关于x=0对称, 则f(x)关于x=1对称, 故f(2x)关于2x=1对称.
注:若由奇偶性的定义看复合函数,一般用一个简单函数来表示复合函数,化繁为简。F (x )=f(2x+1)为偶函数,则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。
例2:已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足(1)f (x -y ) =在正常数a ,使f(a)=1.求证:f(x)是奇函数。 证明:设t=x-y,则f (-t ) =f (y -x ) =奇函数。
例3:设f (x ) 是定义在R 上的偶函数,且在(-∞, 0) 上是增函数,又
f (x ) f (y ) +1
,(2)存
f (y ) -f (x )
f (y ) f (x ) +1f (y ) f (x ) +1
=-=-f (t ) ,所以f(x)为
f (x ) -f (y ) f (y ) -f (x )
f (2a 2+a +1)
解析:又偶函数的性质知道:f (x ) 在(0, +∞) 上减,而2a +a +1>0,3a -2a +1>0,
2222
所以由f (2a +a +1) 3a -2a +1,解得0
2
2
(设计理由:此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题,所以本题弹性较大,可以作一些条件变换如:f (a +1)
例4:定义在R 上的单调函数f (x ) 满足f (3)=log 23且对任意x ,y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y ) . (1)求证f (x ) 为奇函数;
(2)若f (k ·3)+f (3-9-2) <0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围.
(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y ∈R )---- ①令y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立,∴f(x)是奇函数.
(2)解:f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R 上是单调函数,所以f(x)在R 上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数.f(k·3) <-f(3-9-2)=f(-3+9+2), k ·3<-3+9+2, 3
2x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-(1+k)·3+2>0对任意x ∈R 成立.令t=3>0,即t -(1+k)t+2>0对任意t >0
x x 2
恒成立.
令f (t ) =t 2-(1+k ) t +2, 其对称轴x =当
1+k
2
1+k
0, 符合题意;21+k当≥0时,
2
⎧1+k
≥0⎪
对任意t >0, f (t ) >0恒成立⇔⎨2
2⎪⎩∆=(1+k ) -8
解得-1≤k
x x 3
∈R 恒成立。
说明:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数,把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t >0恒成立.对二次函数f(t)进行研究求解.本题还有更简捷的解法:分离系数由k ·3
x
2
<-3
x
+9
x
+2得
k
22x
-1, 而u =3+-1≥22-1, x x 33
2
-1. 恒成立,只需
k
要使对x ∈R 不等式k
上述解法是将k 分离出来,然后用平均值定理求解,简捷、新颖.
练习:
1、已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0),f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性, 并证明你的结论;
(3)若f(2)=2,un =f(2n ) (n∈N*),求证:un+1>un (n∈N*).
解:(1)、令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.
(2)、令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)为奇函数. (3)先用数学归纳法证明:un =f(2n )>0 (n∈N*)(略)
2. 定义域为R 的函数f(x)满足:对于任意的实数x ,y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x >0时f(x)<0恒成立.
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6成立,试确定f(1)应满足的条件;
11
(3) 解关于x f (ax 2) -f (x ) >f (a 2x ) -f (a ), (n 是一个给定的自然数, a
n n
解:(1) 同例16(略)
(2)设任意x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)<0, 而f (x 2-x 1)= f(x 2)+ f(-x 1)= f(x 2)-f (x 1)
112222
f (ax )- f(x )> f (a x )- f(a )⇒ f (ax )- f(a x )>n[f(x )- f(a )] n n
2222
f (ax -a x )>nf (x-a ),由已知得:f[n(x-a )]=nf(x-a )∴f (ax -a x )>f[n(x-a )]
⇒
22
∵f (x )在(-∞,+∞)上是减函数∴ax -a x <n (x-a ). 即(x-a )(ax-n )<0,∵a <0,∴(x-a )(x->0,
讨论:(1)当a <(2)当a=(3)当
n
)a
n n
<0,即a <-n 时,原不等式解集为{x | x>或x <a }; a a
n
<0即a=-n 时,原不等式的解集为φ; a
n n
<a <0时,即-n <a <0时,原不等式的解集为{x | x>a 或x <} a a
3、已知f (x ) 是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若a , b ∈[-1,1], a +b ≠0时,有>0.
(1)判断函数f (x ) 在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论; (2)解不等式:f (x +
f (a ) +f (b ) a +b
11) <f (); 2x -1
(3)若f (x ) ≤m 2-2pm +1对所有x ∈[-1,1], p ∈[-1,1](p 是常数)恒成立,求实数m 的取值范围.
. 解:(1)设任意x 1, x 2∈[-1,1], 且x 10
x 2+(-x 1)
∴f (x 2)+f (-x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1), 所以函数f (x ) 在[-1,1]上是增函数.
1
(2)由不等式f (x +
2
⎪-1≤1
) <f () 得⎪
x -1⎪⎨-1≤
⎧
x +
1
≤12
1
≤1
x -1⎪
11⎪
x +>⎪2x -1⎩
, 解得-1
(3)由以上知f (x ) 最大值为f (1)=1,所以要f (x ) ≤m -2pm +1对所有x ∈[-1,1], p ∈[-1,1](p
2
是常数) 恒成立,只需1≤m -2pm +1恒成立,得实数m 的取值范围为m ≤0或m ≥2p .
2
4、已知f (x )是定义在R 上的函数,且对任意的x , y ∈R 都有f (x +y )=xf (y )+yf (x ),试判断f (x )的奇偶性,并说明理由.
解:令x =y =0,有f (0)=0;
再令x =-y ,有f (0)=xf (-x )-xf (x )=x ⎡⎣f (-x )-f (x )⎤⎦. 由x 的任意性,有f (-x )=f (x ). 故f (x )为偶函数.
评注:判断函数的奇偶性,关键是构造出f (x )与f (-x )的关系,这也可以通过赋值完成.
5. 已知f (x ) 的周期为4,且等式f (2+x ) =f (2-x ) 对任意x ∈R 均成立,
判断函数f (x ) 的奇偶性.
解:由f (x ) 的周期为4,得f (x ) =f (4+x ) ,由f (2+x ) =f (2-x ) 得
f (-x ) =f (4+x ) ,∴f (-x ) =f (x ), 故f (x ) 为偶函数.
6. 已知f (x ) 的定义域为R ,且对任意实数x ,y 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ,求证:f (x ) 是偶函数。
分析:在f (xy ) =f (x ) +f (y ) 中,令x =y =1,得f (1) =f (1) +f (1) ⇒f (1) =0
x =y =-1,得f (1) =f (-1) +f (-1) ⇒f (-1) =0于是 令
f (-x ) =f (-1⋅x ) =f (-1) +f (x ) =f (x ) 故f (x ) 是偶函数。
7. 若函数y =f (x )(f (x ) ≠0) 与y =-f (x ) 的图象关于原点对称,求证:函数y =f (x ) 是偶函数。
证明:设y =f (x ) 图象上任意一点为P (x 0,y 0)
y =f (x ) 与y =-f (x ) 的图象关于原点对称,∴P (x 0,y 0) 关于原点的对
∴-y 0=-f (-x 0)
称点(-x 0,-y 0) 在y =-f (x ) 的图象上,又
∴y 0=f (-x 0)
y 0=f (x 0) ∴f (-x 0) =f (x 0)
即对于函数定义域上的任意x 都有f (-x ) =f (x ) ,所以y =f (x ) 是偶函数。
8.已知y =f (x ) 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的a , b ∈R ,都满足:
f (a ⋅b ) =af (b ) +bf (a ) 。判断y =f (x ) 的奇偶性,并证明你的结论。
解析:令a =b =1,则f (1⋅1) =1⋅f (1) +1⋅f (1) ,得f (1) =0;
令a =b =-1,则f [(-1) ⋅(-1)]=(-1) ⋅f (-1) +(-1) ⋅f (-1) ,得f (-1) =0; 令a =-1,b =x 得f [(-1) ⋅x ]=(-1) ⋅f (x ) +x ⋅f (-1) ,得f (-x ) =-f (x ) 因此函数y =f (x ) 为奇函数。
总结:赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。
9. 已知函数
对任意不等于零的实数
,试判断函数f(x)的奇偶性。
解:取又取再取因为
得:
则
为非零函数,所以
为偶函数。
得:
,所以,所以,即
都有
10.(2006年辽宁卷)设f (x ) 是R 上的任意函数, 则下列叙述正确的是 (A)f (x ) f (-x ) 是奇函数 (B)f (x ) f (-x ) 是奇函数 (C) f (x ) -f (-x ) 是偶函数 (D) f (x ) +f (-x ) 是偶函数
【解析】A 中F (x ) =f (x ) f (-x ) 则F (-x ) =f (-x ) f (x ) =F (x ) ,
即函数F (x ) =f (x ) f (-x ) 为偶函数,B 中F (x ) =f (x ) f (-x ) ,F (-x ) =f (-x ) f (x ) 此时F (x ) 与F (-x ) 的关系不能确定,即函数F (x ) =f (x ) f (-x ) 的奇偶性不确定, C
F (x ) =f (x ) -f (-x ) ,F (-x ) =f (-x ) -f (x ) =-F (x ) ,即函数F (x ) =f (x ) -f (-x ) 为奇函数,D 中F (x ) =f (x ) +f (-x ) ,
F (-x ) =f (-x ) +f (x ) =F (x ) ,即函数F (x ) =f (x ) +f (-x ) 为偶函数,故选择答案D 。
中
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断,同时考查了函数的运算。
11. 已知函数f (x )(x ∈R ,x ≠0) 对任意不等于零的实数x 1、x 2都有
f (x 1⋅x 2) =f (x 1) +f (x 2) ,试判断函数f (x )的奇偶性。
解:取x 1=-1,x 2=1得:f (-1) =f (-1) +f (1) ,所以f (1) =0 又取x 1=x 2=-1得:f (1) =f (-1) +f (-1) ,所以f (-1) =0 再取x 1=x ,x 2=-1则f (-x ) =f (-1) +f (x ) ,即f (-x ) =f (x ) 因为f (x ) 为非零函数,所以f (x ) 为偶函数。