二元一次方程的解法
[数学七年级下]8.2 消元——二元一次方程组的解法
教学分析
教学目标
(1)知识与技能
本节主要内容为二元一次方程组的解法:代入法和加减法。通过对具体方程组的分析,得出“将未知数的个数由多化少,逐一解决”的消元思想和方法,最终使多元方程最终转化为一元方程,解出未知数。
(2)内容与方法
本节课从分析上节课留下的二元一次方程组开始导入新课,求解二元一次方程组成为本节课的主要任务,比较二元一次方程和一元一次方程的区别,使用等量替换的方法实现二元一次方程向一元一次方程的转化,使代入消元的思想在课堂上逐渐展开,然后,仔细观察两个方程中y前系数,根据等式性质,使用加减法实现方程的消元化简,进入本节课的二元一次方程组第二种解法—加减法。
(3)情感态度与价值观
使学生在消元思想的引导下,从具体到抽象,从特殊到一般地认识代入消元法和加减消元法的实施过程。同时,使学生能逐渐培养起独立解决实际问题的能力。
教学重难点:二元一次方程的两个解法—代入法、加减法
教学设计
教学过程
导入新课
本节承接上节中讨论过的篮球联赛胜、负场数问题。“篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每对胜一场得2分,负一场得1分。某队为了争取好名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数应分别是多少?” 设:胜x场,负y场,则得方程组
x + y =22
2x + y =40
如何求出方程的解,成为本节课的主要任务。
讲授新课
比较二元一次方程与一元一次方程的不同可以看出:方程可以写成y =22-x ,将方程带入方程,得:2x +(22-x)=40 ,整理得x =18 ,从而求出y=4
将二元一次方程转化为一元一次方程,使用的是“消元”的思想,通过减少未知数的个数,使多元方程最终转化为一元方程。
代入法就是“把一个方程(可能需要适当变形)代入另一个方程”进行等量替换,从而实现消元。
练习1: 把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式。
(1)2x -y =3
(2)3x + y - 1 = 0
练习2:用代入法解方程组
x - y =3
3x - 8y =14
我们知道可以用代入法解方程组
x + y =22
2x + y =40
问题一:仔细观察这个方程组的两个方程中y的系数有什么关系?
如果用方程减去方程,可以得x =18 ,那么就可以求出,y =4
问题二:思考如何解 4x + 10y =11
15x—10y = 8
归 纳: 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程。这种方法就叫做加减消元法,简称加减法。(加减法的依据是等式的性质:等式两边都加(减)相等的量,结果相等。)
问题三:解方程组 3x + 4 y = 16
5x—6y = 33
同学们能运用加减法来解吗?为什么呢?
该例给出的方程组不能直接通过加减两个方程消元,因为它不具备未知数的系数相等或相反的关系,因此在加减两方程之前,需要对方程进行变形,使其具备上述条件。
练习:一条船顺流航行,每小时行20km ;逆流航行时,每小时16km ,求轮船
在静水中的速度与水的流速。
课堂小结
代入法和加减法是二元一次方程组的两种解法,它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程,只是消元的方法不同,应根据方程组的具体情况选择更适合它的解法。