直线和抛物线的位置关系(复习课)
直线和抛物线的位置关系
--------题型分析
介休一中数学教师 范丽琴
【学习目标】1. 掌握抛物线定义及其标准方程和抛物线的几何性质. , 2. 掌握直线和抛物线的位置关系的判断方法. 3. 熟练掌握直线和抛物线的位置关系的应用. 【复习回顾】
1. 直线与抛物线的位置关系: (1)位置关系的判定:
=联立直线l :y
+k x 和m 抛物线y 2=2px (p >0) 消y 整理得:
22
=m k 2x +2(k -m ) p +x 0
当a ≠0时
∆>0⇔直线与抛物线相交,有两个不同公共交点 ∆=0⇔直线与抛物线相切,只有一个公共交点 ∆
(2)若直线与抛物线相交于A (x 1, y 1), B (x 2, y
2) ,则弦长
AB =
AB =,特别注意解题时结合韦达定理来处理问题 2. 焦点弦问题:
p
设过抛物线y 2=2px (p ≠0) 的焦点F (,0) 的直线与抛物线交于A (x 1, y 1), B (x 1, y 1) ,
2
直线与
2
的斜率分别为k 1, k 2,直线的倾斜角为
,则有
2p p 2
①y 1y 2=-p ;②x 1x 2=;③k 1k 2=-4;④AB =x 1+x 2+p =,
sin 2α4
⑤FA =
p p 112
,FB =;⑥+=,
1-cos α1+cos αAF BF p
⑦过A , B 两点做准线的垂线,垂足分别为M , N , 则∠MFN =900, ⑧通径AB =2P ;⑨以弦AB 长为直径的圆总与准线相切 【例题讲解】
题型一:交点个数问题
例1. 抛物线C:y 2=4x ,直线L 过点P(0,1), 若L 与C 只有一个公共点,求直线L 的方程。
(答案:x =0或y =1或y =x +1 ) 变式练习:
已知直线l :y =kx +1和抛物线y 2=8x
(1)若直线l 与抛物线有两个公共点,求k 的取值范围 (2)若直线l 与抛物线只有一个公共点,求k 的取值范围 (3)若直线l 与抛物线没有公共点,求k 的取值范围 题型二:弦长问题
例2. 过抛物线y 2=2x 的焦点作倾斜角为45 的直线交抛物线于A,B 两点,则线段AB 的长是多少?(答案:4) 变式练习:
已知抛物线y 2=4x 截直线y =2x +b 所得的弦AB 的长为,P 是其对称轴上一点,若S △PAB=39,求P 点的坐标。 【 P(15,0)或(-11,0)】 题型三: 最值问题(1)
例3. 求抛物线x 2=y 上一点p 到直线l:2x -y -4=0的距离最小值及p 的坐标 变式练习:
求抛物线y 2=12x 上的点到直线l :3x -y +5=0的距离的最小值,并求取得最小值的点的坐标。
小结:相离时的距离最值问题: 解法一:平行直线系
解法二:用坐标表示出距离,可转化为求函数的最小值 最值问题(2)
例4. 在抛物线y 2=2x上求一点P, 使P到焦点F 与到点A(3,2)的距离之和最小
题型四:中点弦问题
例5. 求抛物线 y 2=-8x 被点P(-1,1)平分的弦所在直线方程及弦长. 小结:对于中点弦问题,在抛物线中通常利用点差法可得到直线斜率,中点 及P 三者之间的关系 变式练习:
1已知抛物线y 2=6x ,求过点(0,1)的直线被抛物线所截得弦中点的轨迹方程 2. 已知抛物线y 2=6x 及定点M (4, 3) ,求被点M 平分的抛物线的弦所在直线的方程,并求此弦长。
【归纳小结】
1. 直线与抛物线的位置关系:
①一个公共点: 相切或相交(与对称轴重合或平行)
②无公共点(相离): 最值问题 (平行直线系或转化为函数最值) ③两个公共点: 相交(弦长公式、焦点弦) 2. 类比、数形结合、转化、分类讨论的思想
3. 提出问题、解决问题的能力,以及归纳概括的能力
【同步练习】
1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆x 2+y 2=4相交的公共弦
长等于
x 2y 2
2. 已知抛物线的顶点在原点,它的准线过椭圆2+2=1(a >b >0) 的一个
a b
焦点F ,且垂直于椭圆两焦点所在直线,已知抛物线与椭圆的一个交点为
22M (, ) ,求椭圆和抛物线的方程。 33
3. 过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( )
A .有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无数条 D .不存在 4. 已知抛物线y 2=2px (p >0) 有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长为2
,一直角边的方程是y =2x , 求抛物线的方程.
x 2a 2
-y 2b 2
5. 抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线=1(a >0,b >0)的一个焦点,并
⎝2
⎫
6⎪,求抛物线与双曲⎭
3
与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为⎛ ,
线方程.
6. 顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线截直线2x -y -4=0所得的弦长为3,求抛物线的方程。 (y 2=4x 或y 2=-36x )
7. 设A (a ,0) 是抛物线y 2=2px (p >0) 对称轴上的一个定点, 过A 作抛物线的弦PQ ,求证:P , Q 这两点的横坐标之积为定值,纵坐标之积也是定值。
8. 正方形ABCD 中,一条边AB 在直线y =x +4上,另外两顶点C , D 在抛物线y 2=x 上,
求正方形的面积.
9. 如图所示,倾斜角为α的直线经过抛物线y 2=8x 的焦点F ,且与抛物线交于A 、B 两点.
(1)求抛物线焦点F 的坐标及准线l 的方程;
(2)若α为锐角,作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P , 证明FP -FP cos2α为定值,并求此定值.
x 2y 2
10. 在直角坐标系xoy 中, 椭圆C 1:2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2. F 2
a b
也是抛物线C 2:y 2=4x 的焦点,点M 为C 1与C 2在第一象限的交点,且MF 2=(1)求C 1的方程;
5
3
(2)平面上的点N 满足=MF 1+MF 2,直线l ∥MN ,且与C 1交于A , B 两点,若
·=0,求直线l
的方程.