直管弯管相贯线放样计算模型
直管/弯管相贯线放样图计算模型
一、问题的提出
如图1所示，弯管与直管相贯，其中直管与弯管的中心线位置关系有三种情况（此处只考虑两管中心线在同一平面内情形）：相割、相切、相离。这种情况等同于求一圆环与一圆柱相交所得空间交线的平面展开图，如图2所示。根据工程上的实际使用情况，只考虑相切的情况。
图1 图2
二、建立数学模型
图3
如图3，设圆环旋转半径R 1、环半径R 2，直管半径R 3，M 0、M 1为圆环与直管交线在XOY 平面内的交点，L1、L2分别为圆环与直管交线在XOY 平面内的一母线。则圆环绕Z=0旋转后的方程为
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(或
−R 1
)+z
2
2
=R 22
……………………… ①
x 2+y 2+R 12+z 2−R 2=±2R （注：圆环关于XOY 平面对称） 直管圆柱面方程为
(x −R 1)+z 2=R 32
2
……………………… ②
联立①②，则得圆环与直管的交线（即相贯线）方程
2
⎧22⎪R 1+z =R 2
……………………… ③ ⎨
⎪(x −R )2+z 2=R 2
13⎩
()
为便于求解，只求第一象限的交线，则定义域为
⎧R 1−R 3≤x ≤R 1+R 3
⎪
⎨0≤y ≤R 1+R 2
⎪0≤z ≤MAX {R , R }
23⎩
三、求解
直管沿母线L1剪切展开后的图形大致类似于图4，圆环沿母线L2剪切展开后的图形大致类似于图5。
图4 图5
在图3任取一动点M(x’,y’,z’)，当点 M(x’,y’,z’)沿方程③运动时，对应于图4、图5中点M(x,y)的运动轨迹即为所求。
从图3和方程组③中可以得知，图4、图5的曲线是关于y 轴对称的，所以只需研究图3第一象限上半部分的曲线展开方程，即图4、图5中的第二象限部分曲线方程。 1、直管相贯线展开方程
X ＝－(图3中直管上的截面圆上点M 到M 1所在母线L3的一段弧长) Y ＝图3中M 的Y 坐标值－图3中M 1的Y
坐标值
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X 的具体求解方法为：将直管投影在XOZ 平面上（见图6）。
q 为优弧；如x’＞R 1，则弧长MM q 为劣弧， 如果图3中x’≤R 1，则弧长MM
1
1
x ' −R 1
(R 1−R 3≤x ' ≤R 1+R 3) ………… ④ R 3
由方程组③消去z 可得
X =−R 3arccos y =
………… ⑤
将M(x’, y’, 0)、M 1(R1+R 3, y, 0)代入式⑤相减就得图4中的Y 图6
Y =
−
……………………… ⑥
联立④⑥可得图4中曲线在第二象限的参数方程
x ' −R 1⎧
X =−R arccos 3⎪R 3⎪
(R 1−R 3≤x ' ≤R 1+R 3) ……………………… ⑦ ⎨⎪Y =⎪⎩
将式⑦中X 改为x 、Y 改为y 、x’改为t ，则得
t −R 1⎧
x =−R arccos 3⎪R 3⎪
(R 1−R 3≤t ≤R 1+R 3)
………………………
⑧ ⎨⎪y =⎪⎩
求出第二象限的方程后，第一象限内方程由对称关系求得，最后将第一象限、第二象限方程合并，得到最终方程：
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t −R 1⎧
=±x R arccos 3⎪R 3⎪
(R 1−R 3≤t ≤R 1+R 3) ……………………… ⑨ ⎨⎪y =⎪⎩
2、圆环相贯线展开方程
图3中，M 在XOY 平面内的投影为M’，连接OM’并延长交L4与X’，图5中X 在圆环在X’OZ平面内的截面圆上的关系如图7，图5中Y 在XOY 平面内L4上关系如图8，则
图7 图8
q ' =−R X =MX
2
………………… ⑩
⎛⎞q q q ………………… ⑾ Y =X ' M 1=MX ' −M 1X ' =(R 1+R 2)(α−β)=(R 1+R 2)⎜⎜⎝第 4 页 共 6 页
联立⑤⑩⑾可得图5中曲线在第二象限的参数方程
⎧⎪X =−R 2
⎪2⎪
(R 1−R 3≤x ' ≤R 1+R 3) ……………… ⑿ ⎨⎛⎞
⎪⎜=+Y R R (12)
⎜⎪⎪⎝⎩
将式⑿中X 改为x 、Y 改为y 、x’改为t ，则得
⎧⎪x =−R 2
⎪2⎪
(R 1−R 3≤t ≤R 1+R 3) ……………… ⒀ ⎨⎛⎞
⎪⎜=+y R R ()
12⎪⎜⎪⎝⎩
求出第二象限的方程后，第一象限内方程由对称关系求得，最后将第一象限、第二象限方程合并，得到最终方程：
⎧⎪X =±R 2
⎪2⎪
(R 1−R 3≤t ≤R 1+R 3) ……………… ⒁ ⎨⎛⎞
⎪⎜=+Y R R ()
12⎪⎜⎪⎝⎩
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四、编写CAD 程序
既然有了方程，就可以用AutoCAD 内嵌的AtuoLisp/Vlisp语言，在x 的整个定义域内分n （为便于编写程序，n 取偶数）等分，根据方程⑨⒁计算各点坐标，然后用Line 连接即可绘制出类似于图4、图5的曲线。
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