第二讲 三角形全等的判定
第二讲 三角形全等的判定
三角形全等的判定一
【教学目标】
1、使用直尺和圆规画已知角的角平分线,了解三角形稳定性性质,掌握三角形全等的条
件——SSS ;
2、运用三角形全等的条件——SSS ,已知三边画三角形,学会简单推理过程的说明;
3、由三角形稳定性体会数学与实践联系紧密,简单推理过程培养学生严谨的逻辑思维。
【教学重点、难点】
重点: 三角形全等的条件——SSS
难点:学会简单推理过程的说明
【教学过程】
(一)复习旧知: 如图1,△ABC ≌△DBC ,∠A 和∠D 是对应角,
说出另外两组对应角和各组对应边,指出他们的 关系,并说明理由。
(二)引入新知: 阅读课本,让学生使用直尺和圆规根据已知三边画三角形,并比较各组所画的三角形,让学
生发现这些三角形的共同点
思考:两条弧线的交点是否只有一个?若连接D ′E 、D ′F 得到的△D ′EF 也是所求的三
角形吗?这两个三角形能否互相重合?
(三)归纳新知:
在学生发现的基础上适当点拨得出:
有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS ”)
(四)应用新知
例1:如图2,在四边形ABCD 中,AB=CD,AD=CB,则∠A=∠C ,请说明理由。
解:在△ABD 和△CDB 中
AB=CD (已知) AD=CB (已知)
BD=DB (公共边)
∴△ABD ≌△CDB (SSS ) ∴∠A=∠C (根据什么?) 注意:书写格式须规范
例2:已知,∠BAC (如图3),用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD ,并说出该作法正确
的理由。
作法:1、A 为圆心,适当长为半径作圆弧, 与角的两边分别交于E 、F 点
2、分别以E 、F 为圆心,大于1
2EF 为半径作圆弧交于角内一点3、过点A 、D 作射线AD
(五)归纳小结:今天你学到了哪些内容? B
(六)布置作业
【教学反思】注意:有时为解题需要,在原图形上添上一些线,这些线叫做辅助线,辅助线A
通常画成虚线。
1、已知:如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE.求证:∠BAC=∠DAE .
A ,求证:∠A=∠C 。
C B
D BE=CF,AB=DE,AC=DF。
C B 求证:△ABC ≌△DEF 。
B 三角形全等的判定二 E F C 【教学目标】
知识目标:1. 掌握三角形全等(SAS )的判定方法。
2. 理解线段的中垂线概念,掌握线段的中垂线性质。
能力目标:会运用三角形全等的判定方法、线段的中垂线性质,解决两条线段相等、两个角
相等的问题。
【教学重点、难点】
重点:两个三角形全等(SAS )的判定条件。
难点:1. 先判定两个三角形全等;再利用全等三角形的性质,判定两条线段相等。
2. 线段的中垂线性质的应用。
【教学过程】
一、创设情景,提出问题
教室的钢窗,开窗时,随着∠ABC 的大小改变,开窗的大小
也随之改变。由于∠ABC 的大小在改变,问:△ABC 的的
形状能固定吗?
二、合作学习,引入新知
1. 画三角形
让我们动手做一做:用量角器和刻度尺画△ABC ,使AB=4Cm,BC=6Cm,∠ABC=60⁰。要求学生把图画在纸上。
三、应用新知
1. 例题讲解
分析: 在△AOB 和△COD 中:
已有哪些已知条件?OA=OC,OB=OD。根据三角形的判定方法,还需要什么条件?
∠AOB=∠COD 或AB=DC,选哪一个好?∠AOB=∠COD 。
而AB=DC,在两个三角形不全等的情况下,根据已有的条件,AB=DC吗?不可能。
四、梳理知识,归纳小结
通过本节课的学习,谈谈你的收获。
1. 我们已学习了三角形全等的两个判定方法:SSS 、SAS 。
2. 线段的中垂线概念及性质。
3. 对所学的知识,重在于灵活运用。
【教学反思】在画△ABC 时,教师可讲一下画图思路:先画一个“草图”△ABC ,把已知
条件,标写在图上,我们可以先画“草图”,帮助我们寻找画图的方法。根据所学的知识判
定两个三角形全等, 已知条件还可以换吗? 怎么换? 要求学生灵活应用判定方法, 加深概念的掌
握。
1. 已知:如图,AD ∥BC ,AD =CB ,AE =CF 。求证:∆
AFD ≅∆CEB
2、已知:如图,点A 、B 、C 、D 在同一条直线上,AC =DB ,AE
FD ⊥AD ,垂足分别是A 、D 。求证:∆
EAB ≅∆FDC =DF ,EA ⊥AD ,
3、如图,在∆ABC 中,D 是AB 上一点,DF 交AC 于点E ,DE =FE ,AE =CE ,
AB 与CF 有什么位置关系?说明你判断的理由。
4. 已知:如图,AC 和BD 相交于点O ,AB =DC ,AC =DB 。求证:∠B =∠C 。
5、已知:如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB,AC 的中点, 点F 在DE 的延长线上, 且EF=DE.求证:(1)BD=FC (2)AB∥
CF
三角形全等的判定三
【教学目标】
1. 探索并掌握两个三角形全等的条件:有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA )。
2. 会运用ASA 判定两个三角形全等。
【教学重点、难点】
1. 本节教学的重点是两个三角形全等的条件:有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。
2. 例5涉及判定两个三角形全等和运用全等三角形的性质判定线段相等两个过程,是本节教学的难点。
【教学过程】
1. 复习引入 复习以上两节课已经学习了的三角形全等的条件,有SSS 、SAS 。
2. 合作学习:
(1)动手 请每位同学用量角器和刻度尺在白纸上画△ABC ,使BC =3cm, ∠B=400, ∠
C=600
(2) 注意相应的边、角的大小要符合要求,字母要一一对应。
(3)比较相邻的几位同学互相比较所画的三角形的大小。
(4)所画的三角形能够完全重合。
3. 全等三角形的判定定理:有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA ”)
例1
例2
1、如图,已知:AE=CE,∠A=∠C ,∠BED=∠AEC ,求证:AB=CD.
A
2∥AB ∥DC ,求证:AB=DC.
3、已知:如图 , AB=AC , ∠B=∠C ,BE 、DC 交于O 点。求证:BD=CE.
4、已知:如图,AE=BF,AD∥BC,AB 、CD 交于O 点。求证:
CE=DF.
5、如图, AB∥CD, AD、BC 交于O 点, EF过点O 分别交AB 、CD 于E 、F ,且AE=DF, 求证:O 是EF 的中点
思考
(1) 如果是两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形会全等吗?为什么?
(2) 如果表述为两个角和一边对应相等呢?
【教学反思】教学例题时要注意以下几点:
(1) 重视表述格式的规范;
(2) 重视尺规作图技能的培养;
(3) 强调培养让学生注明理由的习惯;
(4) 注意培养学生的推理思考能力。
三角形全等的判定四
【教学目标】
1. 探索并掌握两个三角形全等的条件:有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS )。
2. 会运用AAS 判定两个三角形全等。
3. 理解角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等。
【教学重点、难点】
1. 本节教学的重点是两个三角形全等的条件:有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角
形全等。
2. 例7需要添加辅助线,证明的思路较复杂,是本节教学的难点。
【教学过程】
1. 复习引入 复习以上两节课已经学习了的三角形全等的条件,有SSS 、SAS 、ASA 。
2. 合作学习:
(1)每位同学用量角器和刻度尺在白纸上画△ABC ,使AB =3cm, ∠B=400, ∠C=600
(2) 注意相应的边、角的大小要符合要求,字母要一一对应。
(3)比较相邻的几位同学互相比较所画的三角形的大小。
(4)所画的三角形能够完全重合。
3. 全等三角形的判定定理:有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS ”)
4. 如图,点P 是∠BAC 的平分线上的一点,PB ⊥AB ,PC ⊥AC 。说明PB =PC 的理由。
1、如下图,D 在AB 上,E 在AC 上,AB=AC,∠B=∠C .求证:AD=AE.
2.如图,AB ⊥BC ,AD ⊥DC ,∠BAC=∠CAD. 求证:
AB=AD .
3、已知:如图,AB=DC,∠A=∠D .试说明:∠1=∠2.
4.如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线,∠1=∠C, 求证AC=AB+BD
5. 如图,OP 是∠MON 的角平分线,C 是OP 上一点,CA ⊥OM ,CB ⊥ON ,垂足分别为A 、B ,△AOC ≌△BOC 吗?为什么?
5. 课外探究思考
(1) 三角形全等的条件已经有了SSS 、SAS 、ASA 、AAS ,
(2) 这些全等的条件有什么相似的地方吗?
(3) 两边一角对应相等,角不是夹角行不行?
(4) 全等的条件还能少吗?
【教学反思】教学例题时要注意以下几点:
(1) 重视表述格式的规范;
(2) 重视尺规作图技能的培养;
(3) 强调培养让学生注明理由的习惯;
(4) 注意培养学生的推理思考能力。
直角三角形全等的判定
教学目标:
1、 能证明直角三角形全等的“HL ”判定定理
2、 逐步学会分析的思考方法,发展演绎推理的能力
教学重点:直角三角形全等的判定及其应用
教学难点:引导探寻证明方法
教学过程:
一、自学质疑:
1、三角形全等的条件有哪些?(SAS, ASA, AAS, SSS)
2、你认为具备这样条件的两个直角三角形全等吗?为什么?
3、还有其它条件能证明两个直角三角形全等吗?
二、交流展示:
1、你能从基本事实出发,证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗?
2、证明这些结论你有没有困难?说说你准备如何解决这些困难?
证明;斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为“HL ”)
分析:引导学生找出证明方法,强调如何证明三点在一条直线上
已知:如图,
求证:__________________________________
证明: A (A1) 1
B C B C B 1B C (C1) 1
例1:已知:如图△ABC 中,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,BD 、CE 交于O 点,且BD=CE
求证:OB=OC.
分析:欲证OB=OC可证明∠1=∠2,由已知发现,∠1,∠2均在直角三角形中,因此证明△BCE 与△CBD 全等即可
证明:∵CE ⊥AB ,BD ⊥AC ,则∠BEC=∠CDB=90°
⎧CE =BD ∴在Rt △BCE 与Rt △CBD 中⎨ BC =BC ⎩
∴Rt △BCE ≌Rt △CBD(HL)
∴∠1=∠2,∴OB=OC
例2:已知△ABC 中,CD ⊥AB 于D ,过D 作DE ⊥AC ,F 为BC 中点,过F 作FG ⊥DC 求证:DG=EG。
分析:在Rt △DEC 中,若能够证明G 为DC 中点则有DG=EG
因此此题转化为证明DG 与GC 相等的问题,利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。
证明:作FQ ⊥BD 于Q ,∴∠FQB=90°
∵DE ⊥AC ∴∠DEC=90°
∵FG ⊥CD CD⊥BD ∴BD//FG,∠BDC=∠FGC=90°
∴QF//CD∴QF=DG,
∴∠B=∠GFC
∵F 为BC 中点
∴BF=FC
⎧∠BQF =∠FGC ⎪在Rt △BQF 与Rt △FGC 中⎨∠B =∠GFC ⎪BF =FC ⎩
∴△BQF ≌△FGC (AAS )
∴QF=GC ∵QF=DG ∴DG=GC
∴在Rt △DEC 中,∵G 为DC 中点∴DG=EG
随堂练习
1、如图,
、
,、
、
在一条直线上,
,则( )
,且
,
,
A . B . C . D .
2、在△ABC 和△A′B′C′中①AB=A′B′,② BC=B′C′,③AC=A′C′,④∠A=∠A′,⑤∠B=∠B′,⑥∠C=∠C′,则下列哪组条件不能保证△ABC ≌△A′B′C′
A .具备①②④ B .具备①②⑤ C .具备①⑤⑥ D .具备①②③
3、如图,工人师傅砌门时,常用木条EF 固定长方形门框ABCD ,使其不变形,这种做法的根据是
A .两点之间线段最短 B .长方形的对称性
C .长方形的四个角都是直角 D .三角形的稳定性
4、△ABC 与△DFE 是全等三角形,A 与D 对应,B 与F 对应,则按标有字母的线段计算,图中相等的线段有( )
A .1组 B .2组 C .3组 D .4组
5、已知△ABC ≌△A´B´C´,且△ABC 的周长为20,AB =8,BC =5,则A´C´等于( )
A .5 B .6 C .7 D .8
6、如图,若△ABC ≌△DEF ,则∠E 等于( )
A .30° B .50° C .60° D .100°
7、下列说法:①全等三角形的形状相同,大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长,面积分别相等;⑤所有的等边三角形都是全等三角形.其中正确的说法有( )
A .5个 B .4个 C .3个 D .1个
8、如图,C 为线段AE 上一动点(不与点A ,E 重合),在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ,AD 与BE 交于点O ,AD 与BC 交于点P ,BE 与CD 交于点Q ,连结PQ .以下五个结论:
①AD=BE;②PQ ∥AE ;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有______________(把你认为正确的序号都填上).
9、如图,已知:∠B=∠DEF ,BC=EF,现要证明△ABC ≌△DEF ,若要以“SAS”为依据,还缺条件_____;若要以“ASA”为依据,还缺条件__________;若要以“AAS”为依据,还缺条件__ ___.
10、如图,AD=BC,请你添加一个条件:使△DAB ≌△CBA (只添一个即可).
11、如图,线段AC 与BD 交于点O ,且OA=OC,请你添加一个条件:,使△OAB ≌△OCD .
12、如图,△ABC 绕点A 旋转后与△ADE 完全重合,则△ABC ≌△_______,那么两个三角形的对应边为__ ___,__ ___,___ __,对应角为____ __, ___ ___,
13、如图,若△ACB ≌△AED
,且∠B=35°,∠C=48°,则∠EAD=___ __.
14、如图,若△ABC ≌△EFC ,且CF=3cm,∠EFC=64°,则,∠B=_ __.
30、如图所示,已知△ABC ≌△FED ,且BC =ED ,那么BC 与DE 平行吗?为什么?
中考链接
D 、E 分别是BC 、AC 上的点,(2010安徽蚌埠)在∆ABC 中, AE =2CE , BD =2CD ,
AD 、BE 交于点F ,若S ∆ABC =3,则四边形DCEF 的面积为________。
(2010安徽)三角形纸片内有100个点,连同三角形的顶点共103个点,其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,则这样的三角形的个数为__________。
(2009济宁)观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形有 个 .
3. (2013北京) 在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α(0︒
(1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明;
(3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。