高一数学辅导讲义---均值不等式
高一数学辅导讲义第8讲----均值不等式
【高考导航】
历年来高考以选择题或填空题的形式考查利用均值不等式求最值的问题．利用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”．需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．均值不等式作为求最值的工具，渗透在许多方面，应用非常广泛
【知识要点】
1、主要公式：
（1）重要不等式
若a 、b ∈R , 则a 2+b 2≥2ab (或a 2+b 2≥2|ab |≥2ab ) （当且仅当a =b 时取等号）。
（2）均值不等式
a +b ≥（当仅当a =b 时取等号）如果a 、b 都是正数，那么
。 2
a +b （其中叫做a 、
b a 、b 的几何平均数） 2
（3）变形：
a +b 2a +b 2a 2+b 2a 2+b 2) ；) ①ab ≤，②ab ≤(≥(2222
2、最值定理：若x , y ∈R , x +y =S , xy =P , 则：
①如果P 是定值, 那么当x =y 时，S 的值最小；
②如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.
注意：使用均值不等式求最值时要注意以下几点：
①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件；
还要注意选择恰当的公式；
②“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；
③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一
致。
【思维方法】
1、用均值不等式求函数最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用公式求出最值；
2、利用均值不等式求最值时一定要注意使用条件：一正二定三相等，三者缺一不可。如均值不等式法无效，一般可改用单调性法求解。
【基础自测】
1. 已知x ≠0, 当x 为何值时，x 2+81有最小值？最小值为多少？ x 2+
2、若a , b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）
A 、a 2+b 2>2ab B
、a +b ≥
、+>
3、下列函数中，最小值为22的是（ ）
1 1a 1b b a 、+≥2 a b
A 、y =x +
【应用举例】 22(0
4
x 例1、已知x >0, 则2-3x -是否存在最大最小值？若存在，则求出其最值。
变式训练：若正数a , b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是
a +b 的取值范围是例2、（1）设0
2，求函数y 的最大值
3的取值范围 a -4
x 2+2x +5例3、（1）已知x >0, 求y =的最小值 x
22（2）已知x >0, y >0, 且x +y =1, 求+的最小值 x y
82（3）已知x >0, y >0, 且x +y =1, 求+的最小值 x y （2）求a +
【高考链接】
1、（2011重庆）已知a >0, b >0, a +b =2，则y =+的最小值是( )
9
2
2、（2010重庆）已知x >0, y >0, x +2y +2xy =8，则x +2y 的最小值是( )
911A 、3 B 、4 C、 D、 22
3、（2010安徽文数）若a >0, b >0, a +b =2，则下列不等式对一切满足条件的a , b 恒1a 4b A 、 B、4 C、 D、5 72成立的是 (写出所有正确命题的编号) ．
①ab ≤1；
③ a 2+b 2≥2； ④a 3+b 3≥3； ⑤+≥2
4、（2010浙江文数）若正实数x , y 满足2x +y +6=xy ，则xy 的最小值是 1a 1b
2