与球有关的高考试题

《立体几何》之《球》的分类复习

立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问 题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下，供复习参考之用：

考试核心：性质的应用d2=OO12=R2-r2，构造直角三角形建立三者之间的关系。 类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题）

1.15．如图球O的半径为2，圆O

1是一小圆，OOA、B是圆O1上两点，若A，B两点间的1

球面距离为2π，则∠AO1B= . （2009年理科） 3

2.15．如图球O的半径为2，圆O

1是一小圆，OO=A、B是圆O1上两点，若∠AO1B=1

则A,B两点间的球面距离为 （2009年文科） π，2

类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径c=2r，从而解决问题。 sinC

3.15. 直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2,

∠BAC=120︒，则此球的表面积等于（2009年理科）

析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R，与R相关的是重要性质R=r+d。

∵AA1=2, ∴d=OO1=OO2=2221AA1=1。 2

现将问题转化到⊙O2的半径之上。

因为△ABC是⊙O2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。 由余弦定理有BC=

由正弦定理有

22AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cos∠BAC=4+4+4=2， BCBC=2r⇒r==2 sin∠BAC2sin∠BAC22∴R=r+d=4+1=5. ∴S=4πR=20π。

24.14．正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为的球，若A,B两点的球面距离为π，则正三棱柱的

体积为 8 ．（2009年理科）

5.12．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30 ，则棱锥S

—ABC的体积为 C （2011年理科）

A． B．2 C．3 D．1 第 1 页共 4页 制作者：王峥峰

SA=AB=

1，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，6.（11）已知S,A,B,C是球O表面上的点，BC则球O表面积等于 A （2010年文科）

（A）4π （B）3π （C）2π （D）π

类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。

7.15.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆

C。若圆C的面积等于7π，则球O的表面积等于 .（2009年文科） 4

2222析：问题的解决根本——求球半径R=OB。 与R相关的重要性质R=r+d中，r可求（∵πr2

问题转化到求d=OC上 充分运用题目中未用的条件，OM=

2=7π4 ∴r2=74） RR，∠OMC=45°，∴d= 2227R222于是R=+求得R=2，∴S=4πR=8π 48

8.(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为 D （2011年理科）

(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π

9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60纬线长和赤道长的比值为2009文科）

（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25

类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。

10.13．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径

与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 4 cm．（2010年理科）

11.16．长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，AB=AA1=

1，0

BC=A，B两点间的球面距离为π（2010年文科） 3

12.14．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积

等于 43π ．（2009年文科）

13.16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的3，则这两个圆锥中，16

体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___1/3____．（2011

年文

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科）

14.15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 2πR

类型五：平面几何性质在球中的综合应用。

15.（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，2AB=4．若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．（2010年理科）

析：由OM=ON知，⊙M与⊙No为等圆，根据球中的重要性质∴r=R-d=16-9=7

又MH⊥AB得H为AB中点，∴BH=AH=2 ∴MH=NH=r2-BH2=3

∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN

由余弦定理有MN2=OM2+ON2－2OM·ON·cos∠MON

MN2=MH2+NH2－2MH·NH·cos(π－∠MON)

解得cos∠MON=2221π，即∠MON= 23∴三角形OMN为等边三角形， ∴MN=3. 16.（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是A（2010年理科）

（A）Rarccos171814 （B）Rarccos （C）πR （D）πR 3152525

类型六：性质的简单应用。

17.(15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于______16π_______.（2009年文科）

18.（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O

的球面上，且AB=6,BC=,则棱锥O-ABCD的体积为 24 。（2011年理科）

S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 （2011年理科） 19.（9

（A

（B

(C)1

(D) 类型七：估算。

20.7.设球的体积为V，它的内接正方体的体积为V

A. V比V

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，下列说法中最合适的是2011年文科） 大约多一半B. V比V大约多两倍半C. V比V大约多一倍D. V比V大约多一杯半

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