如何构造全等三角形解题doc
如何构造全等三角形解题
我们知道,全等三角形是研究几何图形的基础,许多几何问题若能通过辅助线构造出全等三角形,以沟通题设与结论,从而使问题获解. 那么如何才能构造全等三角形呢?一般来说有以下几种常见方法: 一、遇到中线可倍长中线
例1:如图1,在△ABC 中,AD 是中线,BE 交AD 于点F ,且AE =EF. 试说明线段AC 与BF 相等的理由
E
B D
图1
【小结】要说明线段或角相等,通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等,而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形
二、遇到角平分线可利用角的对称性
例2:如图2,在△ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线,AC =AB+BD,试说明∠B 与2∠C 相等的理论依据
【小结】在几何解题中若遇到角平分线时,通常利用角的对称性,在角的两边截取相等的两部分构造构造全等三角形求解
三、遇到高可以高线为对称轴
例3:如图3,在△ABC 中,AD ⊥BC ,若∠C =2∠B. 试比较线段BD 与AC+CD的大小
【小结】利用三角形高的性质,在几何解题时,可以高线为对称轴构造全等三角形求解 四、遇到特殊图形可通过旋转变换
例4:如图4,设点P 为等边三角形ABC 内任一点,试比较线段PA 与PB+PC的大小
图4 P
C
E D 图3
B
D 图2
【小结】由于图形旋转的前后,只是位置发生了变化,而形状和大小都没有改变,所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题 五、利用平行线
例5:如图5,△ABC 中,AB =AC ,E 是AB 上任意一点,延长AC 到F ,连接EF 交BC 于M ,且EM =FM 试说明线段BE 与CF 相等的理由
【小结】这里通过辅助线将较散的结论相对集中,使求解的难度降低 技能技巧训练
很多学生学习了“全等三角形”的有关知识,不知道怎样灵活运用.本节就“全等三角形”的有关解题技巧进行点拨,希望大家能有所收获.
一、运用全等三角形解决与线段有关的问题
例1:如图已知:△ ABC中,∠C=2∠B,∠BAD=∠CAD, 求证:AB=AC+CD
B
D
C A
B
D 图5
【解析】从结论出发,宜采用“截长补短”法.先说补短:延长AC 到E ,使CE = DC;再说截长:在AB 上取AF=AC ........
A
A
二、运用全等三角形解决与角有关的问题
例2:如图AC=AD,BC=BD,AB 的延长线与CD 交于E ,求证:AE⊥CD
D
A
E
B
D
E
D
【方法点拨】
证明垂直的常用方法: ⑴证明两条直线夹角等于90°; ⑵证明邻补角相等;
⑶若三角形的两锐角互余,则第三内角是直角;⑷垂直于平行线中的一条也必垂直于另一条; ⑸证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等;⑹邻补角的平分线互相垂直; ⑺代数法计算. 还可以:
⑴证明垂直问题可以转化为证明角的相等问题,然后转化为证明三角形全等
⑵证明两个三角形全等时,应先分析图形结构和条件,围绕条件和结论,确定证明哪两个三角形全等 探究运用
例1、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN 经过点C ,且AD⊥MN于D ,BE⊥MN于E . (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE ; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE ;
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,试问DE ,AD ,BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.
例2、已知C 为AB 上一点, △ACN 和 △BCM 是正三角形. (1).求证:AM=BN. (2).求∠AFN 的度数.
图1
A
图2
B
D
图3
M
C
C B
N
M
A
C
B
(3).将原题中的正三角形改为正方形, 根据上面(1),(2)的启示, 能说明AM 与BN 的位置与数量关系吗?
D
A
C
B
例3. 如图:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A ,D 重合,连结BE ,EC . (1)直接填空:∠EDC=___________________度; (2)试猜想线段BE 和EC 的关系; (2)证明(2)时你猜想的结论是正确的.