3.3.2.2简单线性规划
3.3.2.2简单的线性规划
教学目的:
1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点教学重点:根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解 教学难点:最优解是整数解授课类型:新授课课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:
一、复习引入:
1.二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解,可行域, 最优解:
诸如上述问题中,不等式组是一组对变量x、y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示. 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.例如:我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,即为线性规划问题.
那么,满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.
在问题中,可行域就是阴影部分表示的区域.其中可行解A(x0,y0),B(x1,y1)(一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解3.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:
(1)根据线性约束条件画出可行域(即不等式组所表示的公共区域);
(2)设t=0,画出直线l0;
(3)观察、分析,平移直线l0,从而找到最优解A(x0,y0),B(x1,y1);
(4)最后求得目标函数的最大值及最小值二、讲解新课:
1. 第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,收到的效益最大?
例1 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t,需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t;生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的
利润是600元,每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t,甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t),能使利润总额达到最大?
分析:将已知数据列成下表:
解:设生产甲、乙两种产品分别为 t、 t,利润总额为元,
10x4y300,5x4y200,
那么4x9y360,
x0,y0;
目标函数为:z=600x+1000y.
作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作直线l:600x+1000y=0, 即直线l:3x+5y=0,
把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大,此时z=600x+1000y取最大值.
解方程组
5x4y200,
4x9y360,
3601000
≈12.4,y=≈34.4. 2929
得M的坐标为x=
答:应生产甲产品约12.4 t,乙产品34.4 t,能使利润总额达到最大2.第二种类型是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格今需要、、三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少?
解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,根据题意可得:
2xy15,
x2y18,
x3y27, x0,y0.
作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域:
目标函数为z=x+y,
作出在一组平行直线x+y=t(t为参数)中经过可行
域内的点且和原点距离最近的直线,此直线经过直线x+3y=37和直线2x+y=15的交点A
183957,),直线方程为x+y= 555
1839
和都不是整数,而最优解(x,y)中,x、y必须满足x,y∈Z,所以,可由于551839
行域内点(,)不是最优解55
(
经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解答:要截得所需规格的三种钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种,第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张,两种方法都最少要截得两种钢板共12结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法:
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的:
(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解三、课堂练习:
课本P104练习1----2:
五、课后作业:课本106页习题3.3. B组1、2、3