数学模型在机械优化设计中的应用

东 北 大 学

研 究 生 考 试 试 卷

考试科目： 数学模型

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考试日期： 2013. 12

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东北大学研究生

数学模型在机械优化设计中的应用

1. 绪论

随着计算机技术的飞速发展和数值计算方法的广泛应用, 机械领域的建模有了巨大的发展, 这大大地推动了现代工程领域的技术进步和创新。数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代十明理等方面获得了越来越广泛而深入的应用，使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。因此要很好地利用数学知识，使经济学、社会学等领域走向定量化、精密化和准确化。通过建立数学模型可以为研究一个国家、地区或城市的社会经济发展战略与规划提供相应的依据，因此，数学模型在国民经济中有着重要的应用。

机械优化设计是适应生产现代化要求发展起来的一种机械设计方法。该领域的研究和应用进展非常迅速，并且取得了可观的经济效益。机械优化设计包括机械优化设计、机械零部件优化设计、机械结构参数和形状的优化设计等诸多内容。在科技发达国家已将优化设计列为科技人员的基本职业训练项目。随着科技的发展现代化机械优化设计方法主要以数学规划为核心，以计算机为工具，向着多变量、高效率、高精度的方向发展。目前又提出了些更新的优化设计方法，例如基因遗传算法、模糊优化、人工神经网络设计等等[1]。

2. 数学模型概述

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻画出来的某种系统的关系结构。从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，从这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。 [2]

2.1 构建数学模型的一般步骤

2.1.1 模型数据的收集及准备

根据研究的目的和任务对所要研究的现象进行全系统的周密调查，以获取大量的数据资料，并对资料进行分组整理。

2.1.2 模型的假设及建立模型

在掌握必要资料的基础上，对原型进行抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建立数学模型有用的信息资源和前提条件，并且用精确的语言做出假设，是建立数学模型过程关键的一步。对原型的抽象、简化不是无条件的，一定要善于辨别问题的主要方而和次要方而，抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量将问题均匀化、线性化，并且要按照假设的合理性原则进行. 并注意从原型中抽象出与建立数学模型目的有关的因素，简化掉那些与建立数学模型目的无关的或关系不大的因素，所给出的假设条件要简单、准确，有利于构造数学模型. 假设条件要符合情理，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围，在对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件。

2.1.3 模型的求解

确定了数学模型后，可以采用解方程、画图、证明定理、逻辑运算等数学方法或其它工具对模型求解，估计出模型中的参数. 根据问题的要求分别求出最优解、次优解、满意解。复杂的模型需用计算机求解，包括精确解和近似解。

2.1.4 模型的分析及修改

对模型的结果进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状态，有时是根据所得结果给出数学上的预测，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析，并以实际测量值去检验模型的可信度，对模型做出适当校正。

2.1.5 模型的检验及应用

运行所得到的模型，把模型的预期结果与实践相对照，做统计和历史的分析，当预期变化符合经验或历史的实际时才可被认为正确. 否则不能将所得的模型应用于所研究的实际问题. 此时需要回头检查模型的组建是否有问题，关于问题的假设是否恰当，是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素，并对模型进行必要的调整修正. 重复前而建立数学模型过程，直到建立出一个经检验符合实际问题的模型为止。只有经过检验的模型才能对其应用，即只有已经证明(检验) 合格的模型才能去解决实际问题[3]。

2.2 建立数学模型步骤的图示

建立数学模型可以运用一个简单的图示来表示它的步骤，从而达到简捷的效果。

图1 数学模型步骤 3. 数学模型在机械优化设计中的应用

随着计算机技术的发展，实现了计算机对数学定理的证明、发现和整理，它也推动了数学现代化的发展，将数学与计算机的技术融合，运用到机械优化设计上，使机械优化设计呈现了新的方式。

优化设计是建立在数学规划理论和计算机程序设计基础上，通过计算机的数值计算，在一切可能的方案中寻求最优方案，使期望的指标达到最优。它可以成功地解决解析法等其他方法难以解决的复杂问题。在机械工程领域中，根据机械设计理论、方法、标准和规范等建立反映工程设计问题和符合数学规划要求的数学模型，然后采用数学规划方法和计算机计算技术自动找出设计问题的最优方案。优化设计的般步骤是：①分析设计问题，建立优化设计数学模刑②选择优化设计方法，进行求解；③方案评价与决策。在优化设计方法迅猛发展的同时，一个新的问题却摆在了设计人员的而前，即面对林林总总的优化设计方法，不知道具体选用哪种方法更好。选择合适的优化设计方法是解决某个具体优化设计问题的前提，而对优化设计方法进行分析、比较和评判是其关键是指导设计者进行优化设计方法选择决策的依据。优化设计技术虽然发展历史较短，但发展迅速，无论在机械产品中的机构设计、机械零部件设计，还是在各种专用机械设计和工艺设计方面都很快地得到应用。随着最优设计数学模型的不断完善和数学力学理论、计算技术和计算机的不断发展，优化设计在机械工程中具有更广阔的发展前景[4]。

3.1 优化设计的分类

优化设计的类别很多，从不同的角度出发，可以得出不同的分类。机械优化设计是通过优化方法确定机构、零件、部件乃至整个机械系统的最佳参数和结构尺寸，从而使机械产品达到最佳性能，其数学模型一般包含以下3个要素：①设计变量，即在优化过程中经过逐步调整，最后达到最优值的独立参数，其个数就是优化设计问题的维数。②

目标函数，反映设计变量问的相互关系，可以自接用来评价方案的好坏，根据其个数，优化设计问题可分为单目标优化问题和多目标优化问题。③约束条件，是设计变量问或设计变量本身应该遵循的限制条件，按表达方式可分为等式约束和小等式约束，按性质分为性能约束和边界约束按作用可分为起作用约束和不起作用约束[5]。

针对优化设计数学模型要素的不同情况，可将优化设计方法分类如下:

（1）按目标函数的多少，可分为单目标优化设计方法和多目标优化设计方法。

（2）按维数，可分为维优化设计方法和多维优化设计方法。

（3）按约束情况，可分为无约束优化设计方法和约束优化设计方法。

（4）按寻优途径，可分为数值法、解析法、图解法、实验法和情况研究法。

（5）按优化设计问题能否用数学模型表达，可分为：①能用数学模型表达的优化设计问题（其寻优途径为数学方法加数学规划法、最优控制法等）；②难以抽象出数学模型的优化设计问题（如总体方案优化、结构形式优化等，多采用经验推理、方案对比、人工智能、专家系统等方法寻优）[6]。

3.2 优化设计中数学模型的要求和注意问题

绝大多数的工程问题，是和数学联系在一起的，建立正确的优化数学模型，是解决机械优化设计的关键，总体来说对优化设计数学模型的基本要求是：①数学模型要能在满足各种限制条件下准确和可靠地说明设计问题所要实现的目标，计算过程稳定，计算结果可靠，从而达到优选设计方案和设计参数的效果。②所建立的数学模型要与当前的计算机软、硬件发展水平相适应，算法上容易处理，所耗费的计算时间较少[7]。

具体说来，设计人员在优化设计建模以及求解过程中应着重处理好以下几个问题：

（1）设计变量的选择

设计变量是可能影响设计质量和设计结果的可变参数，在机械优化设计中，设计变量是标志各零、部件的结构参数、尺寸大小的用来绘制结构图的各种设计参数，是优化设计的最直接、最有价值的内容。在优化设计的数学模型中，设计变量数量选择的越多，尽管可以淋漓尽致地描述问题，但也可能使建模变得更加困难，导致难以求解；反过来说，设计变量过少，有时就难以得到最佳的设计结果。因此，合理选择一定数量的设计变量不仅影响到模型的规模和建模的难度，也自接关系到优化结果能否令人满意，一般应遵循如下原则:

①抓主要，舍次要

对性能和结构影响较大的参数建议选为设计变量，对设计目标影响甚微的某此参数甚至可以不予考虑，总的原则是在保证优化效果的前提下，使数学模型尽可能简单。

②注意区分独立变量和相关变量

所谓独立变量是指在边界约束范围内和模型中其取值不受其它变量取值变化的影响的参数，即具有相对独立性的变量在工程实际问题中，有此参数的取值受到其它参数的影响或相互之间存在一定影响，这此参数称为相关变量。大多数情况下相关变量的相关性能通过函数关系式进行准确地表述，但如果数学上从设计变量中消去相关变量存在困难，则也可以将相关变量作为设计变量, 但必须要附加相应的状态方程，即补充等式约束函数。

③不要漏掉必须的设计变量

由于借助于计算机自动计算的优化设计方法作为一种高效率的现代设计方法，在数学建模时，就要求对影响设计要求的各种因素通盘考虑、统一规划，不漏掉必要的设计变量，这样才能得到高质量的成功的优化结果。

（2）目标函数的建立

目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式，目标函数的构造与选择，关系到优化结果的实用性，从不同角度出发或根据设计对象和要求的不同，可能有若干个目标函数可供选择，在实际的优化设计中，应根据所设计机械系统和结构的具体性质和应用场合，从若干个候选条件中筛选出最合理的标准作为目标函数，一般没有量化的原则和规律可以遵循，但根据以往机械优化设计的许多案例作参考。

（3）约束条件的确定

产品的设计过程通常对设计变量有各种限制，这此限制用函数的形式反映在模型中，就称为设计变量的约束条件，或简称为设计约束。

在机械设计领域，设计的限制是多种多样的，但一般都归属于两大类，第一类称为性态约束，是预测可能被破坏或失效的特征，性态约束具体表现为设计对象的某项性能指标，因而一般性态约束也可以当作目标函数来处理。从计算角度上讲，性态约束的检验相对容易处理，因此可利用目标函数和设计约束相互置换的特点，根据具体问题的具体要求，更加灵话地处理和利用。第一类称为边界约束，用来规定设计变量的取值范围。不论是哪一类的约束条件. 为了能定量处理. 都必须是可计算的函数。

（4）数学模型的尺度变换

数学模型的尺度变换就是通过放大和缩小某些坐标的比例尺，从而改善数学模型的

性态使之易于求解的技巧，多数情况下，数学模型经过尺度变化后，可以加速优化计算的收敛，提高计算过程的稳定性，下面分别对设计变量的无量纲化、约束条件的规格化作一些简单介绍。

①设计变量的尺度变换

当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定的搜索方向上各自的灵敏度也相差很大。灵敏度大的，搜索变化快，否则相反，从而导致计算工程的不稳定和收敛性变差，乃至出现病态现象。为了消除这种差别，可以对设计变量进行重新标度，使它们成为无量纲和规格化的设计变量。称这种处理为设计变量的尺度变换。

②目标函数的尺度变换

在优化设计中，若目标函数严重非线性，致使函数性态恶化。此时，不论采用哪一种优化方法，计算效率都不会高，而且会使计算不稳定。目标函数尺度变换的日的，就是通过尺度变换使其等值线尽可能接近于同心圆或同心椭圆族，减少原目标函数的偏心率和畸变度，从而加快优化搜索的收敛速度。

③约束条件的尺度变换

由于各约束条件所表达的意义不同，使得各约束条件在量级上差别很大，有可能使计算陷入歧途。尤其要避免两者对数值的变化反应的灵敏度的不同，因而在惩罚函数中所起的作用也不同。灵敏度的约束在极小化中会首先得到满足，而其它的约束却几乎得不到考虑，为避免这种情况，需对约束函数做规格化处理，把约束函数的取值范围限制一个合理的范围内，起到稳定搜索过程和加速收敛的作用[8]。

（5）优化结果的分析与处理

优化设计方法和其它的设计方法一样，是一种解决复杂问题的工具，而不是解决问题的原则。在优化设计中，建立正确的数学模型和选用适当的优化方法固然是取得正确设计结果的先决条件，但绝非充要条件。由于工程问题的复杂性，在优化求解后，还必须依据初始数据、中间结果和最终结果进行认真对比、分析，以查明优化计算过程是否正常和最终结果是否具有合理性和可行性[9]。

目标函数的最优值是对计算结果分析的重要依据。将它与原始方案的目标函数值作比较，可以看出优化设计比原设计方案改进的效果。若多给几个不同的初始点进行计算，从其结果可大致看出全局最优解。利用目标函数伯的几组中间输出数据作曲线或列表，可查看其最优化过程进行的是否正常。对于大多数机械优化设计问题，最优解往往位于一个或几个不等式约束条件的约束界而上，其约束函数值应等于或接近于零。若约束函

数值全部不接近于零，即其所有的约束条件都不起作用，这时必须进一步研究所给约束条件对该设计问题是否完善、所取得的最优解是否正确。如有错误，可尝试改变初始点甚至重新选择优化方法重新进行计算。

在机械优化设计的实际应用中，其最后的分析与处理，常常是不容忽视的，特别是对设计变量的敏感度分析对进一步提高工程优化设计的质量很有意义。

4. 展望

建立数学模型是为了解决实际问题，所以建立数学模型的过程中不仅要建立变量与变量之间的数学关系表达式，还必须清楚这些表达式在整个模型中的地位和作用。在实际问题中只能对可量化的问题进行数学分析和构建数学模型，对不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能进行数量分析的。尽管数学模型是反映事物的数量关系的，但必须从定性开始，离开具体理论所界定的概念，就无从对事物的数量进行分析和讨论。

优化设计是一门新的学科与设计方法，具有科学、理性、精确的特点，但在实际的机械设计中，每一个具体的工程问题都有其特定的应用场合，往往都有其特点与复杂性。所以工程人员须正确运用优化设计的基本理论和方法，建立起合理的数学模型，选择合理的优化方法进而对计算结果及灵敏性进行分析，使结果满足工程实际的需要。

参 考 文 献

1. 叶元烈．机械优化设计与理论，北京：中国计量出版社，2001，13-60.

2. 陈义华．数学模型，重庆：重庆大学出版社，1995，21-56.

3. 李瑞萍．浅析数学模型的构建方法及应用，青海师范大学学报，2011（3）.

4. 谭永基，蔡志杰．数学模型，上海：复旦大学出版社，2005，14-43.

5. 齐欢．数学模型方法．武汉：华中科技大学出版社，2000，23-54.

6. 王秋珍．机械优化设计的几种方法及评判指标，重庆工学院学报，2006（8）.

7. 李宜海．机械优化设计的数学建模及求解中的几个问题，煤矿现代化，2008（3）.

8. 孙靖民．机械优化设计，北京：机械工业出版社，1999，32-63.

9. 董俊华．现代技术在机械设计中的应用，河南机电高等专科学校学报，2007（1）.