直线运动之"追及"和"相遇"问题
直线运动之“追及”和“相遇”问题
一、追及
（1）匀减速运动的物体追同向的匀速运动的物体时，若两者速度相等了，追者还没追上被追者，则永远追不上，此时两者间有最小距离。
若两者处于同一位置（后者追上前者）了，追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。
若两者处于同一位置（追上）时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者的距离有一个较大值。
（2）初速度为零的匀加速运动的物体追同向匀速运动的物体时，当两者速度相等时两者有最大距离。 （3）如下图所示，设后者甲在t 的时间内走的位移为s 甲，前者在t 时间内走的位移为s 乙，开始追及时甲落后乙的距离为d （有些题目也常用s ），那么甲追上乙时必符合s 甲-s 乙=d ，即甲追上乙时甲恰好比乙多走了d 的位移。若s 甲-s 乙d ，则说明甲已经超越乙或者在之前已发生碰撞。
s
二、相遇
甲
（1）同向运动的两物体追及即相遇，分析同上述“追及”的（1）。
（2）相向运动的物体，当两物体发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
三、解决“追及”和“相遇”问题的常用方法：
（1）数学分析法 （2）物理分析法 （3）图像法
（4）巧选参考系等（具体可看例4的第二种解法）
【备注】: 其实不管是哪种方法，在于对题目的模型还有已知条件的把握和掌握、应用程度，但是在解决“追及”或“相遇”问题时，基本上结合物理分析法和图像法，再配合上相关的公式，足够矣。相关的解题技巧或者分析题目的技巧，只能在很多练习中训练中领悟。下面只是通过一些例子的分析，希望能让同学们对各种类型有个初步的理解。切忌，不要认为只需要看懂下面几道例题就算完成任务了，重要还是在
于平时的训练，在训练中逐步达到“万变不离其宗”之境。
（1）匀减速直线运动追匀速直线运动
例1、汽车正以10m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6m /s 的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？
【分析】:匀减速直线运动追匀速直线运动的追及问题，临界条件是两者速度相等，也就是说如果后者速度减到与前者速度相等时还没追上，在接下来的时间里，前者速度就比后者速度还有大，那么后者则永远没机会追上了。
解：设汽车前进的方向为正方向，根据题意可得
2
s 汽
22
v 自-v 汽v t -v 0
==„„○1
2a 2a
22
v t -v 0v 自-v 汽
t ==„„„„„„○2
a a
3 s 自=v 自t „„„„„„„„„„„„○4 s 汽-s 自=d „„„„„„„„„„○ 联立四式，解得
d =
v 自-v 汽
2a
22
-v 自⨯
v 自-v 汽
a 42-1024-10
=[-4⨯]m =3m 2⨯(-6) -6
所以关闭油门时汽车离自行车3m.
（2）匀速直线运动追匀加速直线运动
例2、甲、乙两个同学在直跑道上进行4×100m 接力(如图所示) ，他们在奔跑时有相同的最大速度，乙从静止开始全力奔跑需跑出25m 才能达到最大速度，这一过程可看作匀加速直线运动。现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑的速度达到最大速度的80%，则： (1)乙在接力区须奔出多少距离？ (2)乙应在距离甲多远时起跑？ 【分析】：特别要注意接棒的同学接棒时并不是静止的，而是在运动中接棒，所以一定要结合实际对此模型进行分析。 解：（1）设甲或乙同学奔跑时的最大速度都为v ，加速度为a ，乙在接力区须奔出距离s ，依题意，得
1 2as m =v 2„„„„„„„○2 2as =(80%v ) 2„„„„„○
联立○1○2式，解得
3 s =(80%)2⨯s m =0. 64⨯25m =16m „„„„○
（2）如右示意图所示，可知
s =v 乙⨯t =
0+80%v
⨯t „„„2
4 ○
5 d =s 甲-s 乙=vt -s „„„„„○
联立○3○4○5式，解得 d =vt -s =40m -16m =24m （3）匀加速直线运动追匀减速直线运动
例3、若甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以v 1=10m /s 的速度做匀速运动，经过车站A 时关
闭油门以a 1=4m /s 的加速度匀减速前进。2s 后乙车与甲车同方向以a 2=1m /s 的加速度从同一车站A 出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？
【分析】: 此题一定要结合v-t 图方好理解整个运动过程，而且要注意要先算出甲车经过多长时间运动至停止，因为当时间处于运动停止前，甲车的位移计算公式往往选用s =v 0t +
2
2
2
22
12
at ；若时间处于运动停止2
v -v 0-v 0
后，则发现甲车运动的位移与时间没关系，选用公式s =t 。 =
2a 2a
解：设甲车初速度的方向为正方向，则甲车从开始刹车至
停止所需要的时间为
t 0=
v t -v 00-10
=s =2. 5s a 1-4
2
2
则甲车运动至停止时所走的位移为
v t -v 00-102
1 s 甲==m =12. 5m „„○
2a 12⨯（-4）
此时乙走的位移为
s 乙=
1112
a 2t 2=⨯1⨯(2. 5-2) 2m =m
间肯定大于0.5s ，追上时甲已停止。
设乙车出发后追上甲车的时间为t ，则
'1
s 乙=a 2t 2=s 甲„„„„○2
2
联立○1○2式，解得 t =
2s 甲a 2
=
2⨯12. 5
s =5s 1
所以乙车出发后经5s 可追上甲车。
（4）匀减速直线运动追匀加速直线运动
例4、在平直的道路上，甲汽车以速度v 匀速行驶。当甲车司机发现前方距离为d 处的乙汽车时，立即以大小为a 1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲车，立即从静止开始以大小为a 2的加速度沿甲车运动的方向匀加速运动，则（ ） A、甲、乙两车之间的距离一定不断减小 B、甲、乙两车之间的距离一定不断增大 C、若v > D、若v
2(a 1+a 2) d ，则两车一定不会相撞 2(a 1+a 2) d ，则两车一定不会相撞
【分析】: 匀减速直线运动追及匀加速直线运动的问题，临界条件跟“匀减速直线运动追及匀速直线运动”的临界条件一样，都是两者速度相等，即当后者减速减到与前者的速度相等的时候还没追上，后面则再也追不上。根据v -t 图很容易判断A 、B 两个选项都是错的。
解法一：设甲的初速度的方向为正方向。经过时间t 后，甲乙两车的速度相等，有
v 甲=v 乙 ， 即v -a 1t =a 2t ⇒t =
要想两车不相撞，在经过t 时间后，必须符合
v
„„„„○1
a 1+a 2
11
2 s 甲-s 乙
22
联立○1○2式，解得
v
故选D.
解法二：设甲的初速度的方向为正方向。甲以乙为参考系（作为参考系的物体可看为静止），则甲的初速度为v 甲=v -0=v ，加速度为a 甲=(-a 1) -a 2=-(a 1+a 2) ，则当甲相对于乙的速度减为零时若还没追上乙，后面则再也追不上，根据题意，得
0-v 甲2a 甲
故选D.
2
0-v 2
=
四、运动问题的一般解法及思路：
（1）要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．物理情景清晰，便于分析研究。
（2）要注意分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的的转换可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系。 （3）根据已知条件，选择相应的公式。
（4）尽量利用初速度为零这个条件解题。例如求解自由落体途中位移时，可用总位移减去相应的位移求解。
（5）如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分析、弄清物体在每个阶段上的情况及遵循的规律，应．特别注意的是各阶段相交点的速度往往是解题的关键，是解决问题的突破口！ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．