方波信号的"化验"
（原创）方波信号的“化验”（图）
在IT （信息技术）领域，方波信号是一种最典型的理想周期信号，在工程技术中有广泛的应用，常称之为“周期矩形脉冲”。其时域波形如下图所示：
图1 周期矩形脉冲的时域波形
其中信号周期为T ，脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E 。如果用数学方法对周期矩形脉冲信号“化验”一下，便可知其主要成分为一个正弦波信号：
（1）
其圆频率ω1=2π/T恰恰就是方波信号的圆频率。这种频率（或周期）与方波信号相同的正弦波成分，我们称之为方波信号的基波，基波成分的频率叫做基频。如下图所示：
图2 周期矩形脉冲的基波
“化验”的结果表明，除了基波成分外，周期矩形脉冲信号中还包含有： 频率为基频2倍的正弦波成分，称之为2次谐波：
（2）
频率为基频3倍的正弦波成分，称之为3次谐波：
（3）
还有4次谐波、5次谐波、6次谐波……等等。我们统称之为高次谐波。一般地，频率为nω1的第n 次谐波成分可表示为
（4）
其中n=2，3，4，…。
除了上述的基波和高次谐波成分外，周期矩形脉冲信号中还含有直流成分F0。
综上所述“化验”结果，可见周期矩形脉冲信号是由直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分叠加组成的。可表示为
（5）
通常我们更重视各频率成分的能量分配，而不计较其相位，所以用各频率成分的振幅大小来描述方波信号的“化验”结果，科学上称之为振幅频谱函数。数学表达式如下：
（6）
对于方波信号，我们可以从理论上计算出上述各频率成分的振幅值为
（7）
根据式（7）可以画出方波信号的振幅频谱图如下：
图3 周期矩形脉冲信号的频谱示意图
最典型的周期矩形脉冲信号是脉冲宽度τ占周期T 的一半，即T ＝2τ，其振幅频谱图如下图所示：
图4 周期矩形脉冲信号（T=2τ）的频谱示意图
周期信号可不止方波信号一种，对于一般的周期信号，如何“化验”它们的频率成分呢？且听下回分解。
（原创）傅立叶级数（图）
上一回说到，周期矩形脉冲信号可以分解成直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加。那么对于一般的周期信号，如何“化验”它们的频率成分呢？本文介绍的数学工具――傅立叶级数（Fourier Series ，简称FS ）就是法宝。
一、傅立叶级数
数学理论上的傅立叶级数概念是说：对于一个周期为T 的周期函数f T （t ），不妨如下图所示：
图1 一般周期函数的时域波形示意图
在一定条件下可以展开为傅立叶级数之和，即：
（1）
其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为
（2）
（3）
（4）
在信号分析理论中a0叫做直流分量，an 叫做余弦分量系数，bn 叫做正弦分量系数。
注意：数学上周期函数fT （t ）在连续点t 处展开为傅立叶级数的条件是，满足如下的狄利克雷（Dirichlet ）条件：
1、函数fT （t ）在（－T/2，T/2）上连续或只有有限个第一类间断点（左右极限都存在）； 2、函数fT （t ）在（－T/2，T/2）上只有有限个极值点。 二、周期信号的频谱
根据傅立叶级数的概念，如果周期信号满足狄利克雷条件，则可以分解为傅立叶级数之和，即可分解成无穷多种频率成分的正弦函数的叠加：
（5）
其中n=1时，频率ω1=2π/T的成分叫做基波，可表示为
（6）
基波的振幅为
（7）
初相位为
同理，第n 次谐波成分可表示为
（8）
（9）
振幅为
（10）
初相位为
（11）
此外，由傅立叶级数可知，周期信号fT （t ）一般还包含直流分量，其幅值为周期信号在一个周期上的平均值：
（12）
综上所述，对于一个周期信号fT （t ），一般可以分解成直流分量、基波和无穷多个高次谐波分量的叠加。各次谐波的频率nω1是基频ω1的整数倍；各次谐波的振幅一般也不同，通常高次谐波分量的幅值较小。
这样，时域的周期函数fT （t ）也可以用频域的频谱函数表示为
（13）
其振幅频谱图的一般示意图如下：
图2 一般周期信号的振幅频谱示意图
当然，根据式（8）和（11）也可以画出周期函数的相位频谱图。
显然，一般周期函数fT （t ）的频谱是离散频谱，相邻谱线的频率间隔等于基频ω1。实际IT 工程技术中，许多时域周期信号都满足狄利克雷条件，都可以展开为傅立叶级数，从而方便地确定其频谱。
上述的傅立叶级数表达式是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式。且听下回分解。
原创）傅立叶级数的指数形式（图）
上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS ）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。
一、傅立叶级数的三角形式
对于一个周期为T 的周期函数fT （t ），在一定条件下可以在连续点t 处展开为傅立叶级数的三角形式，即：
其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为
在信号分析理论中a0叫做直流分量，an 叫做余弦分量系数，bn 叫做正弦分量系数。二、傅立叶级数的指数形式 根据欧拉公式有
其中j 为虚数单位，即
不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式：
其中傅立叶系数一般为复数
1）
2）
（3）
4）
5）
6）
7）
（ （ （ （ （ （
（8）
三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系 根据欧拉公式由式（7）有
（9）
不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。其中两种形式的傅立叶系数关系如下：
（10）
或
（11）
可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。 四、周期信号的频谱分析
从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。由式（9）得
（12）
可知，周期函数fT （t ）包含的直流分量为
（13）
基波分量的振幅为
（14）
基波初相位为
（15）
各高次谐波分量的振幅为
（16）
各高次谐波分量的初相位为
（17）
这样，周期信号fT （t ）的振幅频谱函数可表示为
（18）
五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？
实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即
（19）
傅立叶系数一般为复数，可写成
（20）
其模就是双边的振幅频谱
（21）
其幅角φn就是双边频率各次谐波成分的初相位，其中n 为整数。 再看看傅立叶级数的指数形式可写成
（22）
其数学含义就是说，一般周期信号可以分解为无穷多个离散频率分量的叠加，各分量的频率是基频的整数倍，振幅是傅立叶系数Cn 的复模，初相位是傅立叶系数Cn 的幅角。
注意：当n=0时傅立叶系数C0为大于或等于0的实数，其代表的成分就是周期信号的直流分量；当n=±1时所代表的双边频率成分就是周期信号的基波分量；而其余各对双边频率成分就是周期信号的各个高次谐波分量。
可见采用指数形式的傅立叶级数，分析周期信号的频谱更为直截了当。 六、周期矩形脉冲信号的频谱分析
例如：前面讲过的周期矩形脉冲信号，波形如下图：
图1 周期矩形脉冲的时域波形
可根据傅立叶级数的指数形式，直接求其双边频谱函数为
（23） 其中
（24）
称之为抽样函数或Sa （x ）函数，是信号分析技术中非常有用的函数，其图象如下：
图2 抽样函数的图象
由上可知，周期矩形脉冲信号的双边频谱函数的模为
（25）
其双边振幅频谱如下图所示：
图3 周期矩形脉冲函数的双边振幅频谱 频谱函数的幅角，即各次谐波分量的初相位为
（26）
相位频谱如下图：
图4 周期矩形脉冲信号的相位频谱
可以看出，对于一个以T 为周期的周期矩形脉冲信号fT （t ），可以利用傅立叶级数的指数形式方便地分析出其离散频谱。基频ω1越低（即周期T 越长），或脉冲宽度τ越小，其频谱的谱线越密。
上述的就是周期信号的傅立叶分析方法。那么对于非周期信号如何分析其频谱呢？且听下回分解。
11