解直角三角形和应用专题

解直角三角形和应用专题

一、中考要求：

1. 了解锐角三角函数的概念，熟记特殊的三角函数值； 2．能利用三角函数关系进行计算，理解三角函数的增减性；

3．掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；

4．会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际运用问题。 二、知识要点： 1．锐角三角函数

(1) 锐角A的叫做锐角A的三角函数．

(2) 锐角A的三角函数值的取值范围： (3) 若∠A+∠B=90°，则tanA⋅tanB=（4）若∠A+∠B=90°,sinA cosB,cosA sinB； 2．特殊角及其三角函数值(30°、45°、60°的角) 3．直角三角形的边、角以及边与角的关系

在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则

(1) 三边之间的关系：(2) 两锐角之间的关系： (3) 边、角之间的关系：

4．仰角、俯角都是指视线与水平线所成的角，视线在水平线 的角叫仰角，视线在水平线 的角叫俯角．

5．理解坡度、坡角的意义．坡度i与坡角α的关系是 ． 6．会用解直角三角形的知识与方法，解决有关测量、航行等实际问题．

三、知识唤醒：

1．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且c=3b，则2．△ABC中，∠C=90°，若BC=4，sinA=

2

,则AC的长是 3

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=

,那么cosA的值是2

4．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为

5．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3,那么点A的坐标是

6．如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反N弹到边AB上的P点. 如果MC=n，∠CMN=α.那么P点与B点的 距离为

2

B

7． 如果方程x-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值

为

四、典例剖析：

例1．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°

夹角．1.41.7)

（1）求出树高AB；

（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．（用图（2）解答） ①求树与地面成45°角时的影长； ②求树的最大影长．

例2．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高I0米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面

用土石进行加固。并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1

(1)求加固后坝底增加的宽度AF；

(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果保留根号)

D

F B图5

B

随堂演练：

4

1．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=_________．

5

2．将半径为10cm，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是 ．

3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠DAC=30°，BD＝2，

AB＝23；则AC的长是

4．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，DE⊥BC，垂足是E，若AD＝2DC，AB＝4DE，则

sinB

D

C

等于

5．如图，AB是伸缩性遮阳棚，CD是窗户，要想夏至正午时的阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是 （假如夏至正午时的阳光与地平面的夹角是600）

6.如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2－2，求BC的长。

课后作业：

一、选择题。

C

1222

1、Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sinA＝（ ）A2 D

33332、在△ABC中，∠C=90°，a, b, c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列各式错误的是（ ）

A、a=c·sinA B．b=c·cosB C．b=a·tanB D．a=b·tanA 3、若0°

1

A、sina>cosa B、cosa>sina C、tana>1 D、tana>

tana

5、若∠A为锐角，cosA=

4、如果α为锐角，那么sinα+cosα的值（ ）A.小于1 B.等于1 C.大于1 D.不能确定范围

4

,则有（ ） 5

A、0°

B．22 C．3

D．

3

3 2

7、已知∠A＋∠B＝90°，则下列各式中正确的是（ ）

A、sinA＝cosA B、cosA＝cosB C、sinA＝cosB D、tanA＝tanB

8、若sinα=cos70°，则角α等于（ ） A．70°； B．60°； C．45°； D．20°． 9、若∠A为锐角，且cosA≤

1

,那么（ ） 2

A、0≤A≤60 B、60≤A≤90 C、0≤A≤30 D、30≤A≤90

二、填空题。

4

1、Rt△ABC中，若sinA＝ ，AB＝10，那么BC＝ ，tanB＝

52、在△ABC中，∠C＝90°，AC=6，BC=8，那么sinA=

4、在一艘船上看海岸上高42米的灯塔顶部的仰角为30度，船离海岸线 米. 5、若∠A是锐角，且sinA=cosA,则∠A的度数是____________度 6、等腰三角形的两边分别为6和8，则底角 的正切为_____.

7、菱形中较长的对角线与边长之比为:1，那么菱形的两邻角分别是_____. 8、等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为

9、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BD＝6，则sinA＝ . 10、某人沿着坡度i=1:三、解答题。

12sin50°1+cos45°

1、计算：（1°＋°＋sin30°·cos30°（2）＋222

22cos40°tan30°－sin60°

2、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC 于E点，EC=1，sinB=

3的山坡走了50米，则他离地面 米高。

5

.求四边形ABCD的周长。 13

3、如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30︒，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60︒，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）

4、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路．如图中线段AB，经测量，在A地北偏东60︒方向、B地西偏北45︒方向的C处有一个半径为

0.7

千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？