一个比拉阿比级数更精细的正项级数判别法
一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法
何振中
中山大学03级数学与应用数学专业
2004年9月
摘要：本文用级数∑1做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的p n =3n ln n ∞
判别法，笔者称之为“对数判别法”。
关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法
目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数∑1做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应p n =3n ln n ∞
用方便的判别法——“对数判别法”。 我们先看级数∑1的敛散性：当p >1时级数收敛；当p ≤1时级数发散。这p n =3n ln n ∞
个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。
先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列{u n }是正项数列，若n 足够大时，有 u n (n +1) ln(n +1)
成立，则∑u n 发散。
n =1∞
为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”：
u n nu n (n +1) ln(n +1) ln(n +1) -ln n ，
由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在ξn ∈(n , n +1) ，使得
ln(n +1) -ln n =1
ξn ,
故 u n nu n (n +1) ln(n +1)
要使n 足够大时有ξn ln n [nu n -1]
nu n -1]
∞nu n =1，故当 lim n ln n [而显然 lim -1]
收敛的情况可类似讨论：设数列{u n }是正项数列，若存在p >1使得n 足够大时，有 u n (n +1)[ln(n +1)]p
>u n +1n (lnn ) p
成立，则∑u n 收敛。
n =1∞
因为
u n nu n (n +1)[ln(n +1)]p ln p (n +1) -ln p n ， >⇔-1>u n +1(n +1) u n +1n (lnn ) p ln p n
由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在ξn ∈(n , n +1) , 使得
ln(n +1) -ln n =p p p [lnξn ]p -1
ξn ,
u n nu n n [lnξn ]p -1(n +1)[ln(n +1)]p
故 ， >⇔n ln n [-1]>p p p -1u n +1(n +1) u n +1n (lnn ) ξn [lnn ]
nu n n [lnξn ]p -1
要使n 足够大时有 n ln n [ 成立，只需 -1]>p p -1(n +1) u n +1ξn [lnn ]
nu n n [lnξn ]p -1
lim n ln n [-1]>lim p =p ， p -1n →∞n →∞(n +1) u n +1ξn [lnn ]
若 lim n ln n [n →∞nu n 1+s >1, 就有 -1]=s >1，取p =2(n +1) u n +1
nu n n [lnξn ]p
lim n ln n [-1]>lim p =p ， n →∞n →∞(n +1) u n +1ξn [lnn ]p
∞nu n 故当lim n ln n [-1]=s >1时，∑u n 收敛。 n →∞(n +1) u n +1n =1
综合上述，得到下面的定理
∞
定理（“对数判别法”）：设正项级数∑u n 满足：
n =1
lim n ln n nu n
n →∞[(n +1) u -1]=s ，
n +1
∞
则（1）当s>1时，∑u n 收敛
n =1
∞
（2）当s
n =1
参考文献：
《数学分析简明教程》，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999年6月