机械加工生产计划问题

机械加工生产计划问题

摘要

本问题是实际的机械加工生产计划问题, 通过对问题进行合理的分析与假设发现所有问题都属于最优化问题。本文引入了单位产品净利润的概念，对题中表2所给的单位产品利润的数据进行处理得到单位产品净利润的数据（见表1）。针对问题一，本文建立线性规划模型，求解得到六个月的生产、库存、销售计划分别见表2、表3、表4，在此计划下得到六个月的最大总利润为38476.00元。对于问题二，将问题一中求得的销售计划与题目中给出的产品销售上限进行对比，并结合问题一中的库存计划可以得到销售量上限提高的幅度（见表5）。问题三是在对问题一中的运行结果进行灵敏度分析的基础上得到购买新设备的优先顺序为：立式钻床、刨床、镗床、水平钻床、磨床。针对问题四，本文分别对每个月建立线性规划模型。通过改变原来检修设备组合在六个月的排列顺序来调整设备检修计划，使总利润尽可能增大。在此方法下得到六种设备检修计划，分别见表8、表9、表10、表11、表12、表13。这六种检修计划均可使总利润提高6971.00元。对于问题五，利用问题一中的模，根据题目要求，求得4种能使总利润尽可能大的设备检修计划，分别见表16、表17、表18、表19。在这4种检修计划下这半年的总利润达到47839.00元，提高了9363.00元。 关键词:线性规划；目标规划；0-1整形规划

问题假设

1、假设在一个月中未被检修的设备都正常工作，且效率不变。 2、假设每班的工作设备的工作时间都满8小时，即开始工作的设备中间不停止，一直工作。

3、假设在生产过程中一种产品从一道工序到另一道工序之间没有时间停留。 4、假设所有生产出的产品均是成品，不出现半成品的情况。

符号表示

x ij y ij z ij c j T α

第i 个月第j 种产品的生产量 第i 个月第j 种产品的库存量 第i 个月第j 种产品的销售量 第j 种产品的单位净利润

第j 种单位产品需要第α种设备的时间

j

n i α

第i 个月第α种设备工作的台数 第i 个月第j 种产品的最大销售量 第i 个月第α种设备工作的总时间 六个月的总利润

每个月的利润

s ij

t i αW

w i m ij

第i 个月第j 种产品的需求量

判断为第i 个月第α种产品是否在维修

H i αk ∆z ij x ij (max) f j (x )

第i 个月第j 种产品的期望额外随机销售量。 第i 个月第j 种产品的最大产量

第j 种产品市场额外需求量随机变量概率密度

(i =1，2．．．6；j =1，2．．．7；α=1，2．．．5; k=1,2)

问题分析

由于三个问题均要求以实现最大利润为目标，所以可以初步得到所有问题均是最优化问题。结合题目中提供的设备的检修计划、工作时间限制，库存量限制和每月每种产品的市场销售上限的限制，我们可以进一步分析得到问题一是线性规划问题。对于问题二，因为维修计划此时不定，故每种设备每月参与生产的数量不定，则原有的约束条件就不够了。所以我们用单独的参数H 每台机器都区分开来，维修记为0，运作记为1。由此转变为0-1整形规划问题。

1模型一建立与求解

1.1模型建立：

本文定义每种单位产品的净利润为原有每种产品的利润减去每件产品当月的库存费（5元）。问题一要求本文制定六个月的生产、库存、销售计划使六个月的总利润最大。对题目进行合理分析后可以得到六个月的总利润公式：总利润=总的销售金额-总的库存费。题目给出了每个月库存量的限制、设备工作时间的限制和每个月产品的市场销售量上限的限制，在此本文将总利润作为目标函数，将题目中给的所有限制条件作为约束条件，建立线性规划模型。模型如下：

将六个月的总利润作为目标函数：

m ax

W =

∑∑(z

i =1

j =1

67

ij

⨯c j -5⨯y ij )

约束条件：

y 6j =50⎧

⎪

y ij ≤100

⎪⎪x ij +y (i -1)j =z ij +y ij ⎪

z ij ≤m ij ⎪

⎨57

⎪

∑∑T αj ⨯x ij ≤t i α

⎪

α=1j =1

⎪

t i α=n i α⨯16⨯24⎪

⎪

⎩i =(1,2,..., 5) j =(1,2,..., 7) α=(1,2,..., 5)

1.2模型求解：

使用lingo 进行编程求解可得到六个月的生产计划表，库存表和销售计划表：

表2 六个月的生产计划

表3 六个月的库存表

表4 六个月各产品的销售计划

在此计划下该工厂这六个月的总利润为：38476.00元。 2模型二的建立及求解 2.1模型二的建立：

对于问题二中运用0-1整形规划，在维修计划不定的情况下，即n i α的值不定，则需附加上关于n i α的约定，且目标仍是最大利润，故目标函数不变。为标记每台需要维修机器的工作状态（维修或工作），设定变量H i αk ，

⎧1

H i αk =⎨

⎩0

第α种设备第k 个机器在第i 个月工作第α种设备第k 个机器在第i 个月维修

I=(1,2…,6) k=(1,2) α=(1,2,…,5) 则：

2

n i α

∑H α

k =1

i k

由于每种设备需要维修机器数目不同，故为简便计算将5种设备需要机器数全部设为最大数2，那么对于有些设备（镗床和刨床）没有的第2个机器，可设为一直都在维修状态，不参与生产，如下：

H i 42=H i 52=0

保证其他机器6月内至少维修1次，则：

6

∑H α

i =1

i 2

整合如下： 目标函数：

m ax

W =

∑∑(z

i =1

j =1

67

ij

⨯c j -5⨯y ij )

约束条件：

y 6j =50⎧

⎪

y ij ≤100

⎪⎪x ij +y (i -1)j =z ij +y ij ⎪

z ij ≤m ij ⎪

⎪57⎪T αj ⨯x ij ≤t i α∑∑⎪α=1j =1⎪

⎨t i α=n i α⨯16⨯24

⎪2⎪n i α∑H i αk ⎪k =1⎪

H i 42=H i 52=0⎪

6⎪

⎪∑H i α2

i =1⎪

⎪i =(1,2,..., 5) j =(1,2,..., 7) α=(1,2,..., 5) k =(1,2) ⎩

2.2模型求解：

3.1模型建立：

问题三要求在原有的维修计划的基础上求解，那么相对于第一问来说，区别在于需求量不固定，有上下10%的波动，分析知最少有90%的需求量，剩下20%是随机波动的的，由于题目给的数据较少，没有其他生产周期中的实际需求量，故这种随机性的波动规律我们无从得知，所以将每种产品的额外需求量概率分布均设定为正太分布，概率密度已知。

f j (x ) =

1e

-x

2

2

那么期望的额外随机需求量的销售量。

7

x ij (max)-z ij

'

∞

∆z ij =

∑

j =1

c j [

⎰

xf j (x ) dx +

⎰

(x ij (max)-z ij ) f j (x ) dx ]

'

'

x ij (max)-z ij

求解

x

ij (max)

：

x

根据第一问，在原有维修计划的基础，设需求量无限大，即可求出

ij (max)

。

x

ij (max)

=

0 0 0 412 74

3840 0 3417 3551 0

1280 1280 512 433 717

0 0 50 0 0

二月 三月 四月 五月 六月

0 0 766 0 1920

0 0 0 0 618

0 960 731 960 0

总利润：

m ax W =

∑∑(z

i =1

j =1

67

' ij

⨯c j +∆z ij ⨯c j -5⨯y ij )

约束条件：

y 6j =50⎧

⎪

y ij ≤100

⎪

'

⎪x ij +y (i -1)j =z ij +∆z ij +y ij ⎪'

z ij ≤0.9m ij ⎪

⎪57⎪∑∑T αj ⨯x ij ≤t i α⎪

α=1j =1

⎨⎪t i α=n i α⨯16⨯24⎪1

x =z +y 1j 1j 1j ⎪

' ⎪x ij (max) -z ij ∞7

' ⎪

∆z ij =∑[⎰xf j (x ) dx +(x -z ) f j (x ) dx ]ij (max) ij ⎰⎪' j =10x ij (max) -z ij ⎪⎪i =(1,2,..., 5) j =(1,2,..., 7) α=(1,2,.. ., 5) ⎩

z ij

'

为固定需求下的销售量。

4模型改进

4.1模型改进分析

次模型没有考虑竞争和加班问题，只适合本题。这是不符合实际的。由此出发建立更一般模型。考虑竞争时，公司会有客户订单，和额外预测销量之分，那么就要添加客户满意度问题。考虑加班问题时，应是在保证原有生产速度基础上，而且考虑员工工作积极性，应该是能不加班就不加班，加班时间也有上限。在求解的时候就形成了多个目标： 一，保证原有的利润;

二，能不加班就不加班，工作时间有上限； 三，客户订单要满足，保证客户满意度。 3.2.1新模型建立

假设在第三题基础上改进，维修计划已知，设

E ij

E

为第i 个月第j 种产品的订单量。ij

'

为第i 个月第j 种产品的预测需求量，T 为每个月工人工作的时间，μ为客户满意度，

ρ1和ρ2分别为订单客户和随机需求客户对整个生产系统的重要度，θj 为第j 种产品需求满

足的重要度，d 和d 是偏差变量，d -≥0且d +≥0。

-+

对于订单客户， 以客户需求的订单满足率作为度量客户满意度的指标；对于随机需求客户，以供给商品煤数量与期望需求量的比值作为度量客户满意度的指标，且最大值为1，即最满足。故客户满意度目标为：

6

7

1

j

max μ=

∑∑ρθ

i =1

j =1

z ij 0.9m ij

'

67

2

+

∑∑ρθ

i =1

j =1

x ij (max)-z ij

j ∞

'

⎰xf

j

(x ) dx

根据单目标规划求解利润目标为W ，建立多目标规划模型如下： 目标函数：

m in =p 1d 1+p 2(d 2+d 2) +p 3d 3

-

-

+

-

*

约束条件：

67

⎧' -+*

W =∑∑(z ij ⨯c j +∆z ij ⨯c j -5⨯y ij )+d 1-d 1=W ⎪

i =1j =1

⎪

-+

⎪T +d 2-d 2=16⨯24⎪' ' 6767

z ij x ij (max) -z ij ⎪-+-+

μ+d 3-d 3=∑∑ρ1θj +∑∑ρ2θj ∞+d 3-d 3=1⎪0.9m ij i =1j =1i =1j =1⎪

⎰xf j (x ) dx

⎪0⎪

y 6j =50

⎪⎪y ij ≤100⎪'

x ij +y (i -1)j =z ij +∆z ij +y ij ⎪⎪

⎨'

z ij ≤0.9m ij

⎪

57⎪

⎪∑∑T αj ⨯x ij ≤t i α

α=1j =1⎪

⎪t i α=n i α⨯T ⎪

x 1j =z 1j +y 1j ⎪

' ⎪x ij (max) -z ij ∞7

⎪'

∆z ij =∑[⎰xf j (x ) dx +(x -z ) f j (x ) dx ]≤0.2m ij

ij (max) ij ⎰⎪

' j =10x ij (max) -z ij

1 ⎪

-+⎪d , d ≥0

⎪

i =(1,2,..., 5) j =(1,2,..., 7) α=(1,2,..., 5) ⎪⎩

其中p 1，p 2和p 3分别为利润，工作时间和满意度之间的权重，成为优先因子。通过定权的方式确定了这三者对公司的重要程度。

参考文献

[1]韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005：164

[2]陈冬彦 李冬梅 王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007：131

[3] 袁新生 绍大宏 郁时炼，LINGO 和EXCEL 在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007：6-11

一一列出。