第一讲 数与式的运算
第一讲 数与式的运算
在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容.
一、乘法公式
【公式1】(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca 证明: (a +b +c ) 2=[(a +b ) +c ]2=(a +b ) 2+2(a +b ) c +c 2
=a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca
∴等式成立
2
12x +) 2
3122
解:原式=[x +(-2x ) +]
3
【例1】计算:(x -
111
=(x 2) 2+(-2x ) 2+() 2+2x 2(-2) x +2x 2⨯+2⨯⨯(-2x )
333
8221
=x 4-22x 3+x 2-x +
339
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式2】(a +b )(a -ab +b ) =a +b (立方和公式)
证明: (a +b )(a -ab +b ) =a -a b +ab +a b -ab +b =a +b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算:(a -b )(a +ab +b )
解:原式=[a +(-b )][a -a (-b ) +(-b ) ]=a +(-b ) =a -b 我们得到:
【公式3】(a -b )(a +ab +b ) =a -b (立方差公式)
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式.
【例3】计算:
2
2
3
3
2
2
3
3
3
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
3
3
2
2
3
3
(1)(4+m )(16-4m +m 2) (2)(m -
151111
n )(m 2+mn +n 2) 225104
(3)(a +2)(a -2)(a 4+4a 2+16) (4)(x 2+2xy +y 2)(x 2-xy +y 2) 2 解:(1)原式=4+m =64+m
(2)原式=(m ) -(n ) =
3
3
3
1
5
3
12
3
1313
m -n 1258
(3)原式=(a 2-4)(a 4+4a 2+42) =(a 2) 3-43=a 6-64 (4)原式=(x +y ) 2(x 2-xy +y 2) 2=[(x +y )(x 2-xy +y 2)]2
=(x 3+y 3) 2=x 6+2x 3y 3+y 6
说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结
构.
(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、„、20的平方数和1、2、3、4、„、
10的立方数,是非常有好处的.
1
的值. x 3
12
解: x -3x =1=0 ∴x ≠0 ∴x +=3
x
1211122
原式=(x +)(x -1+2) =(x +)[(x +) -3]=3(3-3) =18
x x x x
2
【例4】已知x -3x =1=0,求x +
3
说明:本题若先从方程x 2-3x =1=0中解出x 的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.
【例5】已知a +b +c =0,求
111111
a (+) +b (+) +c (+) 的值. b c c a a b
解: a +b +c =0, ∴a +b =-c , b +c =-a , c +a =-b
∴原式=a ⋅
b +c a +c a +b
+b ⋅+c ⋅ bc ac ab
a (-a ) b (-b ) c (-c ) a 2+b 2+c 2
=++=- ①
bc ac ab abc
a 3+b 3=(a +b )[(a +b ) 2-3ab ]=-c (c 2-3ab ) =-c 3+3abc
∴a 3+b 3+c 3=3abc ②,把②代入①得原式=-
3abc
=-3 abc
说明:注意字母的整体代换技巧的应用. 引申:同学可以探求并证明:
a +b +c -3abc =(a +b +c )(a +b +c -ab -bc -ca )
3
3
3
2
2
2
二、根式
a ≥0) 叫做二次根式,其性质如下:
【例6】化简下列各式:
(1)
+
(2)
+x ≥1)
解:(1) 原式
=2|+-1|=21=1
⎧(x -1) +(x -2) =2x -3 (x >2)
(2) 原式=|x -1|+|x -2|=⎨
⎩(x -1) -(x -2) =1 (1≤x ≤2)
说明
=|a |的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数) :
(1)
(2)
(3) 解:(1) 原式
=6-
(2) 原式
(3) 原式
=
-+=-说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数
或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(
或被开方数有分母(
如
(
) ,转化为 “分母中有根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(
如
化为
2+
2) .
【例8】计算:
(1) 1)(1+-+2
(2)
+
解:(1) 原式
=(12-2-(a +b ) =-2a -+1
(2) 原式
+
=
+
=
说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.
【例9
】设x =
y =
,求x 3+y 3的值.
解
:x =
=7+y =7-⇒ x +y =14, xy =1
原式=(x +y )(x 2-xy +y 2) =(x +y )[(x +y ) 2-3xy ]=14(142-3) =2702
说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.
三、分式
当分式
A A
的分子、分母中至少有一个是分式时,就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两B B
x
1-x x +
1x -
x
种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
【例10】化简
解法一:原式=
x (x +1) x +1x x x x
===2==21-x (1-x ) ⋅x x x x +x -x x x +2x -x +
x +1(x +1)(x -1) x -1x +1
x x (x +1) x x x x +1
===2=
(1-x ) ⋅x x (1-x ) x x x +x -x x -x +x +2
1x +1x -1(x -) ⋅x x
解法一:原式=
说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解法二则是利用分式的基本性质
A A ⨯m
进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法. =
B B ⨯m
x 2+3x +96x x -1
+-【例11】化简 22
6+2x x -279x -x
x 2+3x +96x x -116x -1
解:原式= +-=--22
(x -3)(x +3x +9) x (9-x ) 2(3+x ) x -3(x +3)(x -3) 2(x -3)
2(x +3) -12-(x -1)(x -3) -(x -3) 23-x
===
2(x +3)(x -3) 2(x +3)(x -3) 2(x +3)
说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再
进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.
A 组
1=-a 成立的条件是( A .a >0 B .a
)
C .a ≤0 ) C .-9
2
D .a 是任意实数
2.若x
2
B .3
2
2
D .9
(1) (x -3y -4z )
2
(2) (2a +1-b ) -(a -b )(a +2b ) (4) (a -4b )(a +4b +ab )
(3) (a +b )(a -ab +b ) -(a +b )
14
22
4.化简(下列a 的取值范围均使根式有意义) :
(1) (3)
(2) a (4)
-
+
5.化简:
B 组
1.若
(1)
+102m (2)
x >y >0) 113x +xy -3y
-=2,则的值为( ) : x y x -xy -y
A .
3 5
B .-
3 5
C .-
5 3
D .
5 3
2.计算:
(1)
(2) 1÷-
x 2+xy +y 2
3
.设x =,求代数式的值. y =
x +y a b a 2+b 2
4.当3a +ab -2b =0(a ≠0, b ≠0) ,求--的值.
b a ab
2
2
5.设x 、y 为实数,且xy =
3,求6.已知a =
+111
x +20, b =x +19, c =x +21,求代数式a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac 的值. 202020
7
.设x =
42
x +x +2x -1的值. 8.展开(x -2) 4
9.计算(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)
10.计算(x +y +z )(-x +y +z )(x -y +z )(x +y -z ) 11.化简或计算:
(1) -÷
3
(2) +
(3)
-
(4) ÷+
-
第一讲 习题答案 A 组
1. C 2. A
3. (1) x 2+9y 2+16z 2-6xy -8xz +24yz
(3) -3a b -3ab
2
2
(2) 3a -5ab +3b +4a -2b +1 (4)
22
13
a -16b 3 4
4
.-2-5
.B 组
--1
1. D 2
.a +c -b -+ 3.
4.-3, 2
4
3
5
.±
2
6. 3
7
.38.x -8x +24x -32x +16 9.x -10x +35x -50x +24
10.-x 4-y 4-z 4+2x 2y 2+2x 2z 2+2y 2z 2
4
3
2
11
.-