平面与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

【要点】

一．平面与平面的位置关系 两平面平行：平面与平面没有交点； 两平面相交：平面和平面有一条公共直线。 二．两平面平行 1．两平面平行的判定：

（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线线平行，则线面平行）。

（2）垂直直于同一直线的两平面平行。 （3）平行于同一平面的两平面平行。 2．两平面平行的性质

（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。 （2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。 （3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。

（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。 （5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。 三．两平面垂直

1．两平面垂直的定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

2．平面与平面垂直的判定：

（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 （2）一平面垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个。 3．平面和平面垂直的性质：

（1）两平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。 （2）过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这一平面 （3）两相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面。 （3）过不垂直于平面的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。

【复习要求】平面与平面的位置关系

两个平面的位置关系只有平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）两种情况。 （1）两个平面平行的判定和性质定理。 （2）两个平面垂直的判定和性质定理。 （3）二面角和二面角的平面角。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任意一点为端

点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。

这就是说，顶点在棱上，也分别在两个半面内，边与棱垂直是构成二面角的平面角的三

个条件。

求二面角的平面角的大小步骤：

首先，根据定义或其它办法做出二面角的平面角，要注意理论依据，不能凭印象或直观。 然后作出含有该角的三角形，利用有关知识计算出来。

【例 题】

一．两平面平行

例1． 已知P，Q，M分别是45°的二面角α－l－β的面α，β和棱l上的点，直线MQ是直线PQ在β上的射影，若PQ和β成角，l和MQ成θ角，PM=a，求PQ的长。

解：作PH⊥β于O，∵MQ是PQ在β上的射影， ∴H在MQ上。作HN⊥l于N，并连接PN， 则由三垂线定理可知PN⊥l，

∴∠PNH是二面角α－l－β的平面角， 即∠PNH=45°.

设PQ=x，则NH=PH=xsin

，PNsin， MN=NHctgθ=xsin·ctgθ. 在RtΔPMN中，∵PM2=PN2＋MN2， ∴a2x2sin2(2ctg2)。故PQx

a

sin2ctg

2

.

例2． 已知P是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD上的动点。 （1）画出过点B，P，D1的截面，判断截面的形状，并证明你的结论； （2）求截面面积的最小值，并证明你的结论。

解：（1）平行四边形；

（2）∵S2SBQD1(BD1QH)2aQH （Q为截面与B1C1的交点，QH⊥BD1于H）， ∴只需求QH的最小值， 即BC到面B1C1DA的距离为∴Smin

例3． 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中， （1）求证：截面BDC1∥截面AB1D1； （2）求截面BDC1与截面AB1D1间的距离。 解：⑴证明略 （2）

例4．已知平面α∥平面β，O为α，β外一点，三条射线OA，OB，OC分别交α于点A1，B1，C1，交β于点A，B，C.（1）求证：ΔABC∽ΔA1B1C1；（2）若OA=a，AA1=b，B1C1=c，求BC的长。

解：（1）由α∥β得

A1B1∥AB，B1C1∥BC，A1C1∥AC， 于是

A1B1OB1B1C1A1C1

 ∴ΔA1B1C1∽ΔABC； ABOBBCAC3

a。用体积法证。 3

2

a， 2

12

2

a.此时Q为B1C1中点，而P为AD中点。 2

（2）

ac

. ab

例5． 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，根据给出的条件，分别画出有关的图形： （1）过B，A1，C1三点的截面； （2）过B1，A，C三点的截面； （3）上述两截面的交线。

解：（3）设BA1交AB1于M，BC1交CB1于N， 则直线MN即所求作的交线。

例6．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1,CC1的中点。，（1）求证：平面EB1D1

∥平面FBD，（2）若正方体棱长为a，求平面EB1D与平面FBD间的距离。

E

B解：⑴取BB1中点G，连EG、GC1 ，

∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴EGC1D1是平行形， ∴GC1∥ED1 ，又GBFC1也是平地四边形， ∴GC1∥BF，∴ED1∥BF1，又B1D1∥BD， ∴平面EB1D1∥平面FBD。

⑵取BD中点O，B1D1中点O1，作OMO1E于M，由B1D1平面A1ACC1得

B1D1OM,OM平面EB1D1

即OM是平行平面EB1D1与FBD间的距离。

1

sinEO1OOM。 ∵tg∠A1O1E

ctg

∠EO1O

例7．平面∥平面，AB、CD为夹在、间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点，求证：（1）EF∥ ；EF∥。

证明1：连AF并延长交β于M，因为AC∥DM

A

C

E

F

G

B

β

可得AF=MF，

所以EF∥BM，BMβ，所以EF∥，同理EF∥；

证明2：连AD取AD中点G， 连EG、FG则EG∥BD、FG∥AC ∴EF∥、FG∥α而α∥，∴EF∥ ， ∴面EFG∥ ， ∴EF∥ 同理EF∥

例8．已知：两条异面直线a、b分别与三个平行平面α、β、r相交于点A、B、C和P、

Aα

P

Q、R，又AR、CP与平面β相交于点M、N，求证：MBNQ为平行四边形。

Q

证：因为面APC和α、β的交线AP∥BN。

同理MQ∥AP，∴BN∥

MQ

B

γ

C

同理可证：BM∥NQ 故MBNQ为平行四边形

例9．在长方体AC1中，已知AB=BC=a，BB1=b（b＞a）连结BC1，过B1作B1EBC1

交CC1于E，交BC1于Q。

求证：（1）AC1平 面EB1D1；（2）求点C1到平面B1ED1的距离。

解：（1）连A1C1 ，∵CC1平面 A1B1C1D1，

B

A

D

E

而A1B1C1D1为正方形，∴AC1B1D1。 同理AC1B1E ∴AC1平面EB1D （2）BC1a2b2 ， B1QBC1 ∴B1C1ab

b2

2

2

2

B1

QA1

D1

C1

C1Q

a2ab

2

2

同理BQ

BB1,C1Qa2

 ∵C1E∥B1B ∴△BB1Q∽C1EQ，∴C1Q

22BQbab

a2

VC1B1D1EVEB1C1D1，设C1到平面EB1D1的距离为h，

6ba4a21

则VC1EB1D1h S△EB1D1 ∵S△EB1D1

6b2b3

2a2b2

∴h

a22ab

2

2

例10．如图：AB、BC、CD为首尾相接的不共面的三条线段，

P1,Q1,P2,Q2,P3,Q3 分别为AB、BC、CD的三等分点，

P1

A

求证：（1）平面P1P2P3∥平面Q1Q2Q3，（2）SP1P2P3=SQ1Q2Q3

证：（1）由中位线定理可得：

P1P2∥Q1Q2，且P1P2Q1Q2

B

Q2

CP3

Q3D

P2P3∥Q2Q3，且P2P3Q2Q3

∴面P1P2p3∥面Q1Q2Q3

（2）由等角定理得：∠P1P2P3与∠Q1Q2Q3相等或互补， 由（1）得：P1P2·P2P3=Q1Q2·Q2Q3

∴Sp1p2p3SQ1Q2Q3

例11．如图：平面α∥平面β线段AB分别交α、β于M、N，AM=m，BN=n，

MN=p ， △FMC的面积为S，求△END的面积。

解：∵α∥β平面AND分别交α、β于MC、MD，

∴MC∥MD。同理，MF∥NF， 于是Sin∠FMC=Sin∠END，

ENnNDmp

 ，， 

FMnpMCm

1

EN,ND,SinEND

SEND2由 SFMC1

FM,MC,SinFMC2

得：SEND=

mp(mp)nENNDn

SFMCSS FMMCnpm(np)m

例12．ABCD是矩形，四个顶点在平面上的射形分别为A、B、C、D，直线AB与CD不重合。⑴求证：ABCD是平行四边形；⑵在怎样的条件下，ABCD也是矩形？并证明你的结论？

解：⑴ BB CC BB∥CC

CC平面CCDD

AaA`b

C`DC

BB∥CCDD

又ABCD是矩形 ∴AB∥CD CD平面

CCDD

∴AB∥平面CCDD

从而为ABBA∥平面CCDDAB∥CD 同理BC∥AD，因此ABCD为平行四边形

⑵ 设AB=m BC=n

AA=a BB=b CC=c 不失一般性设a≥b≥c

在直角梯形BBCC中，

BC2=n2(bc)2 同样地AB2=m2(ab)2、AC=m2n2(ab)2

当ABCD为矩形时 ∠ABC=900，

AC2=AB2BC2

于是m2n2(ac)2m2(ab)2n2(bc)2(ab)(bc)0 ∴a=b或b=c

当a=b时，ABBA是矩形，AB∥AB ∴AB∥ 同理当b=c时，BC∥

下面再证当AB∥或BC∥时，ABCD为矩形，

当AB∥时，ABBA是矩形，ABBB AB∥AB AB⊥BC ∴ABBC于是AB⊥平面BBCC，因此ABBC ∴ABCD是矩形。因此当矩形ABCD的一边

平行或在内时，射影ABCD是矩形。

例13、（2002年·全国·文19）四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD。

（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；

（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90。 解：（Ⅰ）∵PB面ABCD ∴BA是PA在面ABCD上的射影 又DAAB， ∴PADA



∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，∠PAB60



而PB是四棱锥PABCD的高，PBABtan60a

∴V锥

13

aa2a

33

（Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形，

作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则⊿ADE≌⊿CDE，



∴AEEC，∠CED90，故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角。

设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

OAAEADa AE2EC2(2OA)2

在⊿AEC中，cosAEC

2AE

EC

0

所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90。

例14、（2002年·全国·理18）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若

CMBNa(0a2)。

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

A

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ， 依题意可得 MP∥NQ，且MPNQ，即MNQP是平行四边形 ∴MNPQ

由已知CMBNa，CBABBE1

∴ACBF又

2

CPBQ

，，即CPBQ

11∴MNPQ



(0a2)

（Ⅱ）由（Ⅰ），MN

时，MN

所以，当a

。 即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN

（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，

A

∵AMAN，BMBN，G为MN的中点

∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB 即为二面角的平面角 又AG



BG

2

6

，所以，由余弦定理有

4

2

11cos

31

故所求二面角arccos

3