系统动量守恒定律

教学过程

一、复习预习

复习冲量和动量的定义，让学生说出对动量定理的理解。

二、知识讲解

1. 碰撞

1）．从能量角度分类

(1)弹性碰撞：碰撞过程中机械能守恒。

(2)非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒。

(3)完全非弹性碰撞：碰撞后合为一体或碰后具有共同速度，这种碰撞动能损失最大。

2）．从碰撞前后物体运动的方向是否在同一条直线上分类

(1)正碰：(对心碰撞) 两个球发生碰撞，如果碰撞之前球的速度方向与两球心的连线在

同一条直线上，碰撞之后两个球的速度方向仍会沿着这条直线的方向而运动。

(2)斜碰：(非对心碰撞) 两个球发生碰撞，如果碰撞之前球的运动速度方向与两球心的连线不在同一条直线上经典例题

2、常见的表达式

（1）P =P （系统相互作用前的总动量P 等于相互作用后的总动量P ）

（2）ΔP =0（系统总动量的增量为零）

（3）ΔP 1=ΔP 2（相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量增量大小相等、方向相反）

（4）m 1v 1+ m 2v 2= m 1v 1+ m 2v 2（相互作用的两个物体组成的系统，作用前系统的总动量等于作用后系统的总动量） ////

考点/易错点1

动量守恒定律也可以用于某一不受外力的方向，机械能没有方向性，机械能不损失就能用机械能守恒定律.

考点/易错点2

选择动量守恒定律的系统要根据物体受力情况与运动特征来确定；在有几个过程的物理问题中还要会变换研究的系统，临界条件的分析更要针对具体情况进行分析确定. 考题回放

考点/易错点3

反冲中的动量守恒：物体间的相互作用力是变力，作用时间短，作用力很大，远大于系统受到的外力，可以用动量守恒定律来处理。

三、例题精析

【例题1】

【题干】把一支枪水平固定在小车上，小车放在光滑的水平地面上，枪发射出子弹时，关于枪、子弹和小车的下列说法中正确的是

A . 枪和子弹组成的系统动量守恒

B . 枪和小车组成的系统动量守恒

C . 只有在忽略子弹和枪筒之间的摩擦的情况下，枪、子弹和小车组成的系统动量才近似守恒

D . 枪、子弹和小车组成的系统动量守恒

【答案】D

【解析】对于枪和子弹自成的系统，在发射子弹时由于枪水平方向上受到小车对它的作用力，

所以动量是不守恒的，选项A 错；同理，对于枪和小车所组成的系统，在发射子弹的瞬间，枪受到火药对它的推力作用，因此动量也是不守恒的，选项B 错；对于枪、子弹和小车组成的系统而言，火药爆炸产生的推力以及子弹和枪筒之间的摩擦力都是系统的内力，没有外力作用在系统上，所以这三者组成的系统动量是守恒的，选项C 错，D 正确。故，答案选D 。

【例题2】

【题干】如图所示，一质量m 2=0.25kg的平顶小车，在车顶中间放一质量m 3=0.1kg的小物体，小物体可视为质点，与车顶之间的动摩擦因数μ=2，小车静止在光滑的水平轨道上．现有3

2一质量m 1=0.05kg的子弹以水平速度v 0=20m/s射中小车左端，并留在车中（子弹与车相互作用时间很短）．后来小物体m 3以速度v 3=1m/s从平顶小车的一端滑出，取g =10m/s．试求：

（1）小物体m 3从平顶小车的一端滑出时，平顶小车的

速度大小；

（2）平顶小车的长度．

【答案】 v 2=3m/s ；L =0.8m

【解析】解：设子弹射中小车的瞬间，二者达到的共同速度为v 1，当小物体从平顶小车滑出

时，平顶小车的速度为v 2，平顶小车的长度为L ，由动量和能量守恒定律有

m 1 v0=( m2+ m1 ) v1

( m2+ m1 ) v1=( m2+ m1 ) v2+ m3 v3

111L 22( m2+ m1 ) v 12－( m2+ m1) v 2－m 3v 3=μm 3g 2222

由上述三式代入数据解得 v 2=3m/s

L =0.8m

【例题3】

【题干】某人质量为M ，与木球质量m 之比为M ∶m=16∶1，人站在冰面上. 以速率v 将木球推向正前方的固定挡板，木球被挡板弹回，人接住球后再以同样的速度（相对于地面）将球推向挡板. 人第一次推球之前是静止的，设球与挡板相碰时无能量损失，求人第几次推球以后便不能再接到球？

【答案】 人推球9次后将不能再接到球.

【解析】人抛球与接球过程中系统不受外力作用，系统动量守恒，而挡板给球以冲量，每次碰撞都使球的动量大小不变，但方向改变.

每次人接球时的动量都不相同，所以要通过数学

归纳寻找人速率变化的规律，从而找到人的速度在多少次抛球后可以大于球返回时速度. 即球返回赶不上人，人也就接不到球了.

解：将人与球视为一个系统，每次人接球后抛球的过程系统动量守恒

第一次 Mv 1=mv 得 v 1=v 16

3v 16

3v 第三次 Mv 2+mv=Mv3-mv 得 v 3= 16

(2n -1) v 由此归纳出第n 次 v n = n=1、2、3…… 16

(2n -1) v 人不能接到球时 v n ≥v 即≥v 16第二次 Mv 1+mv=Mv2-mv 得 v 2=

得 n ≥8.5.

四、课堂运用

【基础】

1. 在高速公路上发生一起交通事故，一辆质量为1500kg 向南行驶的长途客车迎面撞上了一质量为3000kg 向北行驶的卡车，碰后两辆车连在一起，并向南滑行了一小段距离后停止。根据测速仪的测定，长途客车碰前以20m/s的速度行驶，由此可判断卡车碰前的行驶速率（ ）

A. 小于10m/s

B. 大于10 m/s，小于20 m/s

C. 大于20 m/s，小于30m/s

D. 大于30 m/s，小于40 m/s

．解析：根据碰后两车连接在一起且向南滑行的情况，说明由两车组成的系统的总动量方向向南，包括碰前系统的总动量方向向南，所以碰前客车的动量（向南）应该大于卡车的动量（向北），有m 客v 客〉m 卡v 卡，即1500×20kg ·m/s>3000v 卡kg ·m/s，解得v 卡

2. 如图所示，物体A 静止在光滑的水平面上，A 的左边固定有轻

质弹簧，与A 质量相同的物体B 以速度v 向A 运动并与弹簧发生碰撞，A 、B 始终沿同一直线运动，则A 、B 组成的系统动能损失最大的时刻

是

A ．A 开始运动时

B ．A 的速度等于v 时

C ．B 的速度等于零时

D ．A 和B 的速度相等时

解析：对AB 系统由于水平面光滑，所以动量守恒而对A 、B 、弹簧系统机械能守恒，即AB 动能与弹簧弹性势能之和为定值。当A 、B 速度相等时，弹簧形变量最大，弹性势能最大，所以此时动能损失最大。

答案：D

3. 质量为M 的木块，放在光滑的水平桌面上处于静止状态，今有一质量为m 速度为v 0的子弹沿水平方向击中木块并停留在其中与木块一起运动，则子弹击中木块的过程中，木块受到的冲量大小为（ ）

mMv 0mMv 0m 2v 0A ．mv 0 B ．mv 0- C ． D ．mv 0- m +M m +M m +M

解析：分析题意得到：子弹击中木块的过程，系统的动量守恒，即有方程：mv 0=（m+M）v /，解得共同的速度v =

增加量：Mv =//mv 0，所以根据动量定理得木块受到的冲量大小为木块动量的m +M Mmv 0，所以选项C 正确；因为系统动量守恒，所以子弹的动量减小量等m +M

/m 2v 0于木块动量的增加量：mv 0-mv =mv 0-，所以选项D 正确，选项A 、B 是错误的，m +M

综上所述，本题的正确选项应该是CD 。

答案：CD

4. 如图所示，在光滑水平面上有A 、B 两小球沿同一条直线向右运动，并发生对心碰撞．设向右为正方向，碰前A 、B 两球动量分别是p A ＝10kgm/s，p B =15 kgm/s，碰后动量变化可能是（ ）

A．Δp A ＝5 kg·m ／s Δp B ＝5 kg·m ／s

B．Δp A =－5 kg·m ／s Δp B ＝ 5 kg·m ／s

C．Δp A =5 kg·m ／s Δp B =－5 kg·in ／s ·

D．Δp A ＝－20kg ·m ／s Δp B ＝20 kg·m ／

s

解析：A ．此结果动量不守恒；B ．可能；C ．B 的动量不可能减少，因为是A 碰B ；D ．要出现Δp A ＝－20kg ·m ／s 只有B 不动或向左运动才有可能出现这个结果．

答案：B

【巩固】

1. 如图，一质量为M =1.2kg的物块静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为h =1.8m。一质量为m =20g的子弹以水平速度v 0=100m/s射入物块，在很短的时间内以水平速度10m/s穿出。重力加速度g 取10m/s。求：

（1）子弹穿出木块时，木块获得的水平初速度V ；

（2）木块落地点离桌面边缘的水平距离X 。

解析： （1） ∵ mv0=mv+MV ∴V=(mv0-mv)/M =1.5m/s 2

1

（2）∵ h =2gt2 X=V·t

2h

∴ X=Vg =0.9m

2. 如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块，

A 、B 、C ，质量分别为m A =m c =2m , m B =m ，A 、B 用细

绳连接，中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓

接) 。开始时A 、B 以共同速度v 0运动，C 静止。某时刻细绳突然断开，A 、B 被弹开，然后v

0 B 又与C 发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同。求B 与C 碰撞前B 的速度。 解析：设共同速度为v ，球A 和B 分开后，B 的速度为v B , 由动量守恒定律有(m A +m B ) v 0=m A v +m B v B , m B v B =(m B +m C ) v , 联立这两式得B 和C 碰撞前B 的速度为

9v B =v 0。 5

【拔高】

1. 如图所示，一质量为M 的平板车B 放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m 的小木块A ，m ＜M ，A 、B 间动摩擦因数为μ，现给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度v 0，使A 开始向左运动，B 开始向右运动，最后A 不会滑离B ，

求：

（1）A 、B 最后的速度大小和方向.

（2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动的位移大小. 解析:（1）A 刚好没有滑离B 板，表示当A 滑到B 板的最左端时，A 、B 具有相同的速度，设此速度为v ， A 和B 的初速度的大小为v 0，则据动量守恒定律可得：

Mv 0－mv 0=（M +m ）v ………………………………… 解得：v ＝M -m v 0，方向向右……………………… M +m

（2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，木块速度为零，平板车速度为v '，

'由动量守恒定律得 Mv 0-mv 0=m v ……

这一过程平板向右运动S ，μmgs =112MV 0-m v '2……… 22

解得s=2M -m 2v 0… 2μMg

2. 如图14-2-12所示，在距水平地面高h ＝0.80m 的水平桌面一端的边缘放置一个质量m ＝0.80kg 的木

块B ，桌面的另一端有一块质量M =1.0kg的木块A 以初

速度v 0=4.0m/s开始向着木块B 滑动，经过时间t =0.80s

与B 发生碰撞，碰后两木块都落到地面上。木块B 离 开桌面后落到地面上的D 点。设两木块均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且已知D 点距桌面边缘的水平距离s =0.60m，木块A 与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度取g ＝10m/s2。求：

（1）两木块碰撞前瞬间，木块A 的速度大小；

（2）木块B 离开桌面时的速度大小；

（3）木块A 落到地面上的位置与D 点之间的距离。

解析：（1）木块A 在桌面上受到滑动摩擦力作用做匀减速运动，根据牛顿第二定律，木块A 的加速度 a =μMg

M ＝2.5m/s 2

设两木块碰撞前A 的速度大小为v ，根据运动学公式，得

v =v 0-at ＝2.0m/s…

（2）两木块离开桌面后均做平抛运动，设木块B 离开桌面时的速度大小为v 2，在空中飞行的时间为t ′。根据平抛运动规律有：h =12g t '，s ＝v 2t ′ 2

解得： v 2=s g ＝1.5m/s 2h

（3）设两木块碰撞后木块A 的速度大小为v 1，根据动量守恒定律有：

Mv =Mv 1+mv 2

解得： v 1=Mv -mv 2=0.80m/s M

设木块A 落到地面过程的水平位移为s ′，根据平抛运动规律，得 s '=v 1t '=v 12h ＝0.32m g

则木块A 落到地面上的位置与D 点之间的距离 ∆s =s -s '＝0.28m

课程小结

应用动量守恒定律的基本思路

1．明确研究对象和力的作用时间，即要明确要对哪个系统，对哪个过程应用动量守恒定律。

2．分析系统所受外力、内力，判定系统动量是否守恒。

3．分析系统初、末状态各质点的速度，明确系统初、末状态的动量。

4．规定正方向，列方程。

5．解方程。如解出两个答案或带有负号要说明其意义

课后作业

【基础】

1. 在下列各种现象中，动量守恒的是( )

A ．在光滑水平面上两球发生正碰，两球构成的系统

B ．车原来静止在光滑水平面上，车上的人从车头走到车尾，人与车组成的系统

C ．水平放置的弹簧，一端固定，另一端与置于光滑水平面上的物体相连，令弹簧伸长，使物体运动，物体与弹簧组成的系统

D ．打乒乓球时，球与球拍组成的系统

解析：根据动量守恒定律的条件判断知A 、B 正确。答案：AB

2. 质量为m 的人随平板车一起以共同速度v 在平直跑道上匀速前进，当此人相对于平板车竖直跳起至落回原起跳位置的过程中，平板车的速度( )

A ．保持不变 B ．变大 C．变小 D ．先变大后变小

解析：人与平板车组成的系统在水平方向上动量守恒，A 项正确。 答案：A

3. 如图1所示，A 、B 两物体质量m A ＝2m B ，水平面光滑，当烧断细线后(原来弹簧被压缩) ，则下列说法正确的是(

)

图1

A ．弹开过程中A 的速率小于B 的速率 B．弹开过程中A 的动量小于B 的动量

C ．A 、B 同时达到速度最大值 D．当弹簧恢复原长时两物体同时脱离弹簧 解析：作用前总动量为零，作用后两物体的动量大小相等，方向相反。速度大小跟它们的质量成反比，选项A 对、B 错；弹簧恢复原状时，作用完毕，选项C 、D 对。 答案：ACD

4. 把一支枪水平地固定在小车上，小车放在光滑的水平地面上，枪发射出子弹时，下列关于枪、子弹和车的说法中正确的是( )

A ．枪和子弹组成的系统动量守恒

B ．枪和车组成的系统动量守恒

C ．若忽略不计子弹和枪筒之间的摩擦，枪、车和子弹组成系统的动量才近似守恒

D ．枪、子弹和车组成的系统动量守恒

解析：枪发射子弹的过程中，它们的相互作用力是火药的爆炸力和子弹在枪管中运动时与枪管间的摩擦力，枪和车一起在水平地面上做变速运动，枪和车之间也有作用力。如果选取枪和子弹为系统，则车给枪的力为外力，选项A 错；如果选取枪和车为系统，则子弹对枪的作用力为外力，选项B 错；如果选车、枪和子弹为系统，爆炸力和子弹与枪管间的摩擦力均为内力，系统在水平方向上不受外力，整体遵守动量守恒的条件，故选项C 错，D 对。答案：D

【巩固】

1. 甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲与他所乘的冰车的总质量为M=30kg.游戏时，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以v 0=2m/s的速度滑行. 乙以同样大小的速度迎面而来，如图所示，为避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时，乙迅速把它抓住. 若不计冰面的摩擦力，问甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞？

解： 甲与箱子系统动量守恒，以甲与箱子原运动方向为正方向

（M+m）v 0=Mv1+mv.

乙与箱子的动量也守恒

（mv-Mv 0）=（m+M）v 2.

要使两小孩不相碰，需满足极限条件 v1=v2，

解得 v=5.2m/s.

2. 两块厚度相同的木块A 和B ，并列紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为

m A =2.0kg，m B =0.90kg．它们的下底面光滑，上表面粗糙．另有质量m C =0.10kg的铅块C(其长度可略去不计) 以v C =10m/s的速度恰好水平地滑到A 的上表面

(如图14-2-15所示) ，由于摩擦，铅块最后停在本块B 上，测

得B 、C 的共同速度为v =0.50m/s，求木块A 的速度和铅块C 离

开A 时的速度．

解析：设C 离开A 时的速度为v C ，此时A 、B 的共同速度为v A ，对于C 刚要滑上A 和C 刚离开A 这两个瞬间，由动量守恒定律知

m C v C =(m A +m B ) v A +m C v ' C (1)

以后，物体C 离开A ，与B 发生相互作用．从此时起，物体A 不再加速，物体B 将继续加速一段时间，于是B 与A 分离．当C 相对静止于物体B 上时，C 与B 的速度分别由v' C 和v A 变化到共同速度v ．因此，可改选C 与B 为研究对象，对于C 刚滑上B 和C 、B 相对静止时的这两个瞬间，由动量守恒定律知

m C v ' C ＋m B v A ＝（m B +m C ) v (2)

由(l)式，得

m C v ' C =m C v C －(m A ＋m B ) v A

代入(2)式，

m C v ' C －(m A +m C ) v A +m B v A =(m B +m C ) v ．

得木块A 的速度 v A =m C v C -(m B +m C ) v

m A

m C v C -(m B +m C ) v

m A =0.25m/s所以铅块C 离开A 时的速度v A =

=0.25m/s

【拔高】

1. 如图所示，在光滑的水平布，质量m 1=20kg的小车通过不可伸长的细绳与质量m 2=25kg的物体放在拖车的平板上，物体与平板间的动摩擦因数μ=0.2，开始时拖车静止绳子未拉紧，小车以v 0=3m/s的速度向右运动. 求（1）当m 1、m 2、m 3以同一速度前进时速度的大小（2）物体在平板上移动的距离？

【提示】 （1）选取m 1、m 2、m 3为一系统，该系统所受外力的合力为零，动量守恒 m1v 0=(m1+m2+m3)v ，

解得 v=m 1v 0=1m/s m 1+m 2+m 3

（2）选取小车与拖车为一系统，绳子拉直的瞬间，小车与拖车之间的相互作用远大于m 3对m 2的摩擦力，因此小车与拖车系统动量守恒

m1v 0=（m 1+m2）v ′，得

v′=m 1v 01=1m/s； m 1+m 23

m 3在摩擦力作用下匀加速

a3=μm 3g

m 3=2m/s, 2

v 2

加速运动位移 s3==0.25m， 2a 3

小车与拖车在摩擦力作用下做减速运动

a1=μm 3g

m 1+m 2=2m /s 2， 3

v '2-v 27 s1=m ; =122a 1

物体在拖车平板上的位移 △s=s1-s 3=0.33m.

【答案】 （1）1m/s； （2）0.33m

2. 如图所示，水平地面上固定有高为h 的平台，台面上有固定的光滑坡道，坡道顶端距台面高也为h ，坡道底端与台面相切。小球A 从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面后与静止在台面上的小球B 发生碰撞，并粘连在一起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的水平距离恰好为

台高的一半。两球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g 。求：

(1)小球A 刚滑至水平台面的速度v A ；(2)A 、B 两球的质量之比m A ∶m B 。

12 解析：(1)小球从坡道顶端滑至水平台面的过程中，由机械能守恒定律得m A gh ＝m A v A 2

解得v A ＝2gh

(2)设两球碰撞后共同的速度为v ，由动量守恒定律得

m A v A ＝(m A ＋m B ) v

粘在一起的两球飞出台面后做平抛运动，设运动时间为t ，由运动学公式，

12在竖直方向上有h ＝ 2

在水平方向上有vt 2

联立上述各式得m A ∶m B ＝1∶3

答案：(1)2gh (2)1∶3

h