高等代数论文

莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文

题目： 小论矩阵的对角化

姓名： 刘文娟 学号：410401210

莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级

2007年6 月 22 日

小论矩阵的对角化

刘文娟 042数本 410401210

摘要：对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，这里讨论n 阶矩阵对角化的一些判定条

件（充要条件）及几种常用矩阵的对角化问题。

关键词：可对角化 特征值 特征向量 不变因子 初等因子 最小多项式 矩阵的秩

特征多项式 循环矩阵

定义：数域F 上方阵A ，如果能与一个F 上的对角方阵相似，则A 在F 可对角化。 判定1：A 可对角化的充要条件是：有n 个线性无关的特征向量。 判定2：设n 方阵A 的全部不同的特征根为λ1, λ2, λ

m

, 而αi 1, αi 2, αisi (i =1, 2, m )为

(λi E -A )X

（从而是属于λi 的一极大无关特征向量组），A 可=0的一个基础解系

对角化的充要条件是：

s 1+s 2+ s m =n 判定3：设λ1, λ2, λ

m

, 为n 方阵A 的全部不同的特征根，且分别为s 1, s 2, s m 重根，A 可

对角化的充要条件是： 对每个i (i =1, 2, m )都有：

r (λi E -A )=n -s i

, m ) 证明：充分性 设r (λi E -A )=n -s i ， (i =1, 2

则齐次线性方程组(λi E -A )X =0的基础解系含n -(n -s i )=s i 个向量，

但由于λ1, λ2, λ故A 可对角化。

必要性 设A 必有n 个线性无关的特征向量，但由于s 1+s 2+ s m =n ，故每个

次线性方程组(λi E -A )X =0的基础解系必含s i 个向量，从而

r (λi E -A )=n -s i ， (i =1, 2 , m )

m

, 分别为s 1, s 2, s m 重根，从而s 1+s 2+ s m =n

判定4：数域F 上n 方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式是F 上互素的

一次因式的乘积。 判定5：复数域上矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式没有重根。即A 的

最后一个不变因子无重根。

证明： 假设A 相似与对角矩阵，因为相似矩阵具有相同的最小多项式，我们只要证明对角

矩阵的最小多项式无重根即可。由于分块对角矩阵的最小多项式等于各块最小多项

式的公倍式，对于对角矩阵而言，等于主对角线上一次式的最小公倍式，显然，这

个多项式无重根子。

反之，设A 的最小多项式无重根，因为最小多项式是矩阵的最后一个不变因子，故

前面的不变因子无重根（它们都是最后一个不变因子的因子），于是A 的初等因子全是一次式，即A 的若当块都是一阶的。这就证明了A 相似与对角矩阵。 判定6：复数域上矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的初等因子是一次的。即A 的

每一个若当尔块皆是一级的。 判定7：C 为复数域，A ∈C n ⨯n ，A 与对角矩阵相似的充要条件是：对于任意的λ∈C ，

λE -A 与(λE -A )有相同的秩。

2

证明：设A 与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵T ，使

⎡λ1⎢⎢A T =⎢

⎢⎢⎢⎣

λ2

T

-1

⎤⎥⎥⎥ ⎥⎥λn ⎥⎦

⎡λ-λ1⎢⎢

-1

所以任意λ∈C ，有T (λE -A )T =⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡(λ-λ)2

1

⎢⎢2⎢-1

T (λE -A )T =

⎢⎢⎢⎢⎣

λ-λ2

⎤

⎥⎥⎥ ⎥⎥λ-λn ⎥⎦

(λ-λ2)

2

⎤

⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥2

(λ-λn )⎥⎦

2

因此T

-1

(λE -A )T 与T -1(λE -A )

2

T 等秩，由T 可逆知：λE -A 与(λE -A )有

相同的秩。

n ⨯n

反之，设对每个λ∈C ，λE -A 与(λE -A )有相同的秩，由于A ∈C ，故A 可

2

与若当形矩阵相似，即存在可逆矩阵T -1，使

⎡J 1⎢⎢A T =⎢

⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥ ⎥⎥J s ⎥⎦

J 2

T

-1

其中J i 为若当块，若某个J i 不是对角形（即J i 不是一级的），不妨设为J 1，i =1, 2, s ，即 ⎡λ1

⎢1⎢

J 1=⎢

⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥

⎥, k i ≥2, 故 ⎥⎥λ1⎥⎦k i

λ11

1

⎡0

⎢1⎢

λ1E -J 1=⎢

⎢⎢⎢⎣

01

1

2

⎤⎡0

⎥⎢

⎥⎢2

⎥, (λ1-J 1)=⎢1⎥⎢⎥⎢

⎢0⎥⎦⎣

00

1

-1

⎤

⎥⎥⎥ ⎥⎥0⎥⎦

2

由此可知(λ1E -J 1)的秩小于λ1E -J 1的秩，因而T T

-1

(λ1E -A )

T 的秩小于

(λ1E -A )T 的秩，进而(λE -A )的秩小于λE -A 的秩，与已知矛盾。

⎤

⎥⎥

⎥为对角形(s =n ) ⎥⎥J s ⎥⎦

2

⎡J 1

⎢⎢

-1

故每个J i 是对角形，从而T AT =⎢

⎢⎢⎢⎣

J 2

判定8：矩阵A =CE n （杨：数量矩阵吗）的充要条件是A 的不变因子组（杨：这种称呼的来源？）中无常数。

证明： 必要性显然 下证充分性

若A 的不变因子无常数，则只能为λ-C ，λ-C ， λ-C

因此A 相似于对角矩阵，且主对角线上的元素全是C ，即存在可逆矩阵P ， P AP =CE n , A =P

-1

-1

(CE n )P

=CE n

判定9：设A 为n 方阵，f (λ)=λE -A 是A 的特征多项式，并令 g (λ)=

f (λ)

(f (λ), f '(λ))

则A 与一对角矩阵相似的充要条件是：g (A )=0

证明：必要性 由A 与对角矩阵相似，其最小多项式m A (λ)无重根，且m A (λ)取f (λ)的

所有根，又g (λ)=因而g (A )=0

f (λ)

(f (λ), f '(λ))

无重根且与f (λ)的根相同，故g (λ)=m A (λ)

充分性 由g (A )=0知m A (λ)|g (λ), 从而m A (λ)无重根，A 与对角矩阵相似。 性质1：一个矩阵是否可对角化（即与一个对角矩阵相似）同数域的大小有关。 例如：二阶方阵A =⎢

⎡0⎣1

-1⎤⎥ 0⎦

在实数域不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因此此时它与对角矩阵

⎡i

Λ=⎢

⎣0

0⎤

⎥相似 -i ⎦1⎤⎥ i ⎦

事实上，取P =⎢

⎡1⎣-i

即有P -1AP =Λ

判定10：设A 为一个n 复矩阵，f (λ)=λE -A 是A 的特征多项式，A 可对角化的充要

条件是：若a 是f (λ)的k 重根，则秩(aE -A )=n -k

证明：必要性 由条件可知，存在可逆矩阵X ，使

⎡λ1⎢⎢A X =⎢

⎢⎢⎢⎣

λ2

X

-1

⎤⎥⎥⎥ ⎥⎥λn ⎥⎦

而f (λ)=λE -A =(λ-λ1)(λ-λ2) (λ-λn ), a 是f (λ)的k 重根， 因而在λ1, λ2 λn 中有k 个a ，故矩阵

⎡a -λ1

⎢⎢X =⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥ ⎥⎥a -λn ⎥⎦

a -λ2

X

-1

(

a E -

A )

的主对角线上有k 个零，从而秩(aE -A )=n -k

充分性 由a 是f (λ)的根，即a 是A 的特征值，由条件知，存在可逆矩阵X ，使

X

-1

⎡J ⎢⎢A X =⎢

⎢⎢⎢⎣

1

J 2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥J n ⎥⎦

，

⎡λi

⎢1⎢J i =⎢

⎢⎢⎢⎣

λi 1

1

⎤⎥⎥⎥i =1, 2, s ⎥⎥λi ⎥⎦n i ⨯n i

设J 1, J 2, J r 的对角线元素为a ，而J r +1, J s 不以a 为特征值，则

⎡aE 1-J

⎢⎢

-1-1

X (aE -A )X =aE -X AX =⎢

⎢⎢⎢⎣

1

aE 2-J 2

⎤⎥⎥⎥ ⎥⎥

aEs -J s ⎥⎦

故秩(aE -A )=(n 1-1)+ (n r -1)+n r +1+ n s =n -r =n -k

从而r =k , n 1+ n k =k , n 1= n r =1, 由于a 是任意的，故X -1AX 为对角矩阵。

性质2：设A 是数域P 上的n 阶可逆矩阵，则以下条件等价： (1)A 与对角矩阵相似 (2)A -1与对角矩阵相似 (3)A *与对角矩阵相似 ⎡λ1

⎢⎢

证明：(1)⇒(2) 设D =⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡λ1-1⎢⎢

-1

使得T A T =⎢

⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥

⎥，且A 与D 相似，则存在可逆矩阵T ，⎥⎥λn ⎥⎦⎤

⎥⎥

⎥，即A -1也与对角矩阵相似。 ⎥⎥-1⎥λn ⎦

λ2

λ2

-1

⎡u 1⎢⎢

(2)⇒(3)，设U =⎢

⎢⎢⎢⎣

u 2

⎤⎥⎥

⎥，且A -1与U 相似，则存在可逆矩阵Q ，使 ⎥⎥u n ⎥⎦

⎤

⎥⎥⎥ ⎥⎥u n ⎥⎦

⎡u 1

⎢⎢

-1

Q AQ =⎢

⎢⎢⎢⎣

u 2

于是有：

⎡u 1⎢⎢=Q ⎢

⎢⎢⎢⎣

u 2

⎤⎥⎥

⎥Q -1 ⎥⎥u n ⎥⎦

A

-1

进而有：

⎡u 1

⎢⎢

=A Q ⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡A u 1⎤

⎢⎥

⎢⎥

-1

⎥Q =Q ⎢

⎢⎥

⎢⎥

⎢u n ⎥⎦⎣

⎤

⎥⎥

⎥Q -1 ⎥⎥A u n ⎥⎦

u 2

A u 2

A =A A

*-1

即A *也与对角矩阵相似。 ⎡s 1

⎢⎢

设S =⎢(3)⇒(1)，

⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥

*

⎥，且A *与S 相似，设可逆矩阵K ，使K A K ⎥⎥s n ⎥⎦

=K SK

-1

s 2

=S ，

S 可逆，而A *=KS -1K -1，(A *)

-1

，因此，

⎤

⎥⎥

⎥K -1 ⎥⎥-1⎥A S n ⎦

A =A (A

*

)

-1

=A K S

-1

K

-1

⎡A S 1-1⎢⎢=K ⎢

⎢⎢⎢⎣

A S 2

-1

即A 与对角矩阵相似。 ⎡a 0⎢a ⎢n -1

性质3：任何循环矩阵A =⎢

⎢⎢a 1⎢⎣

a 1a 0a 2

a n -1⎤

⎥a n -2

⎥

⎥在复数域上都可对角化。

⎥a 0⎥

⎥⎦

证明： 令f (λ)=a 0+a 1λ+ a n -1λ⎡1

⎢1⎢

∆=⎢1

⎢⎢ ⎢1⎣

1

2

n -1

，且

ε1ε2

+i sin

2k πn

ε1

n

n -1

⎤⎥εn -1

⎥2εn -1⎥

⎥ ⎥n -1εn -1⎥⎦

1

，其中

εk =cos

2k π

(k =0,1, n -1)为全部的n 次方根。

则⎡f (ε0)

⎢f ε⎢(0)

A ∆x =⎢

⎢⎢ ⎢f (ε)0⎣

f (ε1)

⎤⎡f (ε0)

⎥⎢

εn -1f (εn -1)⎥

⎢⎥=∆⎢⎥⎢

⎥⎢n -1⎢εn -1f (εn -1)⎥⎦⎣

f (εn -1)

⎤

⎥⎥⎥⎥⎥

f (εn -1)⎥⎦

ε1f (ε1)

f (ε1)

ε1

n -1

f (ε1)

⎡f (ε0)

⎢⎢

由于∆可逆，从而A 可与对角矩阵⎢

⎢⎢⎢⎣

f (ε1)

⎤⎥⎥

⎥相似，即A 可对⎥⎥

f (εn -1)⎥⎦

角化。

判定11：设A 为任意一n 阶方阵，A 在复数域上可与对角化的充要条件是： A 与某个循环矩阵相似。 证明： 充分性由性质3可知。 下证必要性。

⎡λ0⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥

⎥ (1) ⎥⎥λn -1⎥⎦

λ1

C 设A 可对角化，则存在满秩矩阵C ，使C A

-1

现在令∆如上性质3中证明所设的∆，且令D =(λ0, λ1 λn -1)'，则由于∆可逆，故线性方程组∆'X =D 有唯一解，设为b 0, b 1 b n -1, 从而由此可得； f (ε0)=λ0, f (ε1)=λ1 f (εn -1)=λn -1 (2)

其中f (λ)=b 0+b 1λ+ b n -1λ⎡b 0⎢b ⎢n -1

再令B =⎢

⎢⎢b 1⎢⎣

b 1b 0 b 2

n -1

b n -1⎤

⎥b n -2

⎥ ⎥， ⎥b 0⎥⎥⎦

于是由上(1)(2) 知，有 ⎡f (ε0)

⎢⎢

-1

∆B ∆=⎢

⎢⎢⎢⎣

⎤⎡λ0⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢

⎢f (εn -1)⎥⎦⎣

⎤

⎥⎥

⎥=C -1AC ⎥⎥λn -1⎥⎦

f (ε1)

λ1

从而A =(C ∆-1)B (C ∆-1)，即A 与循环矩阵B 相似 。 几种常用矩阵的对角化问题。

1．设A 不是零方阵 ，若A =0，则A 可对角化（杨：结论正确吗？）。

⎡λ1

⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥， ⎥⎥λn ⎥⎦

m

-1

λ2

P 证明：设A 相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P ，使P A

-1

但由于A =0，从而有

⎛λ1m

-1m -1

P A P =(P A P )=

⎝

⎫⎪⎪

⎪=0 ⎪⎪λn ⎪⎭

m

λ2

m

于是λ1=λ2= =λn =0，从而A =0与A ≠0矛盾。

2．若矩阵A 适合A 2=E ，则A 必可对角化。（杨：更一般：A m =E ？）

证明：A 的特征值λ2=1，因此为1或-1，现在来证明A 有n 个线性无关的特征向量，已

知(E -A )(E +A )=0，知r (E -A )+r (E +A )=n ，因此对特征值1，齐次线性方程组(E -A )X =0有n -r (E -A )=r (E +A )个线性无关的解，而对特征值-1，同理有r (E -A )个线性无关的解，再由于属于不同特征值的特征向量线性无关。所以A 有n 个线性无关的特征向量，因此A 可对角化。

3．若矩阵A ，适合A 2=A ，则A 必可对角化。（杨：更一般：A m =A ？） 证明：A 的特征值为1或0，也有r (E -A )+r (A )=n ，同上2类似方法可得。 4．设A 是一个下三角矩阵，证明：

(1)若a ii ≠a jj (i ≠j , i , j =1, 2, n )则A 可对角化。

(2)若a 11=a 22= a nn ，而至少有一个a i 0j 0≠0(i 0>j 0), 则A 不可对角化。

⎡a 11

⎢a ⎢21⎢

证明：(1)设A =⎢

⎢⎢⎢⎢⎣a n 1

0a 22

a n 2

a i 0j 0

0⎤

⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥a nn ⎥⎦

显然A 的特征值为a 11, a 22, a nn ，如果a ii ≠a jj (i ≠j , i , j =1, 2, n )，即A 有n

个互不相同的特征根，从而A 可对角化。

(2)证明：设a 11=a 22

= a nn ，且至少有一个a i

j 0

≠0(i 0>j 0), 若A 与对角矩阵B 相似，

由于相似矩阵有相同的特征根，而A 的特征值为a 11（n 重根），故B 也为

⎛a 11

B =

⎝

a 11

⎫⎪⎪

⎪=a 11E ⎪⎪a 11⎪⎭

且存在可逆矩阵Q ，使

A =QBQ -1=Q (a 11E )Q -1=a 11E =B

这与至少有一个a i 0j 0≠0, 矛盾，故A 不可对角化。

参考文献：

[1]高等教育出版社，主编：李师正，《高等代数解题方法与技巧》

[2]复旦大学出版社，姚慕生编，《高等代数学》

[3]高等教育出版社，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，《高等代数》

[4]山东科学技术出版社，杨子胥编，《高等代数习题解》

[5]复旦大学出版社，姚慕生编，《高等代数》

杨：收集整理了可对角化矩阵的各种结论。这是很有用的（当然个别地方可仔细考虑）。 这对进一步学习有指导意义。问题：

1 还没有按课程论文的形式整理，单纯解答题的痕迹很明显。

2一般性结论的得到和讨论还要加强

3参考文献作用不突出，引用不规范。

杨忠鹏

20070625