数学分析论文
数学分析论文 讨论重积分应用计算
姓名:李军 统计2班 学号:[1**********]0 指导老师:张胜祥
摘要:重积分主要包括二重积分和三重积分两部分,引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映,三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的,但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分主要用来解决实际问题,在本文中,首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用,比如求空间立体的体积,空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用,并借以实例加以说明。 关键词:重积分;曲面面积;
在数学分析中,重积分是多元函数积分学的内容,在一元函数积分学中我们知道定积
分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形,便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。重积分主要包括二重积分和三重积分两部分,引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映,三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的,将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。
I . 重积分的应用归纳如下:
1.1曲面的面积 设曲面∑的方程为z
=f (x , y ),∑在xoy 面上的投影为D xy ,函数f (x , y )在D 上具
有连续偏导数,则曲面∑的面积为:
A =⎰⎰
D
⎛∂f ⎫⎛∂f ⎫22
⎪1+ ⎪+ dxdy =+f x , y +f x y x , y d σ⎰⎰ ⎪
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭D
2
2
若曲面∑的方程为
x =g (y , z ),∑在
yoz 面上的投影为D yz ,则曲面∑的面积
A =⎰⎰
D
⎛∂g ⎫⎛∂g ⎫22
⎪+ +dydz =+f y , z +f ⎪y z y , z d σ ⎰⎰ ∂y ⎪
⎝⎭⎝∂z ⎭D
2
2
若曲面∑的方程为
y =h (z , x ),∑在zox 面上的投影为D zx ,则曲面∑的面积为:
2
2
A =⎰⎰
D
⎛∂h ⎫⎛∂h ⎫22
1+ ⎪+ ⎪dzdx =⎰⎰+f z (z , x )+f x (z , x )d σ
⎝∂z ⎭⎝∂x ⎭D
=xy 被柱面x 2+y 2=R 2所截出的面积A 。
2
例1:计算双曲抛物面z
解:曲面在xoy 面上投影为D :x
+y 2≤R 2, 则
2
2
A =⎰⎰
+z x +z y dxdy
D
即有
:
A =⎰⎰=⎰d θ⎰
D
2πR
2⎡2
=π⎢(1+R )-1⎤ ⎥3⎣⎦
例2:求半径为a 的球的表面积. 解:取上半球面方程为z
=a 2-x 2-y 2,
则它在xoy 面上的投影区域D =又由
{(x , y x
2
+y 2≤a 2
}.
∂z -x ∂z -y
=, =,
222222∂x a -x -y ∂y a -x -y a ⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪1+ ⎪+ ⎪=.
222
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭a -x -y
2
2
得 因为这函数在闭区域
D 上无界, 我们不能直接应用曲面面积公式, 所以先取区域
D 1=(x , y x 2+y 2≤b 2(0b →a 取A 1的极限就得半球面的面积.
{}
A 1=⎰⎰
D 1
a a -x -y
2
2
2
dxdy ,
利用极坐标, 得
A 1=⎰⎰
D 1
a a 2-ρ2
ρd ρd θ=a ⎰d θ⎰
2πb
ρd ρ
a 2-ρ2
于是
lim A 1=lim 2πa a -a 2-b 2=2πa 2.
b →a
b →a
()
这就是半个球面的面积, 因此整个球面的面积为
A =4πa 2.
1.2质心
1.2.1平面薄片的质心
若平面若平面薄片占有平面比区域D ,面密度为μ
(x , y ),则它的质心坐标为:
1⎧=x μ(x , y )d σ⎰⎰⎪m D ⎪⎨
⎪=1y μ(x , y )d σ
⎰⎰⎪m D ⎩
1.2.2物体的质心
若物体占有空间闭区域Ω,体密度为μ
,其中m 为平面薄片的质量.
(x , y , z ),则它的质心坐标为:
⎧1
⎪=μ(x , y , z )dv
m D
⎪⎪1⎪=μ(x , y , z )dv ⎨m D ,其中m 为物体的质量. ⎪⎪1
⎪=μ(x , y , z )dv
m D ⎪⎩
2222
例3:求位于两球面x +y +(z -2)=4,和x +y +(z -1)=1之间的均匀物体的
2
2
质心.
解:由对称性可知,质心必须位于z 轴上 ,故
=0, =0
由公式
=
由面μ
1
z μd υ=⎰⎰⎰m Ω
⎰⎰⎰z μd υ
Ω
⎰⎰⎰μd υ
Ω
≡常数,不妨设μ≡1,则
⎰⎰⎰μd υ=Ω(Ω的体积),
Ω
4428
=π⋅23-π⋅13=π333
⎰⎰⎰z μd υ=⎰⎰⎰zd υ
Ω
Ω
=⎰d θ⎰d ϕ⎰
20
2π
2π
π
4cos ϕ
2cos ϕ
ρcos ϕρ2sin ϕd ρ
4cos ϕ
1
=⎰d θ⎰2sin ϕcos ϕρ4d ϕ004
2cos ϕ
1
=2π⎰2sin ϕcos ϕ44cos 4ϕ-16cos 4ϕd ϕ
04
π
π
()
π
=120π⎰2sin ϕcos 5ϕd ϕ
π
⎛1⎫26
=120π -cos ϕ⎪
⎝6⎭0
=20π
所以
=
20π15
=, π73
15⎫⎛
⎪。 从而质心坐标为 0, 0,
7⎭⎝
1.3转动惯量
1.3.1平面薄片的转动惯量
若平面薄片占有平面闭区域D ,面密度为μ别为:
(x , y ),则它对轴, 轴以及对原点的转动惯量分
I x =⎰⎰y 2μd σ, I y =⎰⎰x 2μd σ, I o =⎰⎰x 2+y 2μd σ
D
D
D
()
1.3.2物体的转动惯量
若物体占有空间闭区域Ω,体密度为μ为:
(x , y , z ),则它对轴, 轴以及对原点的转动惯量分别
I x =⎰⎰⎰x 2+y 2μd υ, I y =⎰⎰⎰z 2+x 2μd υ,
Ω
()()
I z =⎰⎰⎰x 2+y 2μd υ, I o =⎰⎰⎰x 2+y 2+z 2μd υ
Ω
Ω
()
Ω
()
1.4引力
1.4.1平面薄片对质点的引力
若平面若平面薄片占有平面比区域D ,面密度为μ
(x , y ),质量为m 的质点位于
(x 0, y 0),设薄片对质点的引力为F ={F x , F y },则
F x =⎰⎰
D
(x -x 0)μd σGm
r
3
,
F y =⎰⎰
D
(y -y 0)μGm d σ
r 3
其中r =
1.4.2物体对质点的引力
x -x 02+y -y 02, G 为引力常数.
若物体占有空间闭区域Ω,体密度为μ
(x , y , z ),质量为m 的质点位于(x 0, y 0, z 0),
F x , F y , F z },则 设薄片对质点的引力为F ={
F x =Gm ⎰⎰⎰
Ω
(x -x o )μd υF
r 3
y
=Gm ⎰⎰⎰
Ω
(y -y o )μd υF
r 3
z
=Gm ⎰⎰⎰
Ω
(z -z o )μd υ
r 3
其中r =
(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2, G 为引力常数.
结论:
直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂
区域分割为若干个简单区域,则可以回到NewTon –Leibniz 公式。
关于平面极坐标,空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此,换元后微元都发生了改变,(这是尤为要强调记住的)。其它过程则跟直角坐标系下一致。
关于空间极坐标,其主要适用于圆锥,球体,半球体。
总之,所有计算方法,都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示,主要注意在不同坐标系下的微元即可。
参考文献:
[1] 李大华,林益,汤燕斌,王德荣. 工科数学分析第3版下册, [2] 田国华. 数学分析辅导及习题全解[M]. 2007, 8.
[3] 骆一丹. 辅导及习题精解[M]. 上海:同济大学出版社,2004, 7.
[4] 闫晓红, 王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解[M].中国时代经济出版社, 2006, 3. [5] 强文久, 李元章, 黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法[M].高等教育出版社,1989, 4.