初一几何平行线的性质及判定.
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平行的性质及判定
模块一 平行的定义、性质及判定
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第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版
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夯实基础
【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）
A ．同位角相等 B ．内错角相等 C ．同旁内角互补 D ．以上都不对
⑵ ∠1和∠2是同旁内角，若∠1=45︒，则∠2的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定
⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）
A ．∵∠A +∠D =180°，∴AD ∥BC B ．∵∠C +∠D =180°，∴AB ∥CD C ．∵∠A +∠D =180°，∴AB ∥CD D ．∵∠A +∠C =180°，∴AB ∥CD
⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A ．50° B ．40° C ．150° D ．130°
(北京101中期中)
⑸ 如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥CD ，F 为垂足，如果
∠GEF =20°，则∠1的度数是（ ）
A ．20° B ．60° C ．70° D ．30°
(北京八中期中)
⑹ 如图，直线a ∥b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠1=55°，则∠2的度数为______
A C
1E F
B D
a b
A
D
B
(北京三帆中学期中)
1
A
B
C
a b
(北京八十中期中)
⑺ 如图，∠1和∠2互补，那么图中平行的直线有（ ）
A ．a ∥b B ．c ∥d C ．d ∥e D ．c ∥e
2
c d
b
e
1
(北京十三分期中)
⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°，其中正确的个数（ ）
3
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
(北京十三分期中)
⑼ 如图，直线l 1∥l 2，AB ⊥CD ，∠1=34°，那么∠2的度数是．
2C
B D
l 1l 2
(北京一六一中期中)
⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1=64°，那么∠2等于 ．
21
(北京一六一中期中)
【解析】 ⑴D ； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.
【例2】 ⑴ 如图，AB ∥CD , ∠B =∠D , 请说明∠ 1=∠2，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．
解：∵AB ∥CD ，
∴∠BAD +∠D =180°（ ）．B
∵∠B =∠D ， 1
∴∠BAD + =180°（等量代换）． D C ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠． 1=∠2（ ）
（北京市海淀区期末）
⑵ 填空，完成下列说理过程.
如图，DP 平分∠ADC 交AB 于点P ，∠DPC =90︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由. 解：∵DP 平分∠ADC ，
∴∠3＝∠ （ ）
A
3
D P 第二级（上）·第1讲·基础-提高-
3 C
B
∵∠APB = °，且∠DPC =90︒， ∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3. （ ） ∴∠2＝∠4.
（北京市朝阳区期末）
⑶ 如图, 已知DE ∥AC ，DF ∥AB ，求∠A +∠B +∠C 度数．
A
F
E
4
B
3D
2
C
解：∵DE ∥AC （ ），
∴∠C = （ ）， ∠3= ） 又∵DF ∥AB （ ） ∴∠B = （ ） ∠A = ） ∴∠A =∠3（ ）
∴∠A +∠B +∠C =∠1+∠2+∠3=∠BDC = （ ）
【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°． 【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；∠B ；AD ∥BC ；两直线平行，内错角相等
⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等
⑶ 已知；∠1；两直线平行，同位角相等；∠4；两直线平行，内错角相等；已知；∠2；两直线平行，同位角相等；∠4；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．
能力提升
E
B D
【例3】 ⑴ 如图，已知直线AB ∥CD ， ∠C =115°，∠A =25°，则∠E 的度数为 度． A
⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB ∥AC 的 条件： .
⑶ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：
① ∠1=∠2；② ∠3=∠4；③ ∠A =∠DCE ； ④ ∠D =∠DCE ；⑤ ∠A +∠ABD =180°； ⑥ ∠A +∠ACD =180°；⑦ AB =CD .
E C 图3
D B
B 1A
D
2C
4
能说明AC ∥BD 的条件有 .
⑷ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ， 已知∠1=∠2=60°，GM 平分∠HGB 交直线CD 于点M ． 则∠3=（ ）
A ．60° B ．65° C ．70° D ．130°
【解析】 ⑴ ∵AB ∥CD ，∠C =115°（已知），
∴∠BFC =65°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠AFE =∠BFC =65°（对顶角相等）． ∵∠A =25°（已知），
∴∠E =90°（三角形内角和）．
⑵ ∠EBD =∠ACB （∠EBA =∠BAC ）等（答案不唯一） ⑶ ②④⑤； ⑷ A．
A
E 1
B
C
H 2 3 M F
D
【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，∠AED =80°，求∠EDC ．
⑵ 已知：如图2，∠C =∠1，∠2和∠D 互余，BE ⊥FD 于G ．求证：AB ∥CD ．
(北京八中期中)
A
A
F 1E
D
D
E
B
图1 图2
C
C
【解析】 ⑴ ∵DE ∥BC
∠ACB =∠AED =80︒ ∴∠EDC =∠DCB ，
∵CD 平分∠ACB
1
∴∠EDC =∠DCB =∠ACB =40︒
2
⑵ 证明：∵∠C =∠1（已知）
∴BE ∥CF （同位角相等，两直线平行） 又∵BE ⊥FD （已知）
∴∠CFD =∠EGD =90︒（两直线平行，同位角相等） ∴∠2+∠BFD =90︒（平角定义） 又∵∠2+∠D =90︒（已知） ∴∠BFD =∠D （等量代换）
∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）
【例5】 如图，已知：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点M 、N ，
MG 、NH 分别平分∠AME 、∠CNE . 求证：MG ∥NH ． 从本题我能得到的结论是：
A H C
N F
E B
D
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【解析】 ∵AB ∥CD ，∴∠AME =∠CNE
又∵MG 、NH 分别平分∠AME 、∠CNE
11
∴∠GME =∠AME =∠CNM =∠HNE ，∴MG ∥NH
22
从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行. 引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；
两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.
模块二 基本模型中平行线的证明
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夯实基础
【例6】 已知：如图AB ∥CD , 点E 为其内部任意一点，
求证：∠BED =∠B +∠D ．
【解析】 过点E 作EF ∥AB ,
∵EF ∥AB , AB ∥CD （已知）
∴EF ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）
A
E
C A
B
D B
F D
6
C
∵EF ∥AB , （已知）
∴∠B =∠BEF （两直线平行，内错角相等） ∵EF ∥CD , （已知）
∴∠D =∠DEF （两直线平行，内错角相等） ∵∠BED =∠BEF +∠DEF
∴∠BED =∠B +∠D （等量代换）
能力提升
D
【例7】 如图，已知AB ∥DE ，∠ABC =80︒，∠CDE =140︒，
求∠BCD 的度数．
C 【解析】 过点C 作CF ∥AB ． B D ∵AB ∥DE 且CF ∥AB （已知）
∴CF ∥AB ∥DE （平行于同一条直线的两直线平行） ∵AB ∥CF 且∠ABC =80︒（已知）
C ∴∠BCF =∠ABC =80︒（两直线平行，内错角相等）
∵DE ∥CF 且∠CDE =140︒（已知）
∴∠DCF =180︒-∠CDE =180︒-140︒=40︒（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠BCD =∠BCF -∠DCF =80︒-40︒=40︒
A B
E
E
F
探索创新
【例8】 如图，已知∠3+∠DCB =180 ，∠1=∠2，
∠CME :∠GEM =4:5，求∠CME 的度数．
【解析】 如图延长CM 交直线AB 于点N
∵∠3+∠DCB =180 ，（已知）
∠3=∠ABC （对顶角相等）
∴∠ABC +∠DCB =180 （等量代换） ∴AB ∥CD ，（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等） ∵∠（已知） 1=∠2，
∴∠2=∠4（等量代换） ∴GE ∥CM ，（同位角相等，两直线平行）
∴∠CME +∠GEM =180 （两直线平行，同旁内角互补） ∵∠CME :∠GEM =4:5， ∴∠CME =80
【点评】通过辅助线将相关角联系起来.
D
M
C G
B
A
D
4
C N
B 3A
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判断对错：图中∠1与∠2为同位角（ ）
【解析】 ×
_和∠2不是被同一条直线所截
判断对错：垂直于同一条直线的两直线互相平行（ ） 【解析】 ×
_易忘记大前提“在同一平面内”
实战演练
知识模块一 平行的定义、性质及判定 课后演练
【演练1】 已知如图，∠1=∠C ，∠2=∠B ，MN 与EF 平行吗？为什么？
M E B
A N F
【解析】 ∵∠1=∠C （已知），∴MN ∥BC （内错角相等，两直线平行）
∵∠2=∠B （已知），∴EF ∥BC （同位角相等，两直线平行） ∴MN ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行）
【演练2】 ⑴ 如图1，AB ∥CD ，AD ⊥AC ，∠ADC =32°，则∠CAB 的度数是 ．
⑵ 如图2，直线l 与直线a ，b 相交．若a ∥b ，∠1=70°，则∠2的度数是 ．
8
⑶ 如图3，直线m ∥n ，∠1=55°，∠2=45°，则∠3的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°
B
D
图1
【解析】 ⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ C．
【演练3】 ⑴ 根据右图在（ ）内填注理由：
①∵∠B =∠CEF （已知）
∴AB ∥CD （ ） ②∵∠B =∠BED （已知）
∴AB ∥CD （ ） ③∵∠B +∠CEB =180°（已知）
∴AB ∥CD （ ）
2
m 图3
n
A C F
B D
E
（北京市东城区期末）
⑵ 如图：已知∠1=∠2，∠A =∠C ，求证：①AB ∥DC ②AD ∥BC
证明：∵∠1=∠2（ ） ∴（ ）∥（ ）（ ） D C
∴∠C =∠CBE （ ）
又∵∠C =∠A （ ） A E ∴∠A = （ ） B
图1
∴（ ）∥（ ）（ ）
⑶ 如图，∵∠E =∠3（已知），∠1=∠2（已知）
又∵∠ =∠ （ ） ∴∠ =∠ （ ） ∴AB ∥CE （ ）
D 12F
E
图3
【解析】 ⑴ ① 同位角相等，两直线平行；
② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行．
⑵ 已知，AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠CBE ；
等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． ⑶ 2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【演练4】 ⑴ 已知：如图1，∠D =110°，∠EFD =70°，∠1=∠2，求证：∠3=∠B ．
(北京三帆中学期中)
证明：∵∠D =110°，∠EFD =70°（已知）
∴∠D +∠EFD =180° A D
∴AD ∥ （ ） F E 又∵∠1=∠2（已知）
∴ ∥ （ ）
B C
∴ ∥ （ ） 图1
第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版
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∴∠3=∠B （ ） ⑵ 如图2，EF ∥AD ，∠1=∠2，∠BAC =70°．将求∠AGD 的过程填写完整．
(北京四中期中)
解：∵EF ∥AD ，
C ∴∠2= （ ）
又∵∠1=∠2
D G ∴∠1=∠3（ ）
∴AB （ ）
∴∠BAC + =180°（ ）
A B E 又∵∠BAC =70°
图2
∴∠AGD = ．
【解析】 ⑴EF ；同旁内角互补，两直线平行；AD ；BC ；内错角相等，两直线平行；EF ；BC ；
平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．
⑵∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG ；内错角相等，两直线平行；∠AGD ; 两直线平行，同旁内角互补；110°．
A D 【演练5】 如图，已知DA ⊥AB ，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，
∠1+∠2=90°，求证：BC ⊥AB ． E 【解析】 ∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，∠1+∠2=90° 2
∴∠ADC +∠BCD =180°，∴AD ∥BC ，∴∠DAB +∠ABC =180°
C B
∠ABC =90°BC ⊥AB ∵DA ⊥AB ，∴，即
A 【演练6】 如图，已知∠1+∠2=180 ，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠ACB 的大
小关系，并对结论进行证明．
E
21【解析】 法一：∵∠1+∠2=180 ，∴∠2=∠DFE F
∴AB ∥EF ，∴∠3=∠ADE B ∵∠3=∠B ，∴∠B =∠ADE ∴DE ∥BC ，∴∠AED =∠ACB
法二：延长EF ，找∠2的同位角，证出AB ∥EF ，再找∠3的内错角，证出DE ∥BC 即可．
知识模块二 基本模型中平行线的证明 课后演练
22
【演练7】 如图，已知AB ∥CD ，∠ABF =∠ABE ，∠CDF =∠CDE ，
33
则∠F :∠E = .
【解析】 分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：∠F :∠E =2:3.
B
F
A
D
C
【演练8】 已知：如图，点E 为其内部任意一点，∠BED =∠B +∠D . 求证：AB ∥CD .
10
A
E
C B D
【解析】 如图过点E 做EF ∥AB ,
∵EF ∥AB
∴∠B =∠BEF ,
∵∠BED =∠BEF +∠D EF =∠B +∠D EF ∠BED =∠B +∠D
∴∠DEF =∠D
∴EF ∥CD
又∵EF ∥AB
∴AB ∥CD
A B F C D
第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版 11