铅球投掷角度和最大成绩的函数关系

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重庆大学学报（自然科学版）

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文章编号：（&""&）!"""#$%&’"(#"!&&#"(

铅球投掷角度和最大成绩的函数关系!

代利琴

（重庆大学体育学院，重庆("""((）

摘要：为了解决铅球适宜投出角度公式与实践偏离的问题，采用抛体运动及数学分析的

方法探讨了铅球成绩与抛体最大射程的函数关系，得出了最大成绩定理、最佳投出角度公式和最佳出手角度标志线参数式，从数学上证明了“与手角对应的轨迹角等于($)会有最大投掷成绩”的判断。

关键词：田径；铅球；出手角；公式中图分类号：*%&(+!

文献标识码：,

实践中，世界优秀铅球运动员的出手角要比

［!#&］

计算的数字小一些。为了解决公式与实践的

偏离问题，我国及世界上不少学者做了大量探讨，导出了多个不同形式的公式如：

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图!

以出手点*为坐标原点的余抛运动示意图

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设抛体从地面上一点*抛出，最后又落到地

面上同一高度的另一点。取*为坐标原点。

抛体自地平面的发射角又称轨迹角，设轨迹角为#，发射初速度为!，经过+秒抛体升至（出手）点,，上升高度为$。由普通物理学知道，初速!在水平和竖直方向的分量为%(!%/52在时刻+的速%-!%234#，#。度分量为：

%+(!%/52%+-!%234#，#’#+即时速率：

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抛体在时刻+的坐标：

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其中：%为初速度，$为出手高度，#为重量。

但这些公式计算的结果与实践仍存在着偏离。

女子铅球是我国田径运动的拳头项目，解决好铅球投出角度公式与实践偏离的问题，有着重大的现实意义。传统理想抛射角公式是在假定

［6］

。事实上，当抛射角"%)、$不变条件下导出的

（!）

改变时，由于重力（加速度）的影响，出手初速度也即%)是而不是固定%)也随之变化。"的因变量，不变的。美国著名运动生物力学专家詹姆斯・海指出：目前除了意识到这一问题之外，还没能找到

［(’$］

相应的解决方法。笔者试图摒弃传统的让%)固定不变的假定，采用抛体运动、这分析、假言判

（&）（6）（(）

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抛体的轨迹方程（消去&式中+）：

断等方法，并把分析抛体在$高处的射程与地面

上最大射程的函数关系定为基本思路。

!两射程间的函数关系（见图!）

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它表明抛体在空间所经历的路历的路径为一抛物

［7’8］

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收稿日期：&""&#"!#!(

作者简介：代利琴（!J7$#），女，重庆人，重庆大学讲师。研究方向：体育教学理论。

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重庆大学学报（自然科学版）

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式（!）还可整理作&’#!（"#$%!’&&’#!）#

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0(，所以，函数有极大值（/(）#(和极小值（/"*）#-*。在（*，"*］内，/)（"）2(，/1（"）0(，

图形为下降凹弧；在［（"*，%2）内，/)（"）0(，/1（"）0(，图形为上升凹弧。在（’2，(］内，/)（"）0(，/1（"）2(，图形为上升凸弧；在［(，*）内，/)（"）2(，/1（"）2(，图形为下降凸弧。

-）"#*，函数无定义，故为间断点。由于

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第(&卷第#期代利琴：铅球投掷角度和最大成绩的函数关系%

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若把（’’）式代入（)）式，便得到与最大成绩相对应的出手初速度：

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将（’%）式整理，可解得最大成绩

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设$是大于(!的任意正数。则（%&）在［(!，$］上连续。因而，在该区间上至少可以取得它的最大值和最小值各’次。

在&!（(!，$）内，因为%’（&）(*，所以，%（&）在［(!，$］内单调增加，其图形是沿横轴正向上升的。

简单的考察可以注意到，在掷铅球运动中，所有运动员的成绩&都远大于其出手高度!的(倍，可见，掷铅球的参数符合&!［(!，$］内这一条件。函数)*（%&）在［(!，$］内单调增加，也即&增大，%（&）也相应增大。反之也成立，即)*（%&）越大，&也越大。当)有最大射程时，&也必有最大投掷成绩；)无最大射程时，&也必无最大投掷成绩。可见，)有最大射程是&有最大投掷成绩的充分又必要条件。

因为“抛射角等于#&+”和“有最大射程)+”(个条件互为因果关系，所以，上述结论中，“)有最大射程”这一条件可以置换为“抛射角等于#&+”这一条件。又因为$是大于(!的任意正数，所以，&!［(!，$］，也即&"(!，因此，上述结论又可叙述做：在&"(!内，与出手角对应的轨迹角等于#&+是有最大投掷成绩的充分又必要条件。这一结论可称做最大成绩定理。

在轨迹角等于#&+的抛物线上，轨迹顶点的高度,-(

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*)+1*#,(*(,；

出手点在轨迹顶点时的成绩&*)+*$。因此，&!［(!，$］内，其相应的出手角"在［*+，#&+］上，位于抛物线对称轴的左侧。（对称轴右侧，"在（*+，,#&+）上，&在（(!，*）内，即(!(&(*，上述结论不成立）。

#最佳出手角度公式

因为（’’）式的前提条件是轨迹角!*#&+，所

以，根据最大成绩定理，式中&应为最大成绩&+。

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由图’，

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将（’#）式代入上式，得与

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将（’"）式代入（’!）式，得与最大成绩相对应的最佳出手角度公式

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（&*&+）（’)）&最佳出手角度标志线参数

将（’"）、（’)）式代入（’#）式，得)3*

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距离：

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代入轨迹顶点的高度公式,*

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，得铅球轨迹顶点至地面的高度：

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（&*&+）（(’）"结论

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的图形得出了“在&"(!范围内，

与出手角对应的轨迹角等于#&+是有最大投掷成绩的充分又必要条件”的判断。由此导出了最大成绩公式（’$），铅球最佳投出角度公式（’!）、式（’)）；出手角度标志线参数式（(*）、式（(’）。

’参考文献：

重庆大学学报（自然科学版）

学院出版社，!$%!"

&CC&年

［!］张艺，罗然"体育学院专修通用教材・田径（上册）

［#］人民体育出版社，"北京：!$%$"

［&］李平，朱强"体育学院专修通用教材・田径运动高级

教程［#］人民体育出版社，"北京：!$$’"

［(］陈有生"铅球理想抛射角的简易推导与计算［)］"辽

宁师范大学学报（自然版），（’）：!$$(，!*(’$+(,&"［’］张恩光"论铅球投掷角度的问题［)］"南京航空天大

学学报，（’）：!$$(，&,,!%+,&,"

［,］詹姆斯・海"运动技术生物力学［#］北京体育"北京：

［*］杨峰，罗杰"高等学校试用教材・物理学（上册）［#］"

北京：高等教育出版社，!$%!"

［-］陈志兵，江露"高等学校教材・普通物理学（第一册）

［#］高等教育出版社，"北京：!$%&"

［%］代刚，田志纳"高等学校教材・高等数学（上册）［#］"

北京：高等教育出版社，!$%%"

［$］邓胜，侯俊"山东省成人高等教育教材・高等教学（财

经文科类）［#］青岛海洋大学出版社，"青岛：!$$%，&’+%&"

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（责任编辑

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（责任编辑

姚

飞）

铅球投掷角度和最大成绩的函数关系

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：

代利琴

重庆大学体育学院,重庆,400044

重庆大学学报(自然科学版)

JOURNAL OF CHONGQING UNIVERSITY(NATURAL SCIECNE EDITION)2002，25(4)1次

1.张艺.罗然 体育学院专修通用教材 田径 1989

2.李平.朱强 体育学院专修通用教材 田径运动高级教程 19943.陈有生 铅球理想抛射角的简易推导与计算 1993(04)4.张恩光 论铅球投掷角度的问题 1993(04)5.詹姆斯 海 运动技术生物力学 19816.杨峰.罗杰 高等学校试用教材 物理学 19817.陈志兵.江露 高等学校教材 普通物理学 19828.代刚.田志纳 高等学校教材 高等数学 1988

9.邓胜.侯俊 山东省成人高等教育教材 高等教学(财经文科类) 1998

1.期刊论文 黄昌美.刘刚.李梦龙.邓罗平 对影响田径普修女生铅球成绩因素的灰色关联分析 -当代教育理论与实践2009,1(6)

应用灰色系统理论研究方法,对湖南科技大学体育学院2000～2007年历届女生铅球成绩前五名的身体形态和素质进行了分析研究,探讨了各相关因素之间的相互关系及其对铅球成绩的影响程度.研究结果表明:有效提高体院田径普修中女生铅球成绩应以发展原地投和后抛铅球的专项投掷力量为重点,同时兼顾卧推、深蹲、立定三级跳远和立定跳远为核心的专项基础力量的发展.

2.期刊论文 谢辉强.XIE Hui-qiang 我国女子铅球备战08年奥运会竞争力的研究 -体育科技文献通报2006,14(6)

我国女子铅球曾经具有很强的竞争力,为备战2008年奥运会,我们应当树立信心,正确对待我国女子铅球队伍的现状、发挥举国体制的优势、组织攻关队伍、提高训练的科技含量、在国际大赛中磨练运动员,使我国女子铅球运动水平能够重振雄风,为中国田径在2008年奥运会上取得优异成绩做出新的贡献.

3.学位论文 吕雪松 对我国女子铅球项目发展现状及对策研究 2008

田径是运动之母，是众多体育项目的基础。体育界流行这样一名话“得田径者得天下”。田径项目是奥运会的金牌大户，2008年雅典奥运会共设329个小项。田径就有46个小项。田径运动有这么多项目，每个国家都不能够面面俱到，不能全面而均衡的发展，而是都有自己的一些优势项目。女子铅球曾经是我国田径优势项目，从1987年-1996年这十年间我国有多名运动员在奥运会等世界大赛获得奖牌，为祖国夺得了荣誉，涌现出了一批成绩稳定在20米以上的优秀运动员。1997年全运会之后，随着一批优秀运动员退役，我国该项目成绩出现大幅度滑坡，1998年-2007年这十年间没有一名运动员最好成绩突破19.50米。前后十年，反差如此之大，是什么原因造成了这种状况。

采用文献资料法、访谈法、比较分析法、数理统计法、理论分析法、电视录像观察法等方法。对中国女子铅球过去辉煌的成绩与现在低迷的状态进行比较分析，得出结论：中国女子铅球项目近十年成绩滑落，主要原因是：训练中的科研投入和支持不够，缺少高水平的教练员，选材和育材工作存在问题，采用的技术单一，训练方法与手段缺少创新，对恢复训练不够重视等。针对这些问题提出相应的建议和对策：发挥举国体制的优势，建立一支女子铅球科研攻关队伍；加大对教练员的选拔和培养力度；做好选材和育材工作；结合运动员个人特点，推广和采用背向旋转推铅球技术；结合原来成功经验和其它项目的成功经验，在训练方法与手段上进行创新；重视恢复训练等。旨在为该项目的发展提供理论方面的参考和建议。

4.期刊论文 李山.李梅素.杨俊茹.LI Shan.LI Mei-su.YANG Jun-ru 优秀女子铅球运动员李梅素训练研究 -西安体育学院学报2006,23(6)

通过个案分析法对我国优秀女子铅球运动员李梅素多年系统训练进行深入研究.结果表明,李梅素的训练是典型的多年训练范例,积累了很多成功经验.其经验说明,多年训练应该遵循田径运动员成长规律,通过全程性的合理规划与阶段性系统安排与衔接,可最终达到保持优异运动成绩,延长运动寿命的效果.

5.期刊论文 崔士廷 铅球最佳投出角问题新探 -中国体育科技2001,37(2)

为了解决铅球适宜投出角度公式与实践偏离的问题，分析了铅球成绩与抛体最大射程的函数关系，得出了最大成绩定理、“新”最佳投出角度公式和最佳出手角度标志线参数式。抽样检验和空气动力学实验指出，新公式能够准确地描述出高、中、低各种水平铅球运动员的适宜出手角度。

6.学位论文 陈雷 “掌握学习”教学法在田径专选课铅球教学中的应用研究 2007

背向滑步技术教学是铅球教学的重要部分，作为一个较为复杂的技术动作，其竞技性强、教学内容枯燥。传统教学法存在很多弊端，影响学生的技术水平提高。布卢姆提出的“掌握学习理论”作为一种教学手段实施的是一种创造性教学活动，强调因材施教，分层教学，是全面提高教育教学质量，使教学面向全体学生的重要措施。本文旨在研究“掌握学习”教学法在铅球技术教学中应用的可行性和有效性。试图通过“掌握学习”教学方法与传统教学方法在背向滑步投铅球技术教学中的对比实验研究，寻求推铅球教学方法的最优化。为解决现行多数学校体育教学中单元课程模式下的铅球技术教学中存在的问题，以及如何在班级集体教学的组织形式下兼顾学生在体能与运动技能方面的差异提供参考。

本研究采用文献资料法、问卷调查法、专家访谈法、实验法、数理统计法，将“掌握学习”教学法和传统教学法进行了对比实验，通过教学实验获得数据并进行统计分析处理，得出以下结论：

1运用“掌握学习”教学法进行教学的学生与传统教学的学生相比，无论是对技术的掌握，还是对理论知识的理解，都有显著性差异。可见，“掌握学习”教学法在背向滑步投铅球技术教学中的应用是可行的和有效的。

2铅球技术教学中运用“掌握学习”教学法体现了教学的系统性和阶段性原则，有利于学生系统地掌握滑步推铅球的基本技术、基本理论、基本技能，有利于学生从易到难，循序渐进地学习。

3教学目标的制定，对教师选择适当的教学方法和教学内容，以及学生在课上的行为指向都起到了很好的先导作用。教学目标的层次性，也使学生积极性大大提高，激发了学生的潜在能力，提高了绝大部分学生特别是中、差生的学习水平。

4运用“掌握学习”教学法进行教学也有不足之处，如在对掌握技术动作慢的学生予以矫正学习时，不断的矫正耗时过多：如何保证掌握技术动作快的学生进一步发展、提高等问题，这些尚待进一步的研究和探讨。

7.期刊论文 金庆凯.赵胜国 我国女子铅球运动水平的现状及对策 -皖西学院学报2006,22(2)

采用文献资料、对比分析等方法,对我国女子铅球运动近年来的发展趋势进行纵向的比较分析,得知我国女子铅球运动竞技水平正处于一个下降过程.本文试图对其原因进行探析和讨论,并针对性地提出解决方案,为迅速提高我国女子铅球运动水平提供理论参考.

8.期刊论文 张庆来.葛运建.刘建国.赵焕彬.孟站领.屈静力 三维数字测力铅球的研制及应用 -天津体育学院学报2005,20(1)

介绍了三维数字测力铅球研制的设计思想、主要结构、功能及技术参数,并结合录像对实际测量结果进行分析与评价.采用的仪器是目前使用较为广泛的单片机微电脑处理系统和成熟的压力传感技术,通过和专项器械铅球相结合,实现了对实际运动中肢体游离端动态力的测量,能够快速、便捷、准确地反馈运动员在整个投掷过程中的用力特点,可以协助教练员对运动员进行技术诊断,制定科学的训练计划.

9.学位论文 祝杨 中国女子田径项目发展布局与对策研究 2007

田径运动是基础战略性奥运会项目，“得田径者得天下”，也成为了各体育竞技强国的共识。然而，我国田径整体水平不高，从新中国参加的近6届现代奥运会田径比赛金牌，奖牌和总分统计看，我国田径运动员共获得13枚奖牌，其中女子获得11枚，占奖牌总数的84.61％，我国女子田径运动员是主力军。因此将发展的重点放在女子田径项目上，是我们取得快速突破的途径之一。然而，中国女子田径曾经拥有一些优势项目正呈下降趋势，缺乏可持续发展后劲。因此，深入分析世界女子田径格局与我国女子田径运动竞技实力，提出女子田径项目发展项目布局与发展对策，对促进我国田径运动的快速发展有着重要的意义。

本论文采用文献资料法、数理统计法、归纳法、比较法以及逻辑分析法，以第23届至第28届奥运会女子田径运动比赛成绩，中国及世界2005年女子田径各项前8名成绩为研究对象。对当今世界女子田坛格局、中国女子田径实力现状以及与世界强国差距分析基础上，提出项目发展布局，并针对存在问题提出女子田径发展对策。研究结果表明：

1 当今世界女子田坛竞技实力格局仍不平衡，根据金(奖)牌的地域优势强弱依次排序为：欧洲、北美洲、非洲、亚洲、南美洲、大洋洲。 2 世界女子田径强国共同存在的薄弱小项有5000米、10000米、800米、马拉松、竞走、跳高。

3 中国田径运动的女子项目总体水平优于男子，我国女子田径在竞走，中长跑，女子铅球等项目上具有优势。

4 社会地位的提高、传统文化与精神品质、举国体制与我国奥运战略的促进作用、中国女子田径运动员身体条件的相对优势、起点低、提高快、女子运动队训练科学化是我国女子田径快速发展的影响因素。

5 中国女子曾经拥有一些优势项目正呈下降趋势，与世界强国差距正在加大。整体实力不强，向奖牌发起冲击的项目不多。另一方面，也说明有发展空间。

6 我国女子田径项目发展布局：重点发展竞走、10000米、马拉松、铅球、链球；进一步发展200米，100米栏、1500米、5000米、跳远、三级跳远、跳高、撑杆跳高、铁饼。

10.期刊论文 肖林鹏 女子铅球运动员滑步阶段速度节奏特征研究 -四川体育科学2003,""(1)

文章对我国优秀女子铅球运动员滑步阶段相关运动环节及铅球的速度节奏进行了研究.结果表明,滑步阶段的团身移殿-两腿摆蹬结束瞬间,移臀、两腿摆蹬动作配合的动作方向、距离及时间是决定各运动环节速度的主要因素.在右脚距离地面-右脚着地瞬间,右腿主动收拉右小腿是保持身体运动惯性,维持身体重心继续移动的重要环节.移臀与积极蹬右踝动作是滑步阶段整体速度行进的关键.

1.吴德州.张沛林 不同技术等级铅球运动员最佳投掷角度的理论分析[期刊论文]-新乡学院学报（自然科学报） 2009(3)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_cqdxxb200204033.aspx

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