赵国良老师:高考数学三视图难题,如何快速还原,如何求表面积
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高考数学三视图题目,考察的几率非常大,很少有不考这个题目的。
大部分三视图题是比较简单的,一眼就可以看出来原几何体是什么样的。
但是有些几何体是比较难想象的,那么有什么快速还原的技巧呢?
求体积或者棱长很好求,但是有的时候求表面积就比较麻烦点了。
几何体的俯视图就是几何体的底面,所以关键是能够确定几何体顶点的位置。
三视图中内部直线与边线的交点,再过这个交点做该面的垂线,顶点就在该垂线上。
表面积,侧面是直角三角形,面积很好求,有的可能是普通三角形,比较难求。
普通三角形的话,我们可以过顶点做底边的垂线,主要是需要先求出这个底边的高。
先过顶点做底面垂线,连接两个垂足,在这个直角三角形中秋底边的高。
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第一道高考真题:
2014一卷理
要想求出最长的棱的长度,首先要确定最长的棱是哪一条,或者首先能够还原出几何体直观图。
所以最关键的在于,找到这个几何体是以谁为底面,以谁为顶点。
因为三视图中,只有正视图内部有直线,所以想要找顶点,就需要利用这一个图找。
两个交点分别是左上角的顶点,和右边的直角边的中点。
过左上角的顶点向外做垂线,如果顶点在这条垂线上,很显然左视图上边的斜边应该是水平的,同样俯视图的右边直角边应该在左边。
所以,很显然顶点不再左上角这个交点的垂线上,那就是在正视图右直角边中点垂线上。
稍微想象一下就知道,此时左视图和俯视图都是符合条件的。
顶点到正视图右直角边中点的距离也可以直接读出来,所以几何体就知道是什么样子了。
【正常情况下,都是树立摆放,这个是横着放,相当于把底面用胶粘在墙上,顶点墙外伸出来】
剩下的计算就很简单了,反复利用勾股定理即可。
第二道高考真题:
2012北京文理科
这个题目难度是比较大的,还原的话还可以,但是表面积比较难求一些。
根据我们之前总结的规律,首先要确定几何体顶点在哪儿。
因为只有俯视图内部有直线,所以顶点,要么在俯视图右下角的垂线上,要么在上面直角边与直线交点向上做的垂线上。
再根据侧视图,很显然应该是上面直角边与直线的交点向上做的垂线上。
画出来的直观图,如右边图所示。
求表面积的话,需要求出每个面的面积,很显然其他三个面都是直角三角形,面积很好求。
只有三角形APC这个侧面不是直角三角形,所以想要求面积的话,我们可以作PE垂直于AC。
AC边很好求,主要是求出PE的长度。
按照我们总结的,可以先连接DE,在直角三角形PDE中利用勾股定理求出PE的长度。
这样的话,表面积都出来了。
第三道真题:
2015北京文
这个题,如果不利用我们总结的规律,想要想象出来原几何体是什么样的也是比较有难度的。
如果利用上我们总结的规律就非常简单了。
顶点,要么是在俯视图左上角往上的垂线上,或者右下角往上做的垂线上。
如果左上角往上的垂线上,那么正视图右直角边,应该是在左侧,同样侧视图的底直角边应该在上边。
所以,很显然这是一个底面为变长为1的正方形,顶点射影在右下角,且高为1的四棱锥。
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