函数的极值及其应用
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函数的极值及其应用
摘要
数学应用是数学教学的一个重要的任务, 函数极值的相关理论及极值的求解方法是数学分析的重要组成部分. 本文首先介绍了一元函数的极值理论及其在解题中的一些重要应用, 其次研究了二元函数的极值理论以及它在实际生活生产中的应用和多元函数极值中的无条件极值和条件极值.在二元函数的极值理论中, 重点介绍了条件极值以及用于解决条件极值问题的拉格朗日乘数法, 最后简单介绍了n 元函数的极值理论及相关应用.
关键词: 极值;条件极值;驻点
EXTREME VALUE OF FUNCTION AND ITS APPLICATIONS
ABSTRACT
Application of mathematics is an important task in Mathematics Teaching. The methods for solving the extreme value of function and extreme value theories are an important part in mathematical analysis. The extreme value theories of function of one variable and some important applications in solving problems are introduced in this paper firstly. The extreme value theories of function of two variables and its applications of actual life in production as well as the unconditional extreme and conditional extreme of multivariate function are studied secondly. The conditional extreme value as well as for the Lagrange multiplier method to solve the conditional extreme problem is introduced mainly in extreme value theories of function of two variables. The extreme value theories and related applications of function of
n variables is given simply finally.
Key words:extreme ;conditional extreme;stagnation point
目录
1 前言--------------------------------------------------------------------1 2 一元函数的极值理论及其应用----------------------------------------------2
2.1一元函数极值的定义与判定条件---------------------------------------2
2.1.1 一元函数极值的必要条件 2.1.2 一元函数极值的充分条件
2.2一元函数极值的求解步骤---------------------------------------------3 2.3一元函数极值的相关应用---------------------------------------------5 2.3.1 一元函数极值在数列中的应用
2.3.2利用极值求函数的最大值和最小值. 2.3.3利用极值证明不等式
2.3.4 一元函数极值在生活中的优化问题的应用
3 二元函数的极值理论及其应用----------------------------------------------8
3.1二元函数极值的定义与判定条件---------------------------------------8
3.1.1 二元函数极值存在的必要条件 3.1.2 二元函数极值存在的充分条件
3.2二元函数极值的求解方法---------------------------------------------9
3.2.1 无条件极值问题
3.2.2 条件极值问题与拉格朗日乘数法
3.3二元函数极值的相关应用--------------------------------------------12 3.3.1 利用二元函数的极值证明不等式 3.3.2利用二元函数极值求在指定域内的确界
4 n 元函数的极值理论及其应用---------------------------------------------15
4.1n 元函数极值的定义与判定条件---------------------------------------15
4.1.1 n 元函数极值存在的必要条件 4.1.2 n 元函数极值存在的的充分条件
4.2n 元函数极值的求解方法---------------------------------------------15 4.2.1 代入消元法 4.2.2 拉格朗日乘数法
4.2.3 标准量代换法 4.2.4 均值不等式法
4.3n 元函数极值的相关应用---------------------------------------------18 4.3.1最大值或最小值在实际问题中的应用 4.3.2函数在约束条件下的最值问题的应用 4.3.3极值理论在生产销售中的应用 4.3.4 多元函数的极值在数学中的其他应用
5 结论-------------------------------------------------------------------22 参考文献-----------------------------------------------------------------23 致谢---------------------------------------------------------- -----------24
1 前言
极端是数学的常态, 所以极值问题是数学中最有魅力的一部分, 也是数学中最有魅力的一部分,在初等数学中,我们主要用二次函数的性质、不等式、三角函数的有界性等探讨极值、最值问题.而在高等数学中,则利用导数来解决其一系列问题,运用导数知识解题简捷且通用性强,运用起来极其方便. 有人说:数学能告诉我们, 多样的背后存在统一, 极端才是和谐的源泉和基础.
对于极值理论的研究,费马在1629年就获得了求函数极值的法则,给出了求函数的极大值、极小值的方法,费马这些成果对后来微积分的建立产生了深远的影响.他的这项工作极大地鼓舞了高斯、泊松、柯西、雅克比等人,使他们在这方面进一步做了很多工作.
作为函数性质的一个重要分支和基本工具, 极值理论都有广泛的应用, 无论是在科学研究, 还是在实际工程, 运筹规划, 经济管理中, 经常要解决怎样使投入量最少, 产出最多, 效益最高等问题. 这些经济和生活问题通常可以转化为数学中的函数问题来探讨, 进而转化为求函数中极大值、极小值的问题. 由此可见, 研究函数的极值, 是学习数学与其它学科的理论基础, 是生活生产中的必备工具. 正是由于函数极值理论在实际生活中应用广泛, 然而涉及函数极值理论的文献相当多但过于分散, 给初学者带来了很大的不便, 已经证明了的理论给出的典型例题还不够, 需要加以完善, 因此对函数极值理论的研究显得尤为重要. 本文先后介绍了一元函数、二元函数、和n 元函数的极值理论以及它们在社会生产和生活实践中的应用, 帮助大家抓住函数极值理论的关键所在, 另外又配有相应的典型例题, 可以使读者少走弯路提高效率, 提高他们学习数学的兴趣, 进而开阔视野, 达到举一反三的效果.
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2 一元函数的极值理论及其应用
2.1 一元函数极值的定义与判别条件
定义2.1[1] 若函数f 在x 0的某邻域U
(x 0)对一切x ∈U (x 0)有f (x 0) ≥f (x )
(f (x 0) ≤f (x )), 则称函数f 在点x 0取得极大(小)值, 称点x 0为极大(小) 值点. 极大值、极小值统称为极值, 极大值点、极小值点统称为极值点.
2.1.1 一元函数极值的必要条件
定理2.1[2](费马定理) 设函数f 在点x 0的某邻域上有定义, 且在点x 0可导. 若点x 0
为f 的极值点, 则必有f '(x 0)=0.
费马定理的几何意义非常明确:若函数f (x )在极值点x =x 0可导, 那么在该点的切线平行于x 轴. 我们称满足方程f '(x )=0的点为稳定点. 对于函数f (x )=x 3, 点x =0是稳定点, 但却不是极值点. 这就是说可导函数在点x 0取极值的必要条件是f '(x 0)=0.
极值反映函数的局部性质,由极值的必要条件可知, 若画出函数的图像, 则极大值对应着函数图像的峰值, 而极小值则对应着函数图像的谷值, 并且在函数图像取得极值点处, 曲线上的切线是水平的, 而在某处曲线具有水平切线上, 函数并不一定取得极值.
注1 函数在一个区间中的极大值和极小值不做比较, 在一个区间中极小值有可能比极大值大.
注2 函数在一个区间中的极值点并不唯一, 可以有无数个.
注3 f '(x 0)=0的点并不一定是极值点, 可导的极值点一定是稳定点, 极值点一定是稳定点或不可导点.
例2.1 函数f (x )=x sin
12
,x ∈(0,1). 则x n = (n =1,2,3……) 都是f (x )x 2n +1π
的极值点, 当n 为偶数时x n 为极大值点, 当n 为奇数时x n 为极小值点.
2.1.2 一元函数极值的充分条件
定理2.2[3] (极值的第一充分条件)设f 在点x 0连续, 在某邻域U 0(x 0; δ)上可导.
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(ⅰ)若当x ∈(x 0-δ, x 0)时f '(x )≤0, 当x ∈(x 0, x 0+δ)时, f '(x )≥0, 则f 在点x 0取得极小值.
(ⅱ)若当x ∈(x 0-δ, x 0)时, f '(x )≥0, 当x ∈(x 0, x 0+δ)时f '(x )≤0, 则f 在点x 0取得极大值.
定理 2.3[4] (极值的第二充分条件)设f 在x 0的某邻域U (x 0; δ)上一阶可导, 在
x =x 0处二阶可导, 且
f '(x 0)=0, f ''(x 0)≠0.
(ⅰ)若f ''(x 0)0, 则f 在x 0取得极小值.
定理2.4[2,3,4] (极值的第三充分条件)设f 在x 0的某邻域内存在直到n -1阶导函数,
k
在x 0处n 阶可导, 且f ()(x 0)=0(k =1, 2,
, n -1), f (
n )
(x 0)≠0, 则
(ⅰ)当n 为偶数时, f 在x 0取得极值, 且当f (n )(x 0)0时取极小值;
(ⅱ)当n 为奇数时, f 在x 0处不取极值. 2.2 一元函数极值的求解步骤 第一充分条件求极值的步骤:
(1)求函数f (x )的定义域. (2)求出f '(x )的表达式.
(3)求出f (x )的全部驻点(即求出方程f '(x )=0在所讨论的区间内的全部实根)和
f '(x )不存在的点.
(4)考察f '(x )在每个驻点及不可导点的左右邻近的符号, 根据第一充分条件确定这些点是否是极值点, 如果是极值点进一步判断是极大值点还是极小值点.
(5)把极值点代入f (x )求出极值. 例2.2 求函数f (x )=4(x -1)的极值.
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3
解 (1)f (x )的定义域是(-∞, +∞).
3'2
(2) f '(x )=⎡4(x -1)⎤=12(x -1).
⎣⎦
(3)令f '(x )=0,得驻点x 0=1.
(4)判断所有驻点和导数不存在的点的两侧f '(x )的符号.而在此题中只需要判断在点x 0=1两侧邻域上的符号即可, 在点x 0=1的左侧邻域上有f '(x )>0, 在点x 0=1的右侧邻域上, 也有f '(x )>0.根据第一充分条件知f (x )在x 0=1处不取得极值.
(5)综上所述函数f (x )=4(x -1)在其定义域内没有极值. 第二充分条件求极值的步骤
(1)求函数f (x )的定义域. (2)求出f '(x )的表达式.
(3)求f '(x )=0,并得出所有驻点(即求出方程f '(x )=0在所讨论的区间内的全部实根).
(4)求二阶导数f ''(x ), 将所有驻点一一代入f ''(x )并判断其正负情况, 根据第二充分条件得出这些点是极大值点还是极小值点.
(5)把极值点代入f (x )求得极值. 例2.3 求f (x )=x 3-3x 4的极值点与极值. 解 f '(x )=3x 2-12x 3=3x 2(1-4x ). f ''(x )=6x -36x 2=6x (1-6x ).
由 f '(x )=0, 得驻点 x 1=0, x 2=而 f (0)=f '(0)=f ''(0)=0.
3⎛1⎫
故x 1=0不是极值点, f '' ⎪=-
4⎝4⎭
1
. 4
3
所以依第二充分条件知, x 2=
1
为f (x )的极大值点, 且极大值4
3⎛1⎫
. f ⎪=
⎝4⎭256
根据一元函数极值的第一第二充分条件, 我们可以可以运用以下的规律来选取更加
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合理的充分条件来求一元函数的极值, 从而提高效率.
① 判断是否存在一阶导数f '(x )不存在的点. 如果存在, 用第一充分条件的方法求极值; 否则, 用第二充分条件的方法求极值.
② 判断是否容易求解函数的二阶导数f ''(x ). 如果不易求出. 用第一充分条件的方法求极值; 否则, 用第二充分条件的方法求极值. 2.3 一元函数极值的相关应用
2.3.1 一元函数极值在数列中的应用
数列{u n }是以自然数n 为变量的特征函数, 对这一类问题转化为以x 为变量的连续函数来讨论. 求它们中的最大项或最小项都可以转化为求连续函数的最大值和最小值, 进一步转化为求它的极值问题.
例2.4
求数列
中的最大项.
分析 关键是把自然数n 转化为连续函数来讨论. 解 设f (x )=x , 则有ln f (x )=
1x
1
ln x (x ≥1), 两边同时对x 求导得 x
f '(x )ln x 1
=-2+2 f x x x
则
-2⎛ln x 1⎫x 'f (x )=x -2+2⎪=x (1-ln x )
x ⎭⎝x
1
x
1
令 f '(x )=0, 得x =e , 当x >e 时f '(x )0. 故x =e 时f (x )才有最大值,
因此数列>>1,
则
中与
e 最接近的两个自然数才有可能最大,
由以上三个结论可以知道:对于以解析式表达的函数, 在给定的区间上可以通过比较所有的稳定点, 不可导点和区间端点的函数值的大小来确定函数的最大值和最小值.
2.3.2利用极值求函数的最大值和最小值.
例2.5 f (x )=x 2-3x +2, 在闭区间[-10, 10]上的最大值
解 由于f (x )≥0, 故对于在区间[-10, 10]上能使f (x )=0的点取得最小值, 由
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x 2-3x +2=0得x =1, 2, 即当x =1, 2时函数取得最小值m =0, 其中
⎧2x -3, x 2⎪
f ' (x )=(2x -3)sgn x 2-3x +2=⎨0, x =1, 2
⎪-2x +3, 1
()
所以当1
3133
时, f ' (x )>0; 当
2422
于是, 最大值M =max {f (3/2), f (-10), f (10)}=132
2.3.3利用极值证明不等式
例2.6 证明 (1)若0≤x ≤1及p >1, 则 (2)
12p -1
≤x p +(1-x )≤1
p
x +a 2
n -1
n
≤≤x +a
(x >0, a >0, n >1)
1⎛1⎫p
证明 (1)设f (x )=x p +(1-x ), 经判断知f ⎪=p -1为0≤x ≤1上的唯一的极小
⎝2⎭2
值, 而边界值f (0)=f (1)=1, 所以
12p -1
≤x p +(1-x )≤1
p
(2)设f (x )=
(x
n
+a x +a
1n n
, 经判断知, f (a )=
12
n -1n
为满足x >0的唯一的极小值, 而边界
值lim f (x ) =1, 所以
x →+∞
12
n -1n
≤
(x
n
+a x +a
1n n
≤1, 由x +a >0, 于是
x +a
n -1n
≤x n +a n ≤x +a
2
2.3.4 一元函数极值在生活中的优化问题的应用
解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数, 把“问题情境”转化为数学语言, 抽象为数学问题, 选择合适的方法求解. 而求最值问题的应用题, 写出目标函数利用导数求最值是首选的方法.
例2.7 已知某场生产x 件产品的成本为C =25000+200x +(1) 要使平均成本最低,应生产多少件产品?
(2)若产品已每件500元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品?
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12
x (元). 40
25000+200x +
解 (1)设平均成本为y 元则y =
y '=-
x
12
x
=25000+x +200, 从而
x 40
250001
+, 令y ' =0, 得x 1=1000, x 2=-1000(舍去), 在x =1000附近左侧2
x 40
时, y ' 0, 故当x =1000时, y 有极小值, 由于函数只有一个点使y ' =0, 因此这个极小值点就是最小值点. 所以要使平均成本最低, 应生产1000件产品.
x 2x 2
(2) 利润 L =500x -(25000+200x +) =300x -25000-,
4040
由于L ' =300-
x
, 令L ' =0, 得x =6000. 当在x =6000左侧附近时, L ' >0; 而当在20
x =6000的右侧附近时, L '
应生产6000件产品.
2.3.5 一元函数极值理论在化学中的应用
例2.8 在化学中, 所谓催化剂是指一种能改变化学反应速度而自己不变化的物质. 这种现象叫做催化作用. 如果在一个化学反应过程中, 反应的产物又是这一反应的催化剂, 则此过程称为自动催化过程. 假设一个自动催化过程由一个量为A 的给定物质开始, 产品(即反应过程的结果)的量为x , 并假设反应速度R 依赖于产品的量x 与剩下的物质的量A -x , 即
R =αx (A -x )
其中α是一个已知的正的常数. 求当x 取怎样的量时反应速度最大.
解 由R =α(Ax -x 2) 得到当x =
A dR
=α(A -2x ) =0 时,
2dx
A d 2R
又2=-2α
2dx
为0. 所以当原物质中正好有一半被催化成产品时反应速度最大.
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3 二元函数的极值理论及其应用
3.1 二元函数极值的定义与判别条件
定义3.1[5] 设函数z =f (x , y ) 在点P 如果对在此邻域0(x 0, y 0) 的某个邻域内有定义,内除点P 0(x 0, y 0) 外的任意点P (x , y )
均有f (x , y ) f (x 0, y 0) ),则称点P 0(x 0, y 0) 为函数z =f (x , y ) 的极大值点(或极小值点). f (x 0, y 0) 称为极大值(或极小值), 极大值点和极小值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
注1使f x (x , y ) =0, f y (x , y ) =0同时成立的点(x , y ) 称为函数z =f (x , y ) 的驻点. 由二元函数极值的定义可以看出, 函数的极大, 极小问题是一个“局部性”的问题, 也就是说, 函数在点处取到极大值, 这个“极大”只管到这一点周围很小的范围内, 即只有在这个范围内, 函数值才是最大的.
比如说对于函数f (x , y ) =x 2+y 2+1, 对任意(x , y ) ≠(0,0)有f (x , y ) ≥1=f (0, 0), 所以函数z =f (x , y ) =x 2+y 2+1在(0,0)处取得极小值f (0, 0)=1.
又如
f (x , y ) =, 对任意(x , y ) ≠(0,0) 有f (x , y ) ≤1=f (0, 0),
所以函数
z =f (x , y ) =在(0,0)处取得极大值f (0,0)=1.
那么一般情况下如何求二元函数的极值呢?仿照一元函数的极值的讨论, 我们有如下结论:
3.1.1 二元函数极值存在的必要条件
定理3.1[6] 设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某个邻域内有定义, 且存在一阶偏导数, 如果P 0(x 0, y 0) 是极值点, 则必有 f x (x 0, y 0) =0, f y (x 0, y 0) =0.
注2 可导函数的极值点必定为驻点, 但是函数z =f (x , y ) 的驻点却不一定是极值点. 另外, 极值点也可能是偏导数不存在的点, 例如,
上半锥面z =在点(0,0)的偏导
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数不存在, 但(0,0)是函数的极小值点, 函数极小值为0.
3.1.2 二元函数极值存在的充分条件
定理3.2[7] 设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某个邻域内连续, 且有一阶及二阶连续偏导数,
且P 0(x 0, y 0) 是驻点. 令A =f xx (x 0, y 0) , B =f xy (x 0, y 0) , C =f yy (x 0, y 0) , 则
①当B 2-AC 0时, 点P 0(x 0, y 0) 是极小值点;
②当B 2-AC >0时, 点P 0(x 0, y 0) 不是极值点;
③当B 2-AC =0时, 点P 0(x 0, y 0) 有可能是极值点也可能不是极值点. 3.2 二元函数极值的求解方法
3.2.1 无条件极值问题 无条件极值的求法:
根据二元函数极值的必要条件和充分条件, 若函数z =f (x , y )的二阶偏导数连续, 则可按照下列步骤求二元函数的极值:
(1)求偏导数f x , f y
⎧⎪f x (x , y ) =0解方程组⎨求出所有驻点(x 1, y 1), (x 2, y 2)...... (x n , y n ).
f (x , y ) =0⎪⎩y
(2)对于每一个驻点(x i , y i )(i =1,2,... n ), 求出二阶偏导数的值A , B , C . (3)确定∆=B 2-AC 的符号, 判定是否是极值, 是极大值还是极小值.
(4)考察函数是否有导数不存在的点, 若是有的话, 则需要加以判别是否为极值点. 例3.1 求函数z =x 2-xy +y 2-2x +y 的极值.
⎧⎪z x =2x -y -2=0解 由方程组⎨解得驻点(1,0) ,又 z xx =2, z xy =-1 z yy =2, 故
z =-x +2y +1=0⎪⎩y
在点(1,0)处, A =2, B =-1, C =2从而B 2-AC =-30所以函数在点(1,0)处取得极小值z (1,0)=-1.
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例3.2 求函数f (x , y ) =e x -y (x 2-2y 2) 的极值. 解 (1)求驻点
x -y 22x -y
⎧⎪f x (x , y ) =e (x -2y ) +2x e =0由 ⎨x -y 22x -y
f (x , y ) =-e (x -2y ) -4y e =0⎪y ⎩
, 得两个驻点 (0, 0), (-4, -2),
(2)求f (x , y ) 的二阶偏导数
f xx (x , y ) =e x -y (x 2-2y 2+4x +2) ,
f xy (x , y ) =e x -y (2y 2-x 2-2x -4y ) , f yy (x , y ) =e x -y (x 2-2y 2+8y -4) ,
(3)讨论驻点是否为极值点
在(0,0)处, 有A =2 B =0, C =-4, B 2-A 2=8>0, 由极值的充分条件知(0,0)不是极值点, f (0,0)=0不是函数的极值;
在(-4, -2)处, 有A =-6e -2, B =8e -2, C =-12e -2, B 2-AC =-8e -4
3.2.2 条件极值问题与拉格朗日乘数法
求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时, 对自变量的取值往往要附加一定的约束条件, 这类附有约束条件的极值问题, 称为条件极值.
引例 若求函数z =x 2+y 2在条件x +y =1下极值, 这时自变量受到约束, 不能在整个函数定义域上求极值, 而只能在定义域的一部分x +y =1的直线上求极值, 前者只要求变量在定义域内变化, 而没有其他附加条件称为无条件极值, 后者自变量受到条件的约束, 称为条件极值.
如何求条件极值?有时可把条件极值化为无条件极值, 如上例从条件中解出
y =1-x , 代入z =x 2+y 2中, z =x 2+(1-x ) 2=2x 2-2x +1成为一元函数极值问题令
z 'x =4x -2=0, 得x =
1111
, 求出极值为z (, ) =. 2222
但是在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不这样简单, 我们另有一种直接寻求条件极值的方法, 可不必先把问题化为无条件极值的问题, 这就是下面介绍的拉格朗
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日乘数法. 利用一元函数取得极值的必要条件. 拉格朗日乘数法[8]:
求函数z =f (x , y ) 在条件ϕ(x , y ) =0下的可能的极值 (1)构成辅助函数
F (x , y ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) , (λ为常数) (2)求函数F 对x , 对y 的偏导数, 并使之为零, 解方程组
⎧f x (x , y ) +λϕx (x , y ) =0⎪
⎨f y (x , y ) +λϕy (x , y ) =0 ⎪
⎩ϕ(x , y ) =0
得x , y , λ, 其中x , y 就是函数在条件ϕ(x , y ) =0下的可能极值点的坐标;
(3)如何确定所求点是否为极值点?在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定.
例3.3 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告, 收入R 万元与电视广告费x 万元及报纸广告费y 万元之间的关系为:
R =15+14x +32y -8xy -2x 2-10y 2.
(1)在广告费用不限的情况下, 求最佳广告策略;
(2)若提供的广告费用为总额1.5万元, 求相应最佳广告策略.
解 (1) 利润函数为
L (x , y ) =R -(x +y ) =15+13x +31y -8xy -2x 2-10y 2,
求函数L 的各个偏导数, 并令它们为0, 得方程组:
∂L
⎧=13-8y -4x =0. ⎪∂x
⎨
∂L ⎪
⎩∂y =31-8x -20y =0.
解得x =0. 75, y =1. 25. 则(0. 75, 1. 25) 为L (x , y ) 惟一的驻点.
又由题意, L (x , y ) 连续且一定存在最大值, 故最大值必在这惟一的驻点处达到. 所以最大利润为L (0. 75, 1. 25) =39. 25万元.
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因此, 当电视广告费与报纸广告费分别为0. 75万元和1. 25万元时, 最大利润为39. 25万元, 此即为最佳广告策略.
(2) 求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略, 即为在约束条件x +y =1. 5下, 求L (x , y ) 的最大值. 作拉格朗日函数
F (x , y ) =L (x , y ) +λφ(x , y )
=15+13x +31y -8xy -2x 2-10y 2+λ(x +y -1. 5) .
求函数F (x , y ) 的各个偏导数, 并令它们为0, 得方程组:
⎧∂F
=13-8y -4x +λ=0. ⎪⎪∂x
⎨∂F
⎪=31-8x -20y +λ=0. ⎪⎩∂y
并和条件x +y =1. 5联立解得x =0, y =1. 5. 这是惟一的驻点, 又由题意, L (x , y ) 一定存在最大值, 故L (0, 1. 5) =39万元为最大值.
注3 本题也可由x +y =1. 5, 解得y =1. 5-x , 代入目标函数转换成一元函数求解. 3.3 二元函数极值的相关应用
3.3.1 利用二元函数的极值证明不等式
x n +y n ⎛x +y ⎫
例3.4 若n ≥1, 及x ≥0, y ≥0, ≥ ⎪
2⎝2⎭
x n +y n
证明 考虑函数z =在条件x +y =a
2
n
(a >0, x ≥0, y ≥0)下的极值问题,
设F (x , y )=
1n
x +y n +λ(x +y -a ) 2
()
⎧∂F n n -1
⎪∂x =2x +λ=0⎪
⎪∂F n n -1
=y +λ=0a ⎨解方程组 ∂y 2, 可得x =y = ⎪2⎪x +y =a ⎪⎩
⎛a a ⎫
将点 , ⎪与边界(0, a ), (a , 0)的函数值进行比较
⎝22⎭
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a n ⎛a ⎫⎛a a ⎫
z (0, a )=z (a ,0)=≥ ⎪=z , ⎪
2⎝2⎭⎝22⎭
⎛a ⎫
可知函数z 当x +y =a 时最小为 ⎪,
⎝2⎭x n +y n ⎛a ⎫
从而有≥ ⎪(当x +y =a , x ≥0, y ≥0时)
2⎝2⎭
n
n
(n >1),
n
x n +y n ⎛x +y ⎫
下面我们证明≥ ⎪, 当x ≥0, y ≥0时, 当x =0, y =0时, 此时显然成
22⎝⎭立, 当x ≥0, y ≥0,且x , y 不同时为0时, 令x +y =a , 则a >0, 于是由不等式
n
x n +y n ⎛a ⎫
≥ ⎪
2⎝2⎭即得
n
x n +y n ⎛a ⎫⎛x +y ⎫≥ ⎪= ⎪ 2⎝2⎭⎝2⎭
3.3.2利用二元函数极值求在指定域内的确界
例3.5 z =x 2+y 2-12x +16y , 若x 2+y 2≤25, 求z 的上确界和下确界.
n n
⎧∂z
=2x -12=0⎪⎪∂x 22
解 考虑函数z 在区域x +y
∂z
⎪=2y +16=0⎪⎩∂y 续函数z 的最大值和最小值必在边界x 2+y 2=25上达到, 考虑函数z 在边界x 2+y 2=25上的条件极值.
设F (x , y )=z -λx 2+y 2-25
()
⎧∂F
⎪∂x =2x -12-2λx =0⎪⎪∂F
=2y +16-2λy =0, 解方程组 ⎨∂y ⎪
⎪∂F 2
=x +y 2=25=0⎪⎩∂λ可得驻点(3,-4), (-3, 4), 由于z (3, -4)=-75, z (-3, 4)=125,
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故得sup z =125, inf z =-75
例3.6 用铁皮做一个容积为5立方米有盖的水箱, 问怎样设计可使用料最省? 解 设水箱长为x 米, 宽为y 米, 则高为
5
米, 于是所用铁皮面积为: xy
⎛55⎫⎛55⎫
S (x , y )=2 xy +x ⋅+y ⋅⎪= xy ++⎪,
xy xy ⎭⎝y x ⎭⎝其中, x >0, y >0.
⎧⎛
S x , y =2() y -⎪x
⎝⎪
解得:⎨
⎪S (x , y )=2⎛x -y ⎪⎝⎩
5⎫
=02⎪x ⎭5⎫=02⎪y ⎭
,
得x =y =根据题意有, 水箱所用铁皮面积一定存在最小值, 并且在区域
D ={(x , y )x >0, y >
0}求得唯一驻点
, 由此可断定, 当水箱的长、宽、
米时, 即水箱为正方形时, 用料最省.
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4 n 元函数的极值理论及其应用
4.1 n 元函数极值的定义与判别条件
定义4.1[9] 设n (n ≥3)元函数z =f (x 1, x 2
内有定义, 如果对该邻域内任一异于(x 10, x 20,
, x n ) 在点(x 10, x 20, , x n 0) 的某个邻域
, x n 0) 的点(x 1, x 2, x n ) , 都有
f (x 1, x 2
点(x 10, x 20,
, x n ) ≤f (x 10, x 20, , x n 0) (或f (x 1, x 2, x n ) ≥f (x 10, x 20, , x n 0) , 则称函数在
, x n 0) 有极大值(或极小值) f (x 10, x 20, , x n 0) . 极大值、极小值统称为极值, 使
函数取得极值的点称为极值点.
4.1.1 n 元函数极值存在的必要条件 定理4.1[9] 若n (n ≥3)元函数z =f (x 1, x 2, 且在该点取得极值, 则有f x i (x 10, x 20,
, x n ) 在点(x 10, x 20,
, n )
, x n 0) 存在偏导数,
, x n 0) =0 (i =1,2,
注 使偏导数都为0的点称为驻点, 但驻点不一定是极值点. 4.1.2 n 元函数极值存在的的充分条件
定理4.2[10] 如果函数y =f (x 1, x 2,..., x n ), (x 1, x 2,..., x n )∈E , 在驻点p 0(x 10, x 20,..., x n 0)的某邻域U (p 0)内, 具有黑塞矩阵A , 若A 为正定(或负定)矩阵时, f 在p 0取严格极小(或极大)值.
注 若A 为不定阵时, 求得的稳定点p 0相当于一个鞍点, 这时p 0不是f 的极值点. 4.2 n 元函数极值的求解方法
4.2.1 代入消元法
通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果, 将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题, 这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解, 有些条件极值很难化为无条件极值来解决.
例4.1 求函数f (x , y , z ) =xyz 在x -y +z =2条件下的极值.
解 由x -y +z =2 解得, z =2-x +y , 将上式代入函数f (x , y , z ) , 得
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g (x , y ) =xy (2-x +y ) ,
2
⎧g ' =2y -2xy +y =022⎪x
P (0,0),P =(,-)解方程组 ⎨, 得驻点, 122
33⎪y =2x +2xy -x =0⎩g '
'=-2y , g ''''g 'xx xy =2-2x +2y , g yy =2x ,
在点P 1处, A =0, B =2, C =0, ∆=AC -B 2=0-22=-4
4444244
在点P 2处, A =, B =2, C =, ∆=AC -B 2=⨯⨯(-) 2=>0, 又A =>0, 所
3333333
222
以P 2为极小值点, 因而, 函数f (x , y , z ) 在相应点(, -) 处有极小值, 极小值为
333
2228f (, -) =. 33327
4.2.2 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法, 在上文求二元函数条件极值中已有介绍, 用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值与二元函数的方法类似.
x 2y 2z 2
例4.2 求椭球2+2+2=1在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体
a b c
的最小体积.
解 此椭球在点P (x 0, y 0, z 0) 处的切平面为
2x 02y 02z 0(x -x ) +(y -y ) +(z -z 0) =0 00222a b c
化简, 得
x 0y 0z 0
x +y +z =1 a 2b 2c 2
a 2b 2c 2
此平面在三个坐标轴上的截距分别为:, , ,则此切平面与三坐标面所围成
x 0y 0z 0
a 2b 2c 2
的四面体的体积 V =, 由题意可知, 体积存在最小值, 要使V 最小, 则需x 0y 0z 0最
6x 0y 0z 0
x 2y 2z 2
=下的最大值, 其中大, 即求目标函数f (x , y , z ) =xyz 在条件2+221
a b c x >0, y >0, z >, 拉格朗日函数为0
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x 2y 2z 2
L (x , y , z , λ) =xyz -λ(2+2+2-1)
a b c
2x λ⎧∂L
=yz -=0; ⎪∂x a 2
⎪
⎪∂L =xz -2y λ=0; ⎪b 2⎪∂y
由 ⎨
解得x =y =z =
∂L 2z λ⎪=xy -=0; ⎪∂z c 2⎪222
⎪x +y +z =1⎪⎩a 2b 2c 2
V min =V 4.2.3 标准量代换法
=
求某些有多个变量的条件极值时, 我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量, 称其余各量为比较量, 然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来, 这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了. 如果给定条件是几个变量之和的形式, 一般设这几个量的算术平均数为标准量.
例4.3 设x +y +z =a , 求u =x 2+y 2+z 2的最小值.
x +y +z a
=为标准量, 33
a a a
令x =-α, y =-β, 则z =+α+β(α, β任意实数), 从而有
333
a a a
u =(-α) 2+(-β) 2+(+α+β) 2
333
解 取
a 2
=+2α2+2β2+2αβ
3a 2a 2222
=+(α+β) +α+β≥
33
a a 2
等号当且仅当α=β=0, 即x =y =z =时成立, 所以u 的最小值为.
33
4.2.4 均值不等式法
k =1,2
n , 且等号成立的充分条件是a 1=a 2=
a 1+a 2+
n
+a n
, 这里a k ≥0,
=a n .
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例4.4 已知值.
1111
++=, (x >0, y >0, z >0) , 求f (x , y , z ) =2x +2y +2z 的极小x y z 2
解 x >0, y >0, z >0, ∴f (x , y , z ) =2x +2y +2z
=4(x +y +z ) ⋅
1 2
111
=4(x +y +z ) ⋅(++)
x y z
=4(3+
x y y z x z +++++) y x z y z x
≥4(3+2+2+2) =36 当且仅当x =y =z =6时, 等号成立. 4.3 n 元函数极值的相关应用
4.3.1最大值或最小值在实际问题中的应用
例4.5 用铁皮制作有盖长方体水箱, 且其长、宽、高分别为x , y , z . 若体积 V =2时, 怎样用料最省?
解 用料 S =2(xy +yz +zx ) =2(xy +
22
+) , 其中x , y >0. x y
2⎧
S =2(y -) =0, x ⎪⎧x =3223x 2⎪
z ==2. 令 ⎨ 同时 ⇒⎨2xy ⎩y =2⎪S y =2(x -2) =0.
y ⎪⎩
据实际情况可知, 长、宽、高均为2时, 用料最省.
4.3.2函数在约束条件下的最值问题的应用
例4.6 函数u =x 2+y 2+z 2在在约束条件z =x 2+y 2和x +y +z =4下的最大和最小值.
解 设F (x , y , z ) =x 2+y 2+z 2+λ1(x 2+y 2-z ) +λ2(x +y +z -4)
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⎧F x (x , y , z ) =0⎪F (x , y , z ) =0⎪y ⎪
得方程组 ⎨F z (x , y , z ) =0
⎪22x +y -z =0⎪⎪⎩x +y +z -4=0即
⎧2x +2x λ1+λ2=0⎪
⎪2y +2y λ1+λ2=0⎪
⎨2z -λ1+λ2=0
⎪22x +y -z =0⎪⎪⎩x +y +z -4=0
2x +2x λ1+λ2=0⎫
⎬⇒x =y
2y +2y λ1+λ2=0⎭
⎧x =y ⎧x =y ⎪2z -λ+λ=0⎪2z -λ+λ=0⎪⎪1212
⇒ ⎨2⎨22
⎪x +y -z =0⎪2x -z =0⎪⎩x +y +z -4=0⎪⎩2x +z =4
⎧x =-2⎧x =1⎪⎪
解得 ⎨y =-2 或 ⎨y =1
⎪z =8⎪z =2⎩⎩
得 U max =(-2) 2+(-2) 2+82=72, U min =12+12+22=6.
4.3.3极值理论在生产销售中的应用
在生产和销售商品的过程中, 销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加, 但同时也使消费者的购买欲望下降, 造成销售量下降, 导致厂家消减产量. 但在规模生产中, 单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的, 因此销售量、成本与售价是相互影响的. 厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.
例4.7 设生产某产品需要原料A 和B, 它们的单价分别为10元、15元, 用x 单位原料A 和y 单位原料B 可生产-x 2+20xy -8y 2单位的该产品, 现要以最低成本生产112单位的该产品, 问需要多少原料A 和B ?
分析 由题意可知, 成本函数C (x , y ) =10x +15y . 该问题是求成本函数在条件
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-x 2+20xy -8y 2=112下的条件极值问题, 利用拉格朗日常数法计算.
解 令F (x , y ) =10x +15y +λ(-x 2+20xy -8y 2-112),
⎧∂f
⎪∂x =10-2x λ+20y λ=0⎪⎪∂f
解方程组 ⎨=15-16y λ+20x λ=0 ⇒y =2, y =-2(舍去) ⇒x =4,
⎪∂y
⎪-x 2+20xy -8y 2-112=0⎪⎩
这是实际应用问题, 所以当原料A 和B 的用量分别为4单位,2单位时, 成本最低. 4.3.4 多元函数的极值在数学中的其他应用
例4.8 求点M 0(x 0, y 0, z 0)至平面Ax +By +Cz +D =0的最短距离 解 按题设, 我们应求函数r 2=(x -x 0)+(y -y 0)+(z -z 0)在条件
2
2
2
Ax +By +Cz +D =0下的极值,
设F (x , y )=r 2+λ(Ax +By +Cz +D )
⎧∂F
⎪∂x =2(x -x 0)+λA =0⎪
⎪∂F =2(y -y )+λB =0⎪0⎨∂y ⎪∂F
=2(z -z 0)+λC =0 解方程组⎪∂z ⎪⎪⎩Ax +By +Cz +D =0111
得x =x 0-λA , y =y 0-λB , z =z 0-λC
222
Ax 0+By 0+Cz 0+D 2(Ax 0+By 0+Cz 0+D )从而可得λ=,进一步得到r =,
A 2+B 2+C 2A 2+B 2+C 2
当x , y , z 中有任一个趋于无穷时, r 趋于无穷, 因此在区域内r 必取最小, 于是
M 0(x 0, y 0, z 0)至平面Ax +By +Cz +D =0的最短距离为
r =
Ax 0+By 0+Cz 0+D A 2+B 2+C 2
.
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5 总结
函数的极值理论在数学学习中占有重要的地位,它的理论及应用已成为学习、生活中的不可或缺的一部分.函数极值、最值在实际生活中的用途很广泛,因此掌握好极值是学习数学的关键环节.
本文首先介绍了一元函数极值的定义与判定极值的必要条件和充分条件,以及解决一元函数极值问题的求解步骤,并配有相应的例题加以解释,其次,又给出了二元函数极值的定义与求解方法,在二元函数的极值理论中,还介绍了无条件极值问题和条件极值问题,以及用于解决条件极值问题的拉格朗日乘数法.最后简单介绍了n 元函数的极值理论以及求及相关应用. 本文对函数的极值理论及其应用进行了分析与整理, 通过运用数学方法解决实际应用问题,实现方法最优化,计划最优化,过程最优化,结果最优化等等,将所学知识更好的运用到生活.通过研究我了解到,函数极值的应用也是其他学科的理论基础,将对其他学科的有关学习和深入研究起着主要意义.进而也了解到, 函数极值定理以其他他学科的理论基础, 将对其他学科的有关学习和深入的研究起着重要的意义, 我们可以通过极值的求解, 深入到它的求解方法, 并且广泛推广, 使得我们对函数的极值把握能够更加得当, 使极值理论在生活中得到更充分的利用.
以上就是本文写作的所有内容,但是关于极值、最值的研究还有很多,因为篇幅有限,所以只研究到这里.作为数学的重要组成部分,值得更多的人去研究、去发现. 希望未来能有更多关于极值和最值的文章发表.
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参考文献
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[3]万淑香.关于一元函数极值问题的研究[J].邢台学院报,2006;21(4):97-98.
[4]许万银.一元函数极值的若干注解[J].文山师范高等专科学校学报2005;18(3):286-288. [5]熊德之,胡瑞平. 高等数学及其应用(下册)[M].科学出版社,2007:53-61. [6]周性伟译. 微积分及其应用(下册)[M].天津科学技术出版社,1998:306-310. [7]赵俊. 多元函数极值的判别方法探讨[J].现代商贸工业,2009;13(3):194-195. [8]隋如彬. 微积分(经管类)[M].科学出版社,2007:312-319.
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致谢
论文完成之际, 我要特别感谢我的指导老师杨玉敏老师的热情关怀和悉心指导. 在我撰写论文的过程中, 杨老师倾注了大量的耐心, 晚上给我们修改论文, 在大学四年中我所认识的老师里, 杨玉敏老师是最负责的老师, 无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面, 还是在论文的探讨方法以及成文定稿方面, 我都得到了杨老师悉心细致的教诲和无私的帮助, 特别是她广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益, 在此表示真诚地感谢.
在论文的写作过程中, 得到了许多同学的宝贵意见, 同时也得到了许多同学的支持和帮助, 在此一并致以诚挚的谢意. 感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友.
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