2015年天津市十二区县重点中学高三毕业班联考(二)文数

2015年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）

数 学（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题，共40分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。 参考公式：

锥体的体积公式V

1

Sh. 其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高. 3

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的） 1．i是虚数单位，复数

12i

（ ）

34i

A.

1212

i B. i C. 12i D. 12i 5555

xy30



2．设变量x,y满足约束条件xy30,则目标函数zx3y的最小值是( )

y1

A.3 B.4 C.5 D.6 3．已知命题p:x0，总有(x1)lnx1，则p为（ ）

A.x00,使得(x01)lnx01 B. x00,使得(x01)lnx01 C.x00,总有(x01)lnx01 D.x00,总有(x01)lnx01

313

4．已知a()3，blog3，clog3，则（ ）

4434

A.abc B.acb C.bac D.cab 5．将ysin(2x

1



4

)的图像上所有点向左平移



后得到yf(x)的图像，则yf(x)在[，42

0]上的最小值为（ ）

A. 1 B. 

2

2 C.0 D.  22

x2y2

6. 已知抛物线y4x与双曲线221(a0,b0)的一条渐近线交于点M（M异于原

ab

点），且点M到抛物线焦点的距离等于3，则双曲线的离心率是（ ） A．

56

B． C．2 D.3 22

7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间0,上单调递增，若a,b均为不等于1的正实数，则ab是f(

1

)f(log1b)0成立的（ ） loga22

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABAD，ABAD2，CD1，P为线段BC 上一个动点，设，则当取得最小值时的值是（ ） A.

14

B. C. 0 D.1 25

第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 设集合SxN

5

1，T2,4,6，则集合ST中元素个数为________. x

10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．

11. 执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是________.

12. 已知a,b均为正实数，圆x2y22axa2(1b)0与圆x2y22y1a2b0外

切，则ab的最小值为________.

13. 如图AB是圆O的直径，过B作圆O的切线交弦AD的延长线于点P，M为AD上一点，且PBPM6，PD4，连接BM并延长交圆O于点C，连接OC交AD于点N，则

CN=________.

14. 已知函数f(x)

3x15,(x0)lnx,

(x0)

，若函数yf(x)kx2恰有3个零点，则实数k的

取值范围为________.

三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在45,60，60,75两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自60,75年龄段为事件M，求事件M的概率.

16．（本小题满分13分）

在ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知asinC2csinB,b2,cosA（Ⅰ）求c的值；

1

. 4

（Ⅱ）求cos(2A



3

).

17.(本小题满分13分）

如图四边形PDCE是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB//DC，ADC90，且平面

PDCE^平面ABCD.

（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE； （Ⅱ）求证：直线PC平面ADE；

（Ⅲ）若正方形PDCE边长为2a，ABADa， 求直线BE与平面PDCE所成角的余弦.

18.（本小题满分13分）

己知数列{an}前n项的和为Sn，且满足Snn2(an2)(nN). （Ⅰ）证明数列an1为等比数列.

（Ⅱ）若bnanlog2(an1) ,求数列bn的前n项和Tn.

C

B

A



19．（本小题满分14分）

x2y2 已知椭圆C:221(ab

0)的离心率为，其左顶点到上顶点的距离为.

ab2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线l是过椭圆右焦点F且斜率为k的直线，已知直线l交椭圆于M,N两点，若椭圆上存在一点P,满足OMONOP,求当OP2k时,k的值.

20．（本小题满分14分） 已知函数f(x)x

3

32

ax(a0),xR 2

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知f'(x)是f(x)的导函数，若x1,x20,1，使得f(x1)f'(x2)3x22a，求实数

a的取值范围.

2015年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）

数学试卷（文科） 评分标准

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．2； 10．

三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.

解答：（1）经过该路段人员中赞成的人数为57x3 ----------------2分

20117； 11． ； 12． ； 13．； 14．k|3k0或ke

2322

解得x3 -----------------4分

（2） 设年龄在45,60的3位被调查者为A,B,C,年龄在[65,75]的3位被调查a,b,c，

---------------5分

则从6位调查者中抽出2人包括：(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(a,C)，

(b,C),(b,A),(b,B),(b,C)，(c,A),(c,B),(c,C)，(A,B),(A,C),(B,

C)共15个基本事件，

且每个基本事件等可能。 ----------------8分 其

中

事

件

M

包括

(a,A),(a,B),(a,C)

,

(b,A),(b,B),(b,C)

，

(c,A),(c,B),(c,C),(a,b),(a,c),(b,c)共12个基本事件， -------11分

16．

解（Ⅰ）在ABC中,由asinC2csinB

得ac2cb,a2b, ----------------------------2分 又b2,a4, ---------------------------3分

cosA

1 4

1

由a2b2c22bccosA得164c24c() ---------------------------4分

4

c2c120,又c0,c3 ---------------------------5分

（Ⅱ）在ABC中，由cosA

12

得sinAcosA -------------7分

44

sin2A2sinAcosA---------------------------9分 7

cos2Acos2Asin2A ---------------------------11分

8cos(2A)cos2Acossin2Asin ---------------------------12分

333

 17、

证明：（Ⅰ）连接PCDEO，连接MO，因为四边形PDCE是正方形，所以O是PC的中点，M为PA中点，则MO//AC， -------------------------1分 又MO平面MDE， ----------------------------2分



71---------------------------13分 (82

AC平面MDE， ----------------------------3分

所以AC∥平面MDE。 ----------------------------4分 （2）平面PDCE^平面ABCD，平面PDCE平面ABCD=CD.

ADC900

所以ADDC ----------------------------5分 所以AD平面PDCE ----------------------------6分 又PC平面PDCE，所以ADPC ----------------------------7分 又正方形PDCE中PCDE ---------------------------8分

DEADD

所以直线PC平面ADE ----------------------------9分 （3）取AD的中点N，连接BN，则BN//AD

则BN平面PDCE ----------------------------10分 连接NE，则NE是BE在平面PDCE内的射影，

所以BEN是直线BE与平面PDCE所成角 ----------------------------11分

RtBCN中BCBN2CN22a RtBCE中BEBC2CE26a

所以RtBEN中sinBEN

BN6

----------------------------12分 

BE6

----------------------------13分 6

直线BE与平面PDCE所成角的余弦 18： 解(Ⅰ)

Snn2(an2)

n2时Sn1(n1)2(an12), ----------------------------1分

两式相减得

an12an2an1 an2an11 an12a(n11) ----------------------------3分

又由a112(a12)得a13,a112 ----------------------------4分 所以an1是以2为首项,2为公比的等比数列. ----------------------------5分 (II)由(Ⅰ)an122n12n ,an21, ----------------------------6分 又bnanlog2(an1) bnn(21) ----------------------------7分

n

n



Tn(12222n2n)+(12n) ----------------------------8分

设Mn1222n2

2

n

则2Mn1222n2

23n1

两式相减得

Mn222n2

2nn1

2(12n)

n2n122n1n2n1 =

12

Mn(n1)2n12， ---------------------------11分

n(n1)

---------------------------12分 2

n(n1)

---------------------------13分 Tn(n1)2n122

又12n 19、

解（Ⅰ）依题意----------------------------2分 2a2解得2 ----------------------------3分

b1

x2

y21 ----------------------------4分 所以椭圆方程为2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F(1,0),所以直线l的方程为yk(x1) ----------------------------5分

设M(x1,y1),N(x2,y2),

2k2)x24k2x2k220-------7分

2k4k2

x1x2 , --------8分 yyk(xx2)121222

12k12k

4k212k

,) 所以OP(OMON)(x1x2,y1y2)=(

12k212k2

1

1

1

----------------------------9分

1116k414k2

由点P在椭圆上得21 ........(1)

2(12k2)22(12k2)2

----------------------------10分

16k414k22

由OP2k得2 ........(2) 4k22222

(12k)(12k)

1

----------------------------11分 由(1) (2)得 8k4k

4

2

4k2 1,

----------------------------13分

1 k

,k ----------------------------14分

82

4

20．

解答 (1)由已知，有f'(x)3x3ax3x(xa),(a0)． -------------1分 令f'(x)0，解得x0或xa. -------------2分 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

2

所以，f(x)的单调递增区间是，；单调递减区间是. -------------4分 当x＝0时，f(x)有极大值，且极大值f(0)＝0； -------------5分 当x＝a时，f(x)有极小值，且极小值f(a)

13

a. -------------6分 2

(2)法1：x1,x20,1，使得f(x1)f'(x2)3x22a，等价于f(x)在0,1上最小值M与

g(x)f'(x)3x2a3x2(3a3)x2a在0,1上最大值N满足MN。----------7分

由函数yf(x)的变化情况及yg(x)在(,（a）当0a1时，

a1a1

)上单减，在(,)上单增； 22

2

由于当0a1时a10，g(x)在0,1上为增函数，Ng(1)65a， 2

a3

由MN得5a60， 2

a3a3

5a6560） 即a10a120，因为a10(1a)20（或2233

所以MN对任意的0a1成立。 --------------------------9分

（也可以对(a)a310a12求导，判定(a)a310a120在0a1上恒成立） （b）当1a3时，0a11 f(x)在0,1上为减函数,g(x)在0,1上先减后增， 2

3a，Ng(0)2a或者Ng(1)65a， 2

3a3a2a或者165a， 由MN得，只需满足122

10所以1a ---------------------------11分 7

a11， (c)当a3时，2

3af(x),g(x)均在0,1上均为减函数Mf(1)1，Ng(0)2a， 2

3a2a，即a2 舍 ---------------------------13分 由MN得12

10由(a),(b),(c)得，0a- --------------------------14分 7Mf(1)1

方法二：

x1,x20,1，使得f(x1)f'(x2)3x22a，等价于f(x)在0,1上最小值M与g(x)f'(x)3x2a3x2(3a3)x2a在0,1上最大值N满足MN。----------7分 由函数yf(x)的变化情况及yg(x)在(,

（a）当0a1时， a1a1)上单减，在(,)上单增； 22

2

由于当0a1时a10，g(x)在0,1上为增函数，Ng(1)65a， 2

a3

由MN得5a60， 2

a3a3

5a6560） 即a10a120，因为a10(1a)20（或2233

所以MN对任意的0a1成立。 ---------------------------9分 （也可对(a)a310a12求导，判定(a)a310a120在0a1上恒成立） （b）当a1时， f(x)在0,1上为减函数，Mf(1)1

因为g(x)是开口向上的二次函数且对称轴x3a，---------------------------10分 2a10 ---------------------------11分 2

所以Ng(0)2a或者Ng(1)65a， ---------------------------12分 由MN得，只需满足1 所以1a3a3a2a或者165a， 2210 ---------------------------13分 7

10由(a),(b)得，0a ---------------------------14分 7