第四章__杆件的变形__简单超静定问题

第四章 杆件的变形 简单超静定问题

一 、基本要求

1．熟练掌握拉（压）杆变形计算

2．熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件 3．掌握积分法求梁的弯曲变形

4．熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算

5．理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法 6．了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算

二、 内容提要

1．拉（压）杆的轴向变形、胡克定律

拉（压）杆的轴向变形为∆l , ∆l =l 1-l , 式中l 、l 1分别为变形前、后杆的长度。 当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即

∆l =

F N ⋅l

（4.1） EA

图 4.1

式中，EA 称为杆件的抗拉（压）刚度。显然，轴力F N 为正时，△l 为正，即伸长变形；轴力F N 为负时，△l 为负，即缩短变形。

公式（4.1）的适用条件：

（1） 材料在线弹性范围，即σ≤σp ；

（2） 在长度l 内，F N ，E ，A 均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应

分段计算变形，然后求代数和得总变形。即

∆l =∑

i =1

n

F N i l i E i A i

（4.2）

当F N ，A 沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为 ∆l =

F N (x )dx

⎰0EA x （4.3）

l

2．拉压超静定问题

定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。

超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。

解题步骤：

（1） 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数； （2） 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程； （3） 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程； （4） 联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。 超静定结构的特点：

（1） 各杆的内力按其刚度分配；

（2） 温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。

3．圆轴的扭转变形与刚度条件 超静定问题 1， 变形计算 圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l 的两个横截面的相对扭转角为

ϕ=⎰

T

(rad) (4.4) 0GI P

l

若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为

ϕ=

Tl

(rad) (4.5) GI P

图4.2

式中GI P 称为圆轴的抗扭刚度。显然，ϕ的正负号与扭矩正负号相同。

公式（4.4）的适用条件：

（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即τ≤τP ；

（2） 在长度l 内，T 、G 、I P 均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段

计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即

ϕ=∑

i =1

n

T i l i

(rad) (4.6) G i I P i

当T 、I P 沿轴线连续变化时, 用式(4.4)计算ϕ。 2， 刚度条件

扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角ϕ' max 不得超过许可的单位长度扭转角

[ϕ' ], 即

ϕ' max =

T max

≤[ϕ' ] (rad/m) (4.7) GI P

T max 180︒

式 ϕ' max =⨯≤[ϕ' ] （︒/m ） （4.8）

GI P π

根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计算。 3，扭转超静定问题

定义 当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定，这类问题称为扭转超静定问题。

扭转超静定问题的解法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得全部未知力偶。

4．梁的变形 挠曲线近似微分方程及其积分

1，挠曲线 挠度与转角 在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线，称为挠曲线。在对称弯曲情况下，挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线，其方程为

ω=f (x )

梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，用ω表示。梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过

的角度，称为截面转角，用θ表示。小变形时，有 图4.3

θ≈tan θ=ω' =f ' (x )

在图4.3所示坐标系中，向上的挠度和反时针的转角为正，反之为负。 2，挠曲线的近似微分方程及其积分

在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系

1

ρ

=

M EI

对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得

1M (x )= ρx EI

利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即

ω' ' =

M (x ) （4.9）

EI

M (x )+C （4.10） EI

将上式积分一次得转角方程为

θ=ω' =⎰

再积分得挠曲线方程

ω=⎰⎰⎢

⎡M (x )⎤

dx ⎥dx +Cx +D （4.11）

⎣EI ⎦

式中，C,D 为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的

确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。 挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的，称为边界条件。挠曲线是一条连续光滑的曲线，在其上任意一点，有唯一确定的挠度与转角，称为连续性边界条件。 3，梁的刚度条件

限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即

ωmax ≤[ω] ，max ≤[θ] （4.12）

5．用叠加法求弯曲变形

叠加原理 在小变形和线弹性范围内，梁在几种载荷共同作用下任一横截面的挠度与转角，分别等于每一种载荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。 应用叠加原理的条件 小变形与材料在线弹性范围。

6．简单超静定梁

梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目，仅由平衡方程不能确定全部未知力，这类梁称为超静定梁。超静定梁的解法与前述拉（压）杆、扭转超静定相同。具体步骤如下：

1，首先判断超静定梁的次数。解除多余约束代之以多余约束力，得到原超静定梁的相当系统。注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。

2，根据相当系统的变形与原超静定梁的变形应该相同，建立变形协调方程。

3，将变形与力之间的物理关系代入上述变形协调方程，得补充方程。由补充方程解出多余约束力。

4，由平衡方程求梁上其余的约束反力。然后就可以进行梁的强度与刚度的计算。

7. 杆件的应变能

1，应变能 弹性体在外力作用下，因发生弹性变形而储存在弹性体内的能量，称为应变能或变形能。用V ε或V r 表示。

2，弹性体的功能原理 在弹性体变形过程中，储存在弹性体内的应变能

V ε（或V r ）在数值上等于外力所做的功W ，即

V ε=W （4.13）

3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能 在线弹性范围内，由功能原理得 V ε=W =

图4.4

1

F ∆l 2

F N l

，可得 EA

当杆件的横截面面积A 、轴力F N 为常量时，由胡克定律∆l =

F l

V ε=N （4.14）

2EA

杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用V ε表示。线弹性范围内，得 V ε=

2

1

σε （4.15） 2

4，圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内，由功能原理得

V r =W =将M e =T 与ϕ=

1

M e ϕ 2

Tl

代入上式得 GI P

T 2l

V r = （4.16） 图4.5

2GI P

根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度V r ： V r =

1

τr （4.17） 2

5，梁的弯曲应变能

在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得

V ε=W =将M e =M 与θ=

1

M e θ 2

Ml

代入上式得 EI

M 2l

V ε= （4.18）

2EI

图4.6

横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能V ε，即

M 2(x )dx V ε=⎰ （4.19）

2EI l

三、典型例题分析

例4-1 设横梁ABCD 为刚体。横截面积为76.36mm 2的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F

图。由B 1向钢索作垂线得B '点，设B B '=∆l 1。同理由D 1向钢索作垂线得D '点，设

D D '=∆l 2。则钢索的伸长为∆l =∆l 1+∆l 2。由胡克定律

F N l 11. 56⨯103⨯1. 6∆l ===1. 368⨯10-3m =1. 368mm 由图C ，得C 点的垂直9-6

EA 177⨯10⨯76. 36⨯10

位移δC 为

δC =CC 1=

∆l 2⎫∆l 1+∆l 211⎛∆l 1∆l

BB 1+DD 1= +==0. 79mm ⎪=22⎝sin 60︒sin 60︒⎭2sin 60︒2sin 60︒

)

解法二 用能量法求解C 点的垂直位移

解：1. 求钢索内的应力

与解法一相同，得F N =11. 56kN

σ=

F N

=151MPa A

2. 求C 点的垂直位移δC

由弹性体的功能原理V ε=W ，即

F N l 1

=F δC

2EA 2

2

∑F x =0, F N1cos 30︒-F N2=0 （1）作结构的变形位移图如图c 所示。图中∆l t 为温度引起的变形，∆l 1为F N1引起的变形，

∆l 2为F N2引起的变形。小变形条件下，以切线代替圆弧。变形后B 点位移至B 1点，即两

杆在B 1点铰接。由图c 得变形协调方程

∆l 2cos 30︒=∆l t -∆l 1 （2）

物理方程为

∆l t =αl ⋅∆T ⋅l cos 30︒, ∆l 1=

式中∆T 为温度改变量。

将式（3）代入式（2），得补充方程

F N 1l cos 30︒F l

, ∆l 2=N 2 （3）

EA EA

F N 2l F N 1l

cos 30︒=αl ⋅∆T ⋅l 30︒- （4） EA EA cos 30︒

联立求解式（1）与式（4），得

F N 1=

αl ∆T ⋅EA

cos 330︒+1

, F N 2=F N 1cos 30︒

杆1 σ1=

F N 1αl ∆TE

==30. 3MPa （拉应力）

A cos 330︒+1P P 2

=2848N . m, M e 1=3=4272N . m, n n

M e 2=2）作轴的扭矩图，如图b 所示。

3）按强度条件设计直径

πd 3T max

τmax =≤[τ]，W P =16W P ∴d ≥16T

πτ

AB 段 d 1≥16⨯7120-3

=80. 3⨯10m =80. 3mm 6

π⨯70⨯10

16⨯4272

=67. 7⨯10-3m =67. 7mm 6

π⨯70⨯10

BC 段 d 2≥4）按刚度条件设计直径

'ϕmax

T max 180︒πd 4

=⨯≤[ϕ']，I P =

32GI p π

32T ⨯180︒

2

'G πϕd ≥

AB 段 d 1≥32⨯7120⨯180︒-3

=84. 9⨯10m =84. 9mm 92

80⨯10⨯π⨯1︒

32⨯4272⨯180︒

=74. 7⨯10-3m =74. 7mm 92

80⨯10⨯π⨯1︒

BC 段 d 2≥经比较，取d 1=85mm ，d 2=75mm

2．若AB 和BC 两段选用同一直径，则d =85mm 。 3．若将主动轮放在两从动轮之间，则max

=4272N . m ，有利于提高轴的强度和刚

qa 4qa 311qa 4

'w '-⋅a =- A =-

8EI 3EI 24EI

由图（d ）、（e ）两种情况，应用叠加法，得

3）在两种载荷共同作用下，应用叠加法得

qa 3qa 3qa 3'+θB ''=θB =θB -=-

4EI 3EI 12EI qa 411qa 45qa 4''w A =w '-=- A +w A =

4EI 24EI 24EI

C D 由表4.1，得

F N ⨯23

w D = （2）

3EI

由胡克定律，得

∆l =

F N l

（3） EA

为求图b 中BE 梁C 点的挠度，将F 等效平移至C 点，如图c 所示，这样做并不改变BC 段的边界条件与受力，故有

w C =

(F -F N )⨯23

3EI

F ⨯2⨯22+ （4）

2EI

将式（2）、（3）与（4）代入式（1），得补充方程

8(F -F N )4F 8F N F N l

+-= （5）

3EI EI 3EI EA

由式（5）解得

F N =0. 91F

F N ⨯230. 91⨯50⨯103⨯8-3

w D ===5. 05⨯10m =5. 05mm 6

3EI 3⨯24⨯10

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