数列极限的求法探讨
关于数列极限的求法探讨
摘 要:数列极限是高等数学中最重要的概念之一, 本文主要探讨了数学分析中数列极限求解的几种思路和方法,结合具体的例题分析了一般极限的求解过程,给出了一般极限求解的方法和技巧,揭示了极限求解的解题思路. 关键词: 数列极限 单调有界 归结原则
极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。纵观数学的发展,我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程。它把初等数学扩展为一个新的阶段——变量数学,整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学科学。利用极限定义了函数的连续性、导数、积分等。同时我们还知道求极限的方法并不是唯一的。本文主要结合相关概念、定理、性质和例题,对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结.
本文主要结合相关概念、定理、性质和例题,对数学分析中数列极限求解的相关的方法予以归纳总结.
1. 利用定义求数列极限
定义1[]:(点列{x n }以x 0为极限的定义) 对于任意给定的ε>0,存在正整数
1
N >0,当n >N 时,x n -x 0
n →∞
用数学符号简记为:∀ε>0, ∃N >0, 当n >N ⇒x n -x 0
n
=0(a >1). n →∞a n
证明:设a =1+μ,由于a >1, 所以μ>0. 有二项式定理得
a =(1+μ)=1+n μ+
n
n
n (n -1)2
μ+
2
>
n (n -1)2
μ2
因此
2n n 2
n >+1. ,解此不等式得-0=
εμa a n -1μ
∀ε>0, 取N =⎢
n n 2⎤
n >N , 当时,有-0=
a a n -1μ⎢⎥⎣ε(a -1)⎦
⎡
2
这说明lim
n
=0(a >1). n →∞a n
1
定义2[]:(点列{x n }不以x 0为极限的定义) 存在定数ε0>0, 对于任意k >0, 存在
x n k ,有
x n k -x 0≥ε0. .
用数学符号简记为:∃ε0>0, ∀k >0,∃n k >k , x n k -x 0≥ε0. 例2 用ε-N 语言证明lim (-1)≠1.
n →∞
n
证明:取ε0=1, ∀n >0, 令k =2n +1>n , 则有x 2n +1-=2>1=ε0.
注:用极限的定义时,只需要证明存在N ,故求解的关键在于不等式的建立. 在
求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧,但不能把含有n 的因子移到不等式的另一边再放大,而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大,有时还需加入一些限制条件,限制条件必须和所求的N 一致,最后结合在一起考虑.
2. 利用极限的运算性质求数列极限
定理[]:若lim x n 和lim y n 存在,
6
n →∞n →∞
则(a )lim (x n ±y n )=lim x n ±lim y n ;
n →∞
n →∞
n →∞
x (b )l i m (x n y n )=l i m n
n →∞
n →∞
n →∞
l i ; m y n
⎛x n (c )l i m n →∞y ⎝n
n →∞
i m x n ⎫l n →∞
(lim y n ≠0). ⎪=n →∞l i m y ⎭n →∞n
n →∞
例3 若lim x n =1,lim y n =2,则求lim (x n +y n ).
n →∞
解:根据数列极限的运算性质有 l i m (x n +y
n →∞
n
l i x m n +y )=n →∞
= n +1=2
3
3. 利用两边夹定理求数列极限
(两边夹定理)[] 若{x n }, {y n }, {z n }满足
6
(1)y n ≤x n ≤z n
(2) lim y n =lim z n =A (n =1, 2,
n →∞
n →∞
)
则lim x n =A .
n →∞
利用两边夹定理结合不等式推导求数列极限,是一种常用的方法,这里我们将通过以下例题来加深对这一方法的体会,以期更熟练更灵活的运用它。 例4 证明lim
x →∞
1324
(2n -1)=0(在我的电脑上此题不显示数字之间的运算符号)
2n 证明:由于两相异的算术平均值大于几何平均值,故分母中因子
1+33+5
>
4=> ·
22
········ 2= 2n =
(2n -1)+(2n +1)
>
2
→0(n →∞) 由此可知:0
1324
(
2n -1)
2n 1324
故由两边夹定理,得lim
x →∞
(2n -1)=0 2n 注:两边夹定理多适用于所考虑的数列比较容易适度放大或缩小,而且放大和缩
小的数列是容易求得相同的极限。基本思想是把要求解得极限转化为求放大或缩小的数列的极限。一般是将所有项换为最大项得到一个式子,然后所有项再换为最小项又得到一个式子,证明这两个式子的极限相同,最后得出原式的极限。
4. 利用上下极限求数列极限
5
(上下极限定义)[] 设{x n }为有界点列,令a n =sup {x k },b n =inf {x k },则有
k ≥n
k ≥n
a 1≥a 2≥大小不一致)
≥a n ≥a n +1≥
,b 1≤b 2≤≤b n ≤b n +1≤
. (a n , b n 的字号
且{a n }, {b n }有界,于是lim a n =A , lim b n =B 存在且A ≥B . 我们称A ,B 分别为
n →∞
n →∞
{x n }的上下极限. 记为lim =A =lim a n , lim x n =B =lim b n .
n →∞
n →∞
x →∞
n →∞
我们知道,一个有界数列,未必存在极限,但它一定有上下极限。我们还知道,有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等。据此,我们利用上下极限,必要时结合ε-N 语言,就可以处理一些数列的极限问题。
例5. 设x n >0(n =1,2,
). 试证:若lim n →∞
x n +1
=l , l
为有限数,则=l .
n x n
证明:对∀ε∈(0, l ),由lim
x n +1
=l , 知∃N >0,使当k ≥N 时,
n →∞x n
有l -ε
x k +1
).
对任何n >N , 将k =N , N +1, 得
l -ε)
(
n -N )
, n -1时的各式相乘,并开n 次方,
(n -N )
当n →∞对上式右(左)边的不等式分别取上(下)极限, 得
l -ε≤≤l +ε
n 又因为ε
的任意性,知==l
x
故lim =l .
n →∞
5. 应用单调有界原理求数列极限
(公理) []在实数系中,有界的单调数列必有极限。
2
单调有界原理是证明单调数列收敛的基本方法之一。它与极限的四则运算法则相结合,有时还可以求出某些单调有界数列的极限。 例6. 设a 0=0定义a n +1=1+s i n -n (a -
式, 子1) , , n (0此, 12因为
a n +1=1+sin(a n -1), n =1, 2. , )试求lim a n .
n →∞
证明:令b n =a n -1, n =0,1,2,则b n =sinb n , n =0,1,2 利用归纳法可证b n
注意到当x
(应为b n +1=sin b n )
,所以b n +1=sin b n >b n .
n →∞
这说明{b n }为单调增加且有界的数列,故极限lim b n 存在。 记lim b n =l , 再由正玄函数的连续性,有b n =sinb n , n =0,1,2
b →∞
取极限得l =sinl .(应为l =sin l ) 由此可知必有l =0.
即lim b n =0, . 从而lim a n =l . (应为lim a n =1)
n →∞
n →∞
n →∞
注:利用单调准则证明极限存在,主要针对递推数列,必须验证数列两个方面的
性质:单调性和有界性。解题的难点在于判断单调性,一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项。
6. 利用递推关系求数列极限
在某些领域的极限问题中,如能求出数列中各项间的递推关系,往往可以比较地证明极限存在,并计算出极限。
例7. 设已给两数a 及b ,x 0=a , x 1=b ,x n 由递推公式x n = 来决定,求lim x n .
n →∞
x n -2+x n -1
(n ≥2) 2
解:若从题中所给的等式的两端各减去x n -1,则得
1
(x n -1-x n -2)(n =2,3, 4, ). 2
1
令y n =x n -x n -1,得y n =-y n -1,且y 1=x 1-x 0=b -a 。
2
11
y n =x n -x n -1=-(x n -1-x n -2)=-y n -1
( 序列 , )(删掉) 22
x n -x n -1=-
对y n 的前n 项求和,得
(x 1-x 0)+(x 2-x 1)+
1⎫
-(b -a )-⎛ ⎪(b -a )2⎝⎭ +(x n -x n -1)=x n -a =
⎛1⎫1- -⎪⎝2⎭
n
n
a +2b a +2b 2⎛1⎫
即x n = -(b -a ) -⎪,令n →∞,便有lim x n =
n →∞333⎝2⎭
7. 利用柯西收敛准则证明数列极限
1
(柯西收敛准则)[] 点列{x n }存在极限的充要条件是对于任意给定的ε>0,
存在N >0, 当m , n >N 时,满足x m -x n 0, ∃N =N (ε), 当m , n >N ⇒x m -x n
即:∀ε>0, ∃正整数N ,使得当n , m >N 时,有a n -a m
例8. 证明:数列x n =∑
sin k
(n =1,2,3, ⋅⋅⋅) 为收敛数列. k
k =12
n
11-n -m
sin(m +1) sin n 111)
2
⎡1⎤
∀ε>0取N =⎢⎥,当n >m >N 时,有x n -x m
⎣ε⎦
由柯西收敛准则,数列{x n }收敛.
8. 利用有界变差数列收敛定理求证数列极限
(有界变差数列收敛定理)[] 单调有界数列必定收敛
3
例9. 若数列{x n }满足条件 x n -x n -1+x n -1-x n -2+⋅⋅⋅x 2-x 1≤M (n =1,2, ⋅⋅⋅) 则称{x n }为有界变差数列,试证:有界变差数列一定收敛 证:令y 1=0, y n =x n -x n -1+x n -1-x n -2+⋅⋅⋅x 2-x 1, 有{y n }单调递增.
由已知知{y n }有界,故{y n }收敛。从而∀ε>0, ∃N , 使得当n >m >N 时,有y n -y m
即x n -x m ≤x n -x n -1+x n -1-x n -2+⋅⋅⋅x m +1-x m
注:按极限定义证明一个数列收敛时,必须先知道它的极限是什么。有界变 差
数列收敛定理的重要性在于,它使我们可以从数列本身出发去研究其敛散性,进而在判断出数列收敛时,利用极限运算去求出相应的去求极限。
9. 利用(海涅)归结原则求数列极限
7
归结原则[]:lim f (x )=A ⇔对任何x n →x 0(n →∞),有lim f (x n )=A
x →x 0
n →∞
⎛11⎫
例10. 计算lim 1+-2⎪
n →∞
⎝n n ⎭
n
⎛11⎫⎛1⎫
解:一方面, 1+-2⎪
⎝n n ⎭⎝n ⎭⎛11⎫⎛n -1⎫
另一方面, 1+-2⎪= 1+2⎪
n ⎭⎝n n ⎭⎝
n
n 2n
-n -1n -1
n n
⎛n -1⎫≥ 1+2⎪
n ⎭⎝
n 2
-2n -1
n 2
, n =2,3, ⋅⋅⋅) 由归结原则(取x n =
n -1
⎛n -1⎫
lim 1+2⎪
n →∞n ⎭⎝
n 2
-2n -1
⎛n -1⎫= 1+2⎪
n ⎭⎝
n 2
-2n -1
n 2n -1
⎛1⎫
=lim 1+⎪=e x →∞
⎝x ⎭
n 2n -1
x
⎛n -1⎫
上一行应为lim 1+2⎪
n →∞n ⎭⎝⎛n -1⎫
=lim 1+2⎪n →∞n ⎭⎝
n
⎛n -1⎫
lim 1+2⎪n →∞n ⎭⎝
-2
=e ⨯1=e
⎛11⎫
由迫敛性得lim 1+-2⎪=e
n →∞
⎝n n ⎭
注:数列是一种特殊的函数,而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质,
有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限,从而使问题得到简化和解决。
10.利用施笃兹(stolz )定理求数列极限
Stol z 定理与L ’Hosital 法则是数学分析处理''
∞0
'' 型'' '' 型极限的两个重要工∞0
具。它们分别适用于变量和连续变量的情形。这里通过以下例子说明Stolz 定理的应用。
⎫
stolz 定理1:⎛ ⎪(应为∞)型:若{y n }是严格递增的正无穷大数列,它与数
⎝∞⎭
[5]
∞*
列{x n }一起满足lim
n →∞
x n +1-x n x
=l ,则有lim n =l . 其中l 为有限数,或+∞,或-∞.
n →∞y n +1-y n y n
0⎫
stolz 定理2:⎛若{y n }是严格递减的趋向于零的数列,n →∞时 x n →0且 ⎪型:
⎝0⎭
lim
n →∞
x n +1-x n x
=l ,则有lim n =l . 其中l 为有限数,或+∞,或-∞.
n →∞y y n +1-y n n
1p +2p +⋅⋅⋅+n p
例11. 求极限lim (p ∈N )
n →∞n p +1
解:令x n =1+2+⋅⋅⋅+n , y n =n
p
p p p p +1
1p +2p +⋅⋅⋅+n p
, n ∈N . 则由定理1得lim
n →∞n p +1
p
(n +1)(n +1)lim =lim =p +1p +1n →∞n →∞p +1⋅p (n +1)-n n p -1+⋅⋅⋅+1(p +1)n p -
2
分母应为(p +1) n p +
p (p +1) p -1
n + +1 2
1 p +1
注:Stolz 定理是一种简便的求极限方法,特别对分子、分母为求和型,利用Stolz
定理有很大的优越性. 它可以说是求数列极限的洛必达(LHospita )法则。
11. 巧用无穷小数列求数列极限
引理[]:数列{x n }收敛于a 的充要条件是:数列{x n -a }为无穷小数列.
8
注:上述引理说明,若lim x n =a ,则x n 可作“变量”替换:令x n =a +αn ,其中
n →∞
{αn }是一无穷小数列.
定理1 :若数列{αn }为无穷小数列,则数列{n }也为无穷小数列,反之亦成立. 定理2 :若数列{αn }为无穷小数列,则数列{(α1+α2+⋅⋅⋅+αn )n }也为无穷小数列.
推论1 :设数列{αn }为无穷小数列,则数列数列.
例12. 设lim x n =a ,求极限lim
n →∞n →∞
{(α
1
+α2+⋅⋅⋅+αn
)n }也为无穷小
x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n
.
n →∞n
解:由lim x n =a ,作“变量”代换,令x n =a +αn ,其中{αn }是一无穷小数列. 由定理2的结论有lim
(a +α1)+(a +α2)+⋅⋅⋅+(a +αn ) x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n
=lim
n →∞n →∞n n
na +(α1+α2+⋅⋅⋅+αn )α1+α2+⋅⋅⋅+αn )(=a +lim =a +0=a . =lim
n →∞n →∞n n
注:利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少,但
却是一种很实用有效的方法.用这种方法求某类数列的极限是极为方便的。
12. 利用压缩映射原理求数列极限
定义1:设f (x )在[a , b ]上有定义,方程f (x )=x 在[a , b ]上的解称为f (x )在[a , b ]上的不动点。
定义2:若存在一个常数k ,且0≤k
f (x )-f (y )≤k x -y ,则称f (x )是[a , b ]上的一个压缩映射。
压缩映射原理:设称f (x )是[a , b ]上的一个压缩映射且x 0∈[a , b ], x n+1=f (x n ), (应为x n +1=f (x n ) ,所有数学符号应用公式编辑器编辑。)对∀n ∈N ,有
x n ∈[a , b ],则f (x )在[a , b ]上存在唯一的不动点c ,且lim x n =c ,n =1,2, ⋅⋅⋅
n →∞
1
例13.
证明数列x n =n 个根式, a >, n =1,2,⋅⋅⋅)极限存在,并求
4
lim x n .
n →∞
证及解:
易知x n 考察函数f (
x )=x ∈[0, +∞)且在[0, +∞)上, 有f ' (
x )=
≤
x 1=[0, +∞),x n +1=f (x n ),
由压缩映射原理,数列{x n }收敛且极限为方程x =f (
x )=.
解得lim x n =
n →∞
. 注:压缩映射原理在实数分析中有着十分广泛的应用,如用它可十分简单的证明
稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理,特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用,往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决.
13. 利用微分中值定理求极限
拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理,它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛. 下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用。
a a ⎫⎛
例14. 求lim n 2 arctan -arctan ⎪,(a ≠0) n →∞n n +1⎭⎝
⎡a a ⎤
, ⎥应用拉格朗日中值定理,得 解:设f (x )=arctan x ,在⎢
⎣n +1n ⎦
⎛a ⎫
f ⎪-
⎝n ⎭1⎛a a ⎫⎛a ⎫⎡a a ⎤
f =-, ξ∈, ⎥, ⎪⎪2 ⎢n +11+ξn n +1n +1n ⎦⎝⎭⎝⎭⎣
a n
⋅=a . 2
1+ξn +1
故当n →∞时,ξ→0,可知 原式=lim n 2⋅
n →∞
a n 2
上式应为lim =a
n →1+ξ2n (n +1)
14. 利用一些熟知的公式求极限
(A )lim a n =a ,则(lim a 1+a 2+
n →∞
n →∞
+a n =a ) 应为 lim
a 1+ +a n
=a (a 为
n →∞n
有限数,+∞, -∞,但∞不行)
a
(B )若l i n =a ,且a n >0.
则=a (这是哪来的结论?如
n n →∞a n +1
a n =e n , lim
a n 1
=, 但lim a n =e )
n →∞a n →∞e n +1
a n +1
=a ,且a n >0.
则=a
n n →∞a n
n →∞
(c)若lim
(D )若lim (a n -a n -1)=d , 则lim
a n
=d n →∞n
根据上述公式,我们可以求一些复杂的极限 例15.
求(此题过程已改动) n b b n n 1
解:令b n =,a n =n +1,则a n =n +1=(1+) n 。
n ! b n b n n
lim a n =e ,得
n →∞
lim n →∞
n n !
=lim b n =lim b 1
n →∞
n →∞
b b 2
n =lim a 1a 2 a n =e b 1b n -1n →∞
1+2++ +n 例16. 求lim 。 n →∞n
解:令a n =n lim a n =lim n =1则由(A )知 n →∞n →∞
a +a + +a n 1+2+3+ +n lim =lim 12=1(此题已改) n →∞n →∞n n
注:由上可看出,利用一些已知结论求极限,可达到事半功倍的功效。
极限的思想是近代数学的一种重要思想,其思想方法贯穿于微积分学的始终,可以说微积分学的几乎所有概念都离不开极限。本文在有关极限概念定理及性质的基础之上,通过详实的例题对于有关极限求解问题予以归纳总结。对数列极限求法的讨论我们可以发现,在计算极限时,其方法是多种多样的,技巧性很强,本文共总结了求数列极限的十四种方法,当然求极限的方法并不只这些,在此就不一一探究了。
仔细检查文字,标点符号,式子计算,还有添加参考文献。按格式写。