关于构造辅助函数的几种方法

高等理科教育２００３年第３期（总第４９期）

关于构造辅助函数的几种方法

——谈微分中值定理的证明＋

张家秀

（安徽理工大学数理系安徽淮南２３２００１）

摘

用。要本文总结了证明微分中值命题时常用的五种构造辅助函数的方法，并给出了具体应

关键词辅助函数拉格朗日定理原函数罗尔定理

中图分类号Ｇ６４０文献标识码Ａ

构造辅助函数是一种重要的数学方法。掌握这种方法可以开阔学生思路，提高解决问题的能力。在高等数学中，微分中值命题的证明就是通过构造适当的辅助函数，由这个辅助函数满足罗尔定理而得到要证的结论。本文主要介绍证明微分中值命题时常用的几种构造辅助函数的方法。

一、原函数法

此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数。

例１（拉格朗日定理）设函数厂（ｚ）在［口，６］上连续，在（日，６）内可导，则存在拿Ｅ（口，６），使等式厂（６）一ｆ（ａ）＝尸（ｆ）（６一ａ）成立。

丝掣ｚ翌／（ｚ）一巡掣ｚ—ｏＦ（ｚ）一厂（ｚ）一￡堕掣ｘ在Ｆａ，６］上满足罗尔定理，可把Ｆ（ｚ）作为辅助函数证明本题。令

二、常数ｋ值法

此法就是将含有区问端点值及端点函数值的式子记为愚，其辅助函数的构造步骤为：

１．将结论变形，令一边为常数五。

２．观察分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式。若是，则把其中一个端点设为ｚ，相应的函数值改为厂（ｚ）。

３．端点换变量ｚ的表达式即为辅助函数Ｆ（ｚ）。

例２设厂（ｚ）在■，６］上连续，在（以，６）内可导，（ｏ＜ａ＜６），试证存在一点￡Ｅ（口，６），使等分析：结论变形为尸（拿）＝笠譬掣ｊ生厂，（ｚ）＝丛鼍掣』墼厂（ｚ）＋ｃ＝式厂（６）一ｆ（ａ）一。ｅ（１ｎ旦尸（拿）

分析将结论变形为气瓮＿三ｊ釜竽一∥７（手）

一１２６—＊收稿日期２００２—０４—１９作者简介张家秀（１９６９一）男，安徽长风县人，讲师，主要从事应用数学与离散数学研究万方数据　

高等理科教育关于构造辅助函数的几种方法令走一瑶黜则有ｍ）一№６＝几）一如口＋

令ｂ—ｚ，可得辅助函数Ｆ（ｚ）＝厂（ｚ）～ｋｌｎｘ，证略。

例３设ｚｌ＞０，ｚ２＞０，试证存在拿介于Ｘ１、ｚ２之间，使ｚ１Ｐ。ｚ—ｚ２矿，＝（１一手）∥（ｚ１一ｚ２）

坐一生

证：令等号芋刮＝｝｛

Ｚ２Ｚｌ

则笔一石ｋ＝尝一ｉｋ设Ｆ（ｚ）一ｉｅ．ｖ—ｉｋ则Ｆ（ｚ。）＝Ｆ（ｚｚ）由罗尔定理，存在｝介于Ｘｌ、Ｘ２之Ｆ，（拿）：壁二乓三生一ｏ。即（１一手）∥：ｋ：Ｘ—ｌｅＺ２－－—ｘ２ｅＸｌ。ｆ‘Ｘｌ—Ｘ２

注：拉格郎日定理、柯西中值定理及泰勒定理也可用常数ｋ值法找辅助函数加以证明。

三、积分法

对一些不易凑出原函数的ｌ司题，司用积分法找相应的辅助函数。

例４设厂（ｚ）在［１，２］上连续，在（１，２）内可导，厂（１）＝丢，厂（ｚ）＝２，证明存在手∈（１，２）使厂，（｝）一錾旦。

分析结论变形为￡尸（拿）一２厂（搴）一０，不易凑成Ｆ’（ｚ）Ｉ，：ｅ一０，我们将ｅ换为ｚ，结论变形为等等一ｊ２一。，积分得：ｌｎ厂（ｚ）一２ｌｎｚ—ｌｎ等＝ｌｎｃ，即等一ｃ，从而可设辅助函数为Ｆ（ｚ）：丛孚，有Ｆ（１）一Ｆ（２）一百１。本题获证。证明存在车∈（ｏ’１），使器＝糟艄自然数。读者可试证命题：设，（ｚ）在［ｏ，１－１上连续，在（ｏ，１）内可导，，（ｏ）一０，当ｚ＞０时，厂（ｚ）＞０。

四、几何直观法

此法是通过几何图形考察两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立恰当的辅助函数。

例５（拉格朗日定理），题目同上述例１。

分析１，该命题条件不满足罗尔定理条件中的

厂（以）＝厂（６），但从右图可见翰（ｚ）一厂（ｚ）一ｙ，（ｚ），满

ｙ。（ｚ）：厂（ａ）＋丛鼍掣（ｚ一日），从而可作辅助足罗尔定理条件。其中ｙ，（ｚ）为直线ＡＢ的方程且

函数仇（ｚ）一／’（ｚ）一ｙ。（ｚ）证明本题。

丛鼍掣（ｚ一口）作辅助函数觋（ｚ）一厂（ｚ）一证明：如图直线ＡＢ方程为：Ｙ。（ｚ）＝厂（口）＋

连续，在（口，６）可导，且∥，（ｚ）一尸（ｚ）一丛乏｛≠，由罗尔定理知至少存在一点拿∈（盘，６）使［／（以）＋丛乏＿三掣（一：－ａ）－Ｉ，容易验证仍（ｚ）适合罗尔定理条件：仇（日）一红（６），仍（ｚ）在＿，６］∥（手）＝ｏ，即尸（拿）一￡ｇ掣亦即厂（６）一厂（口）一尸（亭）（６一口）。一１２７—

万　方数据

高等理科教育２００３年第３期（总第４９期）

注：本题童可以作过原点且平行于ＡＢ的直线ｃＤ，ｃＤ直线方程：ｙ：（ｚ）一丛之＿三笔等ｚ，同理仍（ｚ）一厂（ｚ）一Ｙ。（ｚ）也可作为辅助函数证明本题。

五、行列式法

例６设厂（ｚ）在Ｅａ，］上连续，在（以，６）内可导，试证存在￡∈（以，６）使２∈［厂（６）一厂（以）］一分析结论移项为：一２｝Ｅ‘ｆｃ６，一厂ｃｎ，］＋ｃ６２一以２，尸ｃ拿，一。即。一２亭ｆ：；｛：；Ｉ＋胀雌１ｆ＝｜ｉ黧ｆ

总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，参考文献：

［１］同济大学数学教研室．高等数学（上册）．北京：高等教育出版杜，１９９１．

Ｅ２］陈文灯等．高等数学复习指导．北京理工大学出版社，１９９７．

［３］龚冬保．高等数学典型题解法、技巧、注释．西安：西安交大出版社，１９９６Ｅ４］王健．再谈泰勒中值定理的证明．教材通讯，１９８６．４．

万方数据　

关于构造辅助函数的几种方法--谈微分中值定理的证明

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引用次数：张家秀安徽理工大学,数理系,安徽,淮南,232001高等理科教育HIGHER EDUCATION OF SCIENCES2003，(3)4次

参考文献(4条)

1. 同济大学数学教研室 高等数学 1991

2. 陈文灯 高等数学复习指导 1997

3. 龚冬保 高等数学典型题解法、技巧、注释 1996

4. 王健 再谈泰勒中值定理的证明 1986

相似文献(9条)

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引证文献(4条)

1. 宋振云. 陈少元. 涂琼霞 微分中值定理证明中辅助函数的构造[期刊论文]-高师理科学刊 2009(2)

2. 王璐 由柯西中值定理证明讨论函数的若干应用[期刊论文]-工会博览·理论研究 2008(11)

3. 贾计荣 行列式在微分中值定理的证明中的应用[期刊论文]-太原大学教育学院学报 2007(z1)

4. 王金红. 王达 谈辅助函数构造中的启发式教学[期刊论文]-宿州教育学院学报 2005(03)

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