数学运动存在性问题
专题三：运动存在性
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题 动点问题一般分为两种情况：
一是运动后研究其位置或图形形状的变化； 二是运动后研究其函数模型的建立。
例1、如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8cm ，AD=24cm ，BC=26cm ，练习：
1、 如图2-1-14, 已知y=x2-ax+a+2与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于点D(0,8),直线CD 平行于x 轴, 交抛
物线于另一点C. 动点P 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发, 没C →D 运动. 同时, 点Q 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发, 沿A →B 运动, 连结PQ 、CB, 设点P 的运动时间为t 秒.(0
(2)当t 为何值时,PQ 平行于y 轴?
(3)当四边形PQBC 的面积等于14时, 求t 的值. AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D ，以1cm /秒的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 向点B 以3厘米/秒的速度运动，P 、Q 分别从点A 点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，求：
1）t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形、等腰梯形？ 2）t 分别为何值时，直线PQ 与⊙O 相切、相交、相离？
例2. 如图, 在矩形ABCD 中，AB=12厘米，BC=6厘米。点P 沿AB 边从点A 开始向B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：
当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？
图2-1-14
2、如图2-1-15, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC 为矩形, 点A 、B 的坐标分别为(4,0)、(4,3),动点M 、N 分别从点O 、B 同时出发, 以每秒1个单位的速度运动, 其中点M 沿OA 向终点A 运动, 点N 沿BC 向终点C 运动, 过点N 作NP ⊥BC, 交AC 于点P, 连结MP, 当两动点运动了t 秒时
.
图2-1-15
(1)P点的坐标为(_____________,_______________)(用含t 的代数式表示). (2)记△MPA 的面积为S, 求S 与t 的函数关系式(0
(3)当t=__________秒时,S 有最大值, 最大值是_______________.
(4)若点Q 在y 轴上, 当S 有最大值且△QAN 为等腰三角形时, 求直线AQ 的解析式.
3、如图2-1-16, 在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC, ∠A=45°,AB=10 cm,CD=4 cm.等腰直角三角形PMN 的斜边MN=10 cm,A 点与N 点重合,MN 和AB 在一条直线上, 设等腰梯形ABCD 不动, 等腰直角三角形PMN 沿AB 所在直线以1 cm/s的速度向右移动, 直到点N 与点B 重合为止.
(1)等腰直角三角形PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状由_____________变化为_____________;
(2)设当等腰直角三角形PMN 移动x(s)时, 等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为y(cm2), 求y 与x 之间的函数表达式;
(3)当x=4(s),求等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积.
4、如图2-1-17, 在同一平面内,Rt △ABC ≌Rt △FED, 其中∠BCA=∠EDF=90°, ∠B=∠E=30°,AC=FD=, 开始时,AC 与FD 重合. △DEF 不动, 让△ABC 沿BE 方向以每秒1个单位的速度向右平移, 直到点B 与点E 重合为止. 设移动x 秒后, 两个三角形重叠部分的面积为y. (1)求出y 与x 的函数关系式;
(2)问运动多长时间后, 重叠部分面积最大? 并求出最大面积.
图2-1-17
5、如图2-1-18①, 有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起(点A 与点E 重合), 已知AC=8 cm,BC=6 cm,∠C=90°,EG=4 cm,∠EGF=90°,O 是△EFG 斜边上的中点. 如图2-1-18②, 若整个△EFG 从图①的位置出发, 以1 cm/s的速度沿射线AB 方向平移, 在△EFG 平移的同时, 点P 从△EFG 的顶点G 出发, 以1 cm/s的速度在直角边GF 上向点F 运动, 当点P 到达点F 时, 点P 停止运动, △EFG 也随之停止平移. 设运动时间为x(s),FG的延长线交AC 于H, 四边形OAHP 的面积为y(cm2)(不考虑点P 与G 、F 重合的情况).
(1)当x 为何值时,OP ∥AC?
(2)求y 与x 之间的函数关系式, 并确定自变量x 的取值范围;
(3)是否存在某一时刻, 使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24? 若存在, 求出x 的值; 若不存在, 说明理由.
(参考数据:1142=12 996,1152=13 225,1162=13 456或4.42=19.36,4.52=20.25,4.62
=21.16)