抽象函数的周期性
《抽象函数的周期性》学案
一、知识点
1、函数的周期性定义
如果对于函数f (x ) 定义域内的任意一个x ，存在非零常数T ，使得f (x ) =f (x +T ) ，那么函数f (x ) 叫做周期函数．非零常数T 称为函数f (x ) 的周期，若无特殊说明，周期通常指最小正周期.
2、对任意x 均有f (a +x ) =f (b -x ) f (x ) 的图像关于x =a +b 对称； 2
特别地，对任意x 均有f (a +x ) =f (a -x ) f (x ) 的图像关于x =a 对称；
2、函数周期性的部分结论（自己先证明）
设a , b ∈R , a ≠b ,
（1）若函数f (x ) 满足f (x +a ) =-f (x ) , 则f (x ) 是以2|a |为一个周期的周期函数.
（2）若函数f (x ) 满足f (x +a ) =（3）若函数f (x ) 满足f (x +a ) =k (k f (x ) 0) , 则f (x ) 是以2|a |为一个周期的周期函数. 1-f (x ) , 则f (x ) 是以2|a |为一个周期的周期函数. 1+f (x )
（4）若函数f (x ) 和f (x +a ) 均为奇函数，则f (x ) 是以2|a |为一个周期的周期函数.
（5）若函数f (x ) 为偶函数且f (x +a ) 为奇函数，则f (x ) 是以4|a |为一个周期的周期函数.
（6）若函数f (x ) 为奇函数且f (x ) 的图像关于x =a 对称，则f (x ) 是以4|a |为一个周期的周期
函数.
………………..
(思考：请仔细观察并比较（4）、（5）、（6），你能发现什么规律吗？)
二、例题分析
例1、（1）. （2011陕西）设函数f (x ) （x ∈R ）满足f (-x ) =f (x ) ，f (x +1) =-f (x ) ，则函数y =f (x ) 的图像可以是 （ ）
11≤x ≤2f (x )
时，f (x ) ＝x －2，则f (6.5)等于 ( )
A ．4.5 B ．－4.5
C ．0.5 D ．－0.5 （2）(2011·鞍山月考) 已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2) ＝－
练习：（2006安徽理）函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x +2)=1, 则，若f (1)=-5f x f (f (5))=__________。
例2. （1）若函数f (x ) 为奇函数且f (x ) 的图像关于x =1对称，且当x Î[0,2]时，2
f (x ) =x 2+x ，求当x Î[2,4]时，f (x ) 得解析式；
（2） 若函数f (x ) 为奇函数，f (x +1) 为奇函数，当x ∈(0,1]，f (x ) =1-x ，
199(1)求f (（2）求f (x ) 在[2k -1,2k +1](k ∈Z ) 上的表达式． ) ；2