四边形基础练习题

第 - 1 - 页 共 11 页四边形基础练习题 四边形基础练习题一.选择题(每题 3 分,共 30 分) 选择题( 1. 如图,在□ABCD 中,已知 AD=8 ㎝, AB=6 ㎝, DE 平分∠ADC 交 BC 边于点 E,则 BE 等于( )A,2cm B,4cm C,6cmDD,8cmCADEBE (第 1 题图)CAF B2.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点,连结 DE 并延长,交 AB 的延长线于 F 点,AB = BF .添加一个条件,使四边形 ABCD 是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )A, AD = BC ) B,菱形的对角线相等 D,等腰梯形的对角线相等 B, CD = BF C, ∠A = ∠C D, ∠F = ∠CDE3. 下列命题中正确的是( A,矩形的对角线相互垂直 C,平行四边形是轴对称图形5. 如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O , ∠AOB = 60° AB = 2 ,则 矩形的对角 , 线 AC 的长是( A O B 第5题 6. 如图,要使 C B ) D, ∠1 = ∠ 2 )A,2 D B,4 C, 2 3 A 1 O C D, 4 3 D2(第 6 题) ABCD 成为矩形,需添加的 条件是(B, AC ⊥ BDA, AB = BCC, ∠ABC = 90°7. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A=110°,E,F 分别是边 AB 和 BC 的中点,EP⊥CD 于点 P, 则∠FPC=( )A,35° B,45° C,50° A O B F 第 9 题图 E C D,55° DH第 - 2 - 页 共 11 页8 如图,在梯形 ABCD 中,AB//DC,∠D=90o,AD=DC=4,AB=1,F 为 AD 的中点,则点 F 到 BC 的距离是( 1 9. 在矩形 ABCD 中, AB = 1,AD = ) A,2 B,4 C,8 D,3,AF 平分 ∠DAB ,过 C 点作 CE ⊥ BD 于 E ,延长 AF,EC 交于点 H ,下列结论中: ①AF = FH ; ②BO = BF ; ③CA = CH ; ④ BE = 3ED ,正确的是( )A,②③ B,③④ C,①②④DD,②③④C10. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,动点 P 从点 B 出发,沿 路线 B→C→D 作匀速运动,那么△ABP 的面积 S 与点 P 运动的路P程 x 之间的函数图象大致是(y y) .y 2 yAB331 O 1 3 x1 O 1 3 x O 3 x O 1 3 x二.填空题(每题 3 分,共 30 分) 填空题( 2.将矩形 ABCD 沿 BE 折叠,若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____. 3. 如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为 16cm, 若墙上钉 子间的距离 AB = BC = 16cm, ∠1 = 则 A B C 度.B C A E D A′1(第 3 题) 4. 若正六边形的边长为 2,则此正六边形的边心距为 5. 如图,l‖m,矩形 ABCD 的顶点 B 在直线 m 上,则∠α= .(第 5 题)度. 平方单位.6. 矩形内一点 P 到各边的距离分别为 1,3,5,7,则该矩形的最大面积为7. 如果用 4 个相同的长为 3 宽为 1 的长方形,拼成一个大的长方形,那么这个大的长方形 的周长可以是______________. , 8. 如图,在菱形 ABCD 中, ∠A = 60° E , F 分别是 AB , AD 的中点,若 EF = 2 ,第 - 3 - 页 共 11 页则菱形 ABCD 的边长是U_____________U. A E B F D B (第 9 题) C (第 8 题)2 9. 如图,已知 EF 是梯形 ABCD 的中位线, △DEF 的面积为 4cm ,则梯形 ABCD 的面A ED F C (第 10 题图)积为cm2.10. 如图,将两张长为 8,宽为 2 的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两 张纸条垂直时,菱形的周长有最小值 8,那么菱形周长的最大值是 三.解答题 1.(本题 5 分)在梯形 ABCD 中,AB‖CD,∠A=90°, AB=2,BC=3, CD =1,E 是 AD 中点. 求证:CE⊥BE.E D C.AB2.如图:已知在 △ ABC 中, AB = AC , D 为 BC 边的中点,过点 D 作 DE ⊥ AB,DF ⊥ AC ,垂足分别为 E,F . (1)求证: △BED ≌△CFD ; (2)若 ∠A = 90° ,求证:四边形 DFAE 是正方形. B EAF CD (第 2 题)3.如图, 在梯形 ABCD 中,AD ‖ BC ,AB ⊥ AC ,∠B = 45 ,ADAD = 2 , BC = 4 2 ,求 DC 的长.B C第 - 4 - 页 共 11 页4.如图 11 所示,在 Rt△ ABC 中,∠ABC = 90°. Rt△ ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60° 将 得到 △DEC, E 在 AC 上, 点 再将 Rt△ ABC 沿着 AB 所在直线翻转 180° 得到 △ ABF. 连接 AD. (1)求证:四边形 AFCD 是菱形; (2)连接 BE 并延长交 AD 于 G, 连接 CG, 请问:四边形 E A G DABCG 是什么特殊平行四边形?为什么?F B 图 11 5.(本题 5 分) 如图,ABCD 为平行四边形,AD=a,BE‖AC,DE 交 AC 的延长线于 F 点, 交 BE 于 E 点. (1)求证:DF=FE; (2)若 AC=2CF,∠ADC=60 o, AC⊥DC, 求 BE 的长; (3)在(2)的条件下,求四边形 ABED 的面积. C6.如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , AD ‖ BC ,AB = DC = AD , ∠C = 60° AE ⊥ BD 于点 E,F 是 ,CD 的中点,DG 是梯形 ABCD 的高. (1)求证:四边形 AEFD 是平行四边形; (2)设 AE = x ,四边形 DEGF 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数关系式.7.已知:在梯形 ABCD 中,AD‖BC,AB = DC,E,F 分别是 AB 和 BC 边上的点. (1)如图①,以 EF 为对称轴翻折梯形 ABCD,使点 B 与点 D 重 合, DF⊥BC.若 AD =4,BC=8, 且 求梯形 ABCD 的面积 S 梯形ABCD 的值; (2)如图②,连接 EF 并延长与 DC 的延长线交于点 G,如 果 FG=kEF(k 为正数) ,试猜想 BE 与 CG 有何数量关系?写出 你的结论并证明之.第 - 5 - 页 共 11 页答案 一.1.A 2.D 二.1.8 三. 1. 证明: 过点 C 作 CF⊥AB,垂足为 F. ∵ 在梯形 ABCD 中,AB‖CD,∠A=90°, ∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°. ∴四边形 AFCD 是矩形. AD=CF, BF=AB-AF=1. 在 Rt△BCF 中, CF2=BC2-BF2=8, ∴ CF= 2 2 . ∴ AD=CF= 2 2 . ∵ E 是 AD 中点,A F B E D C3.A4.D5.B 5. 256.C 7.D 6.648.A 9.B10.D 8.4 9.17 10.162.60° 3.120 4. 37.14 或 16 或 261 ∴ DE=AE= 2 AD= 2 .在 Rt△ABE 和 Rt△DEC 中, EB2=AE2+AB2=6, EC2= DE2+CD2=3, EB2+ EC2=9=BC2. ∴ ∠CEB=90° ∴ EB⊥EC, 2. (1)∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ AC ,∴∠BED = ∠CFD = 90° , ∵ AB = AC , ∴∠B = ∠C ,∵ D 是 BC 的中点,第 - 6 - 页 共 11 页∴ BD = CD , ∴△BED ≌△CFD .(2)∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ AC ,∴∠AED = ∠AFD = 90° ,[来源:学|科|网 Z|X|X|K] ∵ ∠A = 90° ,[来源:学科网 ZXXK]∴ 四边形 DFAE 为矩形.∵△BED ≌△CFD ,∴ DE = DF , ∴ 四边形 DFAE 为正方形.3. 解:解法一:如图 1,分别过点 A,D 作 AE ⊥ BC 于点 E ,DF ⊥ BC 于点 F .∴ AE ‖ DF .又 AD ‖ BC ,[来源:学科网] BAD∴ 四边形 AEFD 是矩形.[来源:学科网 ZXXK]E F 图1C∴ EF = AD = 2 .∵ AB ⊥ AC , ∠B = 45 , BC = 4 2 ,∴ AB = AC .∴ AE = EC = 1 BC = 2 2 . 2∴ DF = AE = 2 2 , CF = EC EF = 2在 Rt△DFC 中, ∠DFC = 90 ,∴ DC = DF 2 + CF 2 = (2 2) 2 + ( 2) 2 = 10 .解法二:如图 2,过点 D 作 DF ‖ AB ,分别交 AC,BC 于点 E,F .∵ AB ⊥ AC ,∴∠AED = ∠BAC = 90 .A E B F 图2 C D∵ AD ‖ BC ,第 - 7 - 页 共 11 页∴∠DAE = 180 ∠B ∠BAC = 45 .在 Rt△ ABC 中, ∠BAC = 90 , ∠B = 45 , BC = 4 2 ,∴ AC = BC isin 45 = 4 2 ×2 =4 2 [来源:学科网 ZXXK]在 Rt△ ADE 中, ∠AED = 90 , ∠DAE = 45 , AD =2,∴ DE = AE = 1 .∴ CE = AC AE = 3 .在 Rt△DEC 中, ∠CED = 90 ,∴ DC = DE 2 + CE 2 = 12 + 32 = 10 .4. (1)证明: Rt△DEC 是由 Rt△ ABC 绕 C 点旋转 60° 得到, ∴ AC = DC,∠ACB = ∠ACD = 60° ∴ △ ACD 是 等边三角形, ∴ AD = DC = AC [来源:Zxxk.Com] 又∵ Rt△ ABF 是由 Rt△ ABC 沿 AB 所在 直线翻转 180° 得到 ∴ AC = AF,∠ABF = ∠ABC = 90° ∴ ∠FBC 是平角 ∴点 F,B,C 三点共线 ∴ △ AFC 是等边三角形 ∴ AF = FC = AC ∴ AD = DC = FC = AF ∴四边形 AFCD 是菱形. (2)四边形 ABCG 是矩形. 证明:由(1)可知: △ ACD 是等边三角形, DE ⊥ AC 于 E ∴ AE = EC ∵ AG ‖ BC ∴ ∠EAG = ∠ECB,∠AGE = ∠EBC ∴ △ AEG ≌△CEB第 - 8 - 页 共 11 页∴ AG = BC ∴四边形 ABCG 是平行四边形,而 ∠ABC = 90° [来源:学.科.网] ∴四边形 ABCG 是矩形. 5. (1)证明:延长 DC 交 BE 于点 M,∵BE‖AC,AB‖DC,∴四边形 ABMC 是平行四边形, ∴CM=AB=DC,C 为 DM 的中点,BE‖AC,DF=FE; (2)由(2)得 CF 是△DME 的中位线,故 ME=2CF,又∵AC=2CF,四边形 ABMC 是平行四边形,∴BE=2BM=2ME=2AC, 又∵AC⊥DC, ∴在 Rt△ADC 中利用勾股定 理得 AC=3 a 2, ∴= 3a . (3)可将四边形 ABED 的面积分为两部分, 梯形 ABMD 和三角形 DME,在 Rt△ADC 中 利用勾股定理得 DC=a a ,由 CF 是△DME 的中位线得 CM=DC= ,四边形 ABMC 是平 2 2 a ,BM=AC= 2 3 a ,∴ 梯 形 ABMD 面 积 为 : 2行 四 边 形 得 AM=MC=3a 1 3 3 2 a × = a ;由 AC⊥DC 和 BE‖AC 可证得三角形 DME 是直角三 + a × 2 2 8 2 角形,其面积为:1 3a 3a 2 , × ×a= 2 2 4 3 3 2 3a 2 5 3a 2 a + = 8 4 8D D1 D2 A A1 A2 A3 A4 B B1 C4 C3 C2 C1 C B2∴四边形 ABED 的面积为6. ( 1 )证明:∵ AB = DC , ∴ 梯 形 ABCD 为 等 腰 梯 形 . ∵∠C=60° ,∴ ∠BAD = ∠ADC = 120 ,又∵ AB = AD , ∴ ∠ABD = ∠ADB = 30 .∴ ∠DBC = ∠ADB = 30 .∴ ∠BDC = 90 . 由已知 AE ⊥ BD ,∴AE‖DC, [来源:Zxxk.Com]第 - 9 - 页 共 11 页又∵AE 为等腰三角形 ABD 的高, ∴E 是 BD 的中点, ∵F 是 DC 的中点, ∴EF‖BC, ∴EF‖AD, ∴四边形 AEFD 是平行四边形. (2)解:在 Rt△AED 中, ∠ADB = 30 ,∵ AE = x ,∴ AD = 2 x . 在 Rt△DGC 中 ∠ C=60°,并且 DC = AD = 2 x ,∴ DG = 3 x . 由 (1) 知: 在平行四边形 A EFD 中 EF = AD = 2x , 又∵ DG ⊥ BC , DG ⊥ EF , ∴ ∴四边形 DEGF 的面积 = ∴ y=1 EF i DG , 21 × 2 x i 3 x = 3 x 2 ( x > 0) . 27. (1)解:由题意,有△BEF≌△DEF. ∴BF=DF. 如图,过点 A 作 AG⊥BG 于点 G. 则四边形 AGFD 是矩形. ∴AG=DF,GF=AD=4. 在 Rt△ABG 和 Rt△DCF 种, ∵AB=DC,AG=DF, ∴Rt△ABG≌Rt△DCF.(HL) ∴BG=CF. ∴BG=1 1 ( BC GF ) = (8 4) =2. 2 2∴DF=BF=BG+GF=2+4=6.1 1 ( AD + BC )i DF = × (4 + 8) × 6 = 36 . 2 2 1 (2)猜想:CG= k i BE (或 BE = iCG ). k∴S 梯形 ABCD= 证明:如图,过点 E 作 EH‖CG,交 BC 于点 H. 则∠FEH=∠FGC. 又∠EFH=∠GFC, ∴△EFH∽△GFC. ∴EF EH = , GF GC第 - 10 - 页 共 11 页而 FG=k i EF,即 ∴GF =k. EFEH 1 即 CG = k i EH . = GC kG A D∵EH‖CG, ∴∠EHB=∠DCB. 而 ABCD 是等腰梯形,∴∠B=∠DCB. ∴∠B=∠EHB.∴BE=EH. ∴CG= k i BE8. 解: (1)∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90 ∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD ∴∠BAE=∠DAG ∴△ BAE≌△DAG (2)∠FCN=45 理由是:作 FH⊥MN 于 H ∵∠AEF=∠ABE=90 ∴∠BAE +∠AEB=90,∠FEH+∠AEB=90 ∴∠FEH=∠BAE 又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90 ∴△EFH≌△ABE ∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH ∵∠FHC=90,∴∠FCH=45 (3)当点 E 由 B 向 C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变 理由是:作 FH⊥MN 于 H 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90 结合(1) (2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG 又∵G 在射线 CD 上 ∠GDA=∠EHF=∠EBA=90 ∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE ∴EH=AD=BC=b,∴CH=BE, ∴A EH FH FH A=A A=A ABE BEE CHE FH EH b A=A A=A A CHE ABE aE M B E C 图 (2) A D F G M B E C 图 (1) HF NHN∴在Rt△FEH中,tan∠FCN=Ab ∴当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,tan∠FCN=A aE第 - 11 - 页 共 11 页