圆(二)垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径
一.教学目标: 1.知识技能:
⑴. 理解圆是轴对称图形。
⑵. 明确垂径定理的题设和结论及定理的推理过程。 ⑶. 能初步应用垂径定理进行计算和证明。 2.数学思考:
经历圆是轴对称图形、垂径定理极其推论的探究过程,发展合情推理能力,体会转化、数形结合的思想。 3.解决问题:
⑴. 通过探究活动,体验数学思维的严谨性。
⑵. 在探究活动中,学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和探究的结果。 4.情感态度:
⑴通过对赵州桥历史的了解,感受数学在生活中的运用,激发学习热情。
⑵在探究活动中,培养不断发现问题、通过合作交流解决问题的意识和精神。 二.重点和难点: 重点:垂径定理及应用
难点:垂径定理的证明及应用 三.教学过程:
1.引入:问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m ,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
2.把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 3.如图,AB 是⊙O 的一条弦,做直径CD ,CD ⊥AB ,垂足为E 。 (1)圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么? 线段:AE=BE
, AC =BC AD =BD 弧:
得垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
4.得垂径定理推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
5.利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题 6.练习:
⑴判断:
① 平分弧的直径必平分弧所对的弦。 ② 平分弦的直线必垂直弦。 ③ 垂直于弦的直径平分这条弦。 ④ 平分弦的直径垂直于这条弦。 ⑤ 弦的垂直平分线是圆的直径。
⑥ 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。
⑦ 在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦,必平分此弦所对的弧。
⑧ 分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对的两条弧分别三等分。
⑵如图,在⊙O 中,弦AB 的长为8cm ,圆心O 到AB 的距离为3cm ,求⊙O 的半径。
⑶如图,在⊙O 中,AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB 于D ,OE ⊥AC 于E ,求证四边形ADOE 是正方形。
⑷弓形的弦长为16cm ,弓形的高为
4cm
,则这弓形所在的圆的半径为 。
A
B
⑸已知P 为 圆内一点,且OP =2cm 径是3cm ,那么过P 点的最短的弦等于 。 7.小结
D
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 8.今日作业
教材95页习题24.1 7、8、9。