指数函数经典例题和课后习题

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指数函数及其基本性质

指数函数的定义

一般地，函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“a >0且a ≠1”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a

12

则在实数范围内相应的函数值不存在）

(2)若a=0会有什么问题？（对于x ≤0, a x 无意义）

(3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值, 它总是1, 对它没有研究的必要. ） 师：为了避免上述各种情况的发生, 所以规定a >0且 a ≠1.

指数函数的图像及性质

函数值的分布情况如下：

指数函数平移问题（引导学生作图理解）

用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =2x 的图象的关系（作图略），

⑴y =2x +1与y =2x +2. ⑵y =2x -1与y =2x -2.

f (x ) 的图象

向左平移a 个单位得到f (x ＋a ) 的图象; 向右平移a 个单位得到f (x －a ) 的图象; 向上平移a 个单位得到f (x ) ＋a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x ) －a 的图象.

指数函数·经典例题解析

(重在解题方法)

【例1】求下列函数的定义域与值域：

1

(1)y＝32-x (2)y＝2

x +2

-1(3)y＝3-3

x -1

解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，

∴值域是0≤y ＜

3．

及时演练求下列函数的定义域与值域

1

（1）y =2x -4； （2）y =(2

) |x |

3

；

（3）y =4x +2x +1+1；

【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是

[ ]

A ．a ＜b ＜1＜c ＜d

B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c

D ．c ＜d ＜1＜a ＜b

解 选(c)，在x 轴上任取一点(x，0) ，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ．

及时演练 指数函数①

②

满足不等式

, 则它们的图象是 ( ).

【例3】比较大小：

(1)

2、2、4、、16的大小关系是：

．

-41

(2)0.65

(

32

)

-

2

(3)4.54.1________3.73.6

1

1

2

3

4

解(1) ∵

2=2

2

，

3

2=2

3

，

5

4=2

5

，

8

8=2

8

，

9

6=2

9

，

函数y ＝2x

，2＞1，该函数在(－∞，＋∞) 上是增函数，

又

13＜

38

＜25

＜

49

＜

12

，∴

3

2＜

8

＜

5

4＜

9

6＜2．

解 (2)∵0.6

-

45

＞1，1＞(3

-

12

2

)

，

∴0.6

-41

5

＞(3) -

22

．

解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6

∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1) ，如例2中的(3)．

及时演练（1）1. 72. 5 与 1. 73 ( 2 )0.8

-0.1

与0.8-0.2

( 3 ) 1. 70. 3

与 1

0. 9

3. 1

（４）

3. 5

2. 和

2. 7

2. 0

【例4】比较大小

n -1

a n 与

n

a

n +1

(a＞0且a ≠1，n ＞1) ．

n n

1

解

a

n (n -1)

a

n +1

=a 当0＜a ＜1，∵n ＞1，

1n (n -1)

＞0，

1

∴a

n (n -1)

＜1，∴

n a n

＜

a

n +1

当a ＞1时，∵n ＞1，

1n (n -1)

＞0，

1

∴a n (n -1) ＞1，

n a n

＞

a

n +1

已知函数f(x)＝a 1

2＋1

，若f(x)为奇函数，则a ＝________. 【解析】 解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0，即a －11

2＋10. ∴a 2

.

解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x) ＝－f(x)， 即a －

1112－＋12＋1a ，解得a ＝2

【答案】 1

2

【例５】

【例6】求函数y ＝(3x 2－5x ＋6

4

) 的单调区间及值域．

解 令u ＝x 2－5x ＋6，则y ＝(3

4

) u 是关于u 的减函数，而u ＝x 2

－5x

＋6在x ∈(-∞，5]上是减函数，在x ∈[

52

2

，+∞) 上是增函数．∴函数

y ＝(3

x 2－5x ＋6

4

)

的单调增区间是(-∞，

5]，单调减区间是[

522

，+∞) ．

又∵u ＝x 2

－5x ＋6＝(x -

5) 2

-

112

4

≥-4

，

函数y ＝(34) u ，在u ∈[-1

4，+∞) 上是减函数，

所以函数y ＝(3

)

x 2－5x ＋6

4

的值域是(0，

3

]．

及时演练

【例7】求函数y ＝(14) x -(12) x

＋1(x≥0) 的单调区间及它的最大值．

解 y ＝[(12) x ]2-(12) x +1=[(1x 1231x

2) -2]+4，令u ＝(2) ，∵x ≥0，

∴0＜u ≤1，又∵u ＝(1x 12

2) 是x ∈[0，＋∞) 上的减函数，函数y ＝(u -2

)

+3在u ∈(0，

1]上为减函数，在[

1

4

2

2，1) 上是增函数．但由0＜(1x 1

2) ≤2得x ≥1，由

1

2≤(12) x ≤1，得0≤x ≤1，∴函数y ＝(1x 1x

4) -(2

) ＋1单调增区间是[1，＋∞) ，单调减区间[0，1]

当x ＝0时，函数y 有最大值为1． x

【例8】已知f(x)＝

a -1a x +1

(a＞1)

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的值域；

(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞) 上是增函数． 解 (1)定义域是R ．

-x f(－x) ＝

a -1a x

-1a

-x

+1

=-

a x

+1

＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数． x

(2)函数y ＝

a -1x

a x +1

，∵y ≠1，∴有a ＝

-1-y y +1y -1

=

1-y

＞0⇒－1＜y ＜1，

即f(x)的值域为(－1，1) ．

(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞) 且x 1＜x 2．f(x1) －f(x2) x l -1x 2-1＝a (a x

l

-a

x 2

) x 1a

x l

+1-

a a

x 2

+1＝

2(a

x l

+1)(a

x

，∵2

+1)

a ＞1，x 1＜x 2，a ＜a

x

2

，(a x

1＋1)

(a

x

2

＋1) ＞0，∴f(x1) ＜f(x2) ，故f(x)在R 上为增函数．

备选例题

1．比较下列各组数的大小：

（1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较

与

；

2.已知(a 2

+2a +5) 3x

>(a 2+2a +5)

1-x

，则x 的取值范围是___________．

3. 为了得到函数y =9⨯3x +5的图象，可以把函数y =3x 的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

4. 已知-1≤x ≤2, 求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值 5. 函数y ＝a ｜x ｜(a>1)的图像是

( )

指数函数练习题

一．选择题：

1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（A . 511个 B . 512个 C . 1023个 D . 1024个

）

2．在统一平面直角坐标系中，函数f (x ) =ax 与g (x ) =a x 的图像可能是（ ）

3 函数f (x ) =(a

2-

1) x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（

） A . a >1 B . a

2 D . 1

2

4．函数y =

12x

-1

的值域是（ ）

A .(-∞, 1) B .(-∞, 0) (0, +∞) C .(-1, +∞) D .(-∞, -1) (0, +∞)

5．函数y =a x -2+1.(a >0且a ≠1) 的图像必经过点（ ）

A .(0, 1) B .(1, 1) C .(2, 0) D .(2, 2)

6．某厂1998年的产值为a 万元，预计产值每年以n ％递增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（A . a (1+n ％) 13

B . a (1+n ％)

12

C . a (1+n ％) 11 D .

109

(1-n ％)

12

二．填空题：

1． 已知f (x ) 是指数函数，且f (-

352

) =

25

，则f (3) =2． 设0

x

2

-2x +1

>a

x 2

-3x +5

成立的x 的集合是

3． 函数y =(3x -1) 0+8-2x

的定义域为

4． 函数y =2x 2

-x

的单调递增区间为

三、解答题：

11．设0≤x ≤2，求函数y =4x -

2

-3∙2x

+5的最大值和最小值。

2函数f (x ) =a x

(a >0且a ≠1) 在区间[1, 2]上的最大值比最小值大a 2

，求a 的值。

）

3．已知函数y =() x

2

1

2

-6x +17

（1）求函数的定义域及值域；

（2）确定函数的单调区间。