初中数学圆的专题训练

圆的专题训练初中数学组卷

一．选择题（共15小题）

1．如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ．若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）

A ．3 B．4 C ．5 D ．6

2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB=30°，⊙O 的半径为5cm ，则圆心O 到弦CD 的距离为（ ）

A ．cm B ．3cm C ．3cm D ．6cm

，则阴影部分的面积为（ ）

3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∠ABD=60°，CD=2

A ． B ．π C ．2π D ．4π

4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D=40°，则∠CAB 的度数为（ ）

A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°

5．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）

A ． B ．2 C ． D ．

，则S 阴影=（ ）

6．如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD=30°，CD=4

A ．2π B ．π C ．π D ．π

7．如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（ ）

A ．15° B ．25° C ．30° D ．75°

8．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）

A ．100° B ．72° C ．64° D ．36°

9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切，与y 轴相交于A （0，2），B （0，8），则圆心P 的坐标是（ ）

A ．（5，3） B ．（5，4） C ．（3，5） D ．（4，5）

10．如图，正方形ABCD 的边AB=1，面积之差是（ ）

和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的

A ． B ．1﹣ C ．﹣1 D ．1﹣

11．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ）

A ． B ． C ． D ．

12．如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A 与BC 相切于点D ，阴影部分的面积为（ ）

A ． B ． C ． D ．

13．如图，某工件形状如图所示，等腰Rt △ABC 中斜边AB=4，点O 是AB 的中点，以O 为圆心的圆分别与两腰相切于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）

A ． B ． C ． D ．2﹣π

14．若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（ ）

A ．3：2 B．3：1 C．5：3 D．2：1

15．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且为半圆的．设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论正确的是（ ）

A ．S 1＜S 2＜S 3 C ．S 2＜S 3＜S 1 D ．S 3＜S 2＜S 1

二．解答题（共10小题）

16．已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，且△AEF 为等边三角形

（1）求证：△DFB 是等腰三角形；

（2）若DA=AF ，求证：CF ⊥AB ．

B ．S 2＜S 1＜S 3

17．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．

18．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为

（1）求证：BM=CM；

（2）当⊙O 的半径为2时，求的长．

中点，连接BM ，CM ．

19．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD=BA，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ．

（1）求证：∠1=∠BAD ；

（2）求证：BE 是⊙O 的切线．

20．如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于A ，B ），AD ⊥CD ．

（1）若BC=3，AB=5，求AC 的值；

（2）若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．

21．如图，直角△ABC 内接于⊙O ，点D 是直角△ABC 斜边AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线交AC 于E ，过点C 作∠ECP=∠AED ，CP 交DE 的延长线于点P ，连结PO 交⊙O 于点F ．

（1）求证：PC 是⊙O 的切线；

（2）若PC=3，PF=1，求AB 的长．

22．如图，在△ABC ，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB ．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；

（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．

23．如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 在⊙O 上且

⊥AF 交AF 的延长线于点D ．

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）若，CD=4，求⊙O 的半径．

，连接AC 、AF ，过点C 作CD

24．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ．

（1）请证明：E 是OB 的中点；

（2）若AB=8，求CD 的长．

25．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD=24，点M 在⊙O 上，MD 经过圆心O ，联结MB ．

（1）若BE=8，求⊙O 的半径；

（2）若∠DMB=∠D ，求线段OE 的长．

圆的专题训练初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．（2016•陕西）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ．若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）

A ．3 B．4 C ．5 D ．6

【分析】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案．

【解答】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ，

则BC=2BD，

∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补，

∴∠BOC=2∠A ，∠BOC +∠A=180°，

∴∠BOC=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC ）=30°，

∵⊙O 的半径为4，

∴BD=OB•cos ∠OBC=4×∴BC=4．

故选：B ．

=2，

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

2．（2016•黔南州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB=30°，⊙O 的半径为5cm ，则圆心O 到弦CD 的距离为（ ）

A ．cm B ．3cm C ．3cm D ．6cm

【分析】根据垂径定理知圆心O 到弦CD 的距离为OE ；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC 的长，即可在Rt △OCE 中求OE 的长度．

【解答】解：连接CB ．

∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，

∴圆心O 到弦CD 的距离为OE ；

∵∠COB=2∠CDB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，

∴∠COB=60°；

在Rt △OCE 中，

OC=5cm，OE=OC•cos ∠COB ，

∴OE=cm ．

故选A ．

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．

3．（2016•通辽）如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ）

A ． B ．π C ．2π D ．4π

【分析】连接OD ，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可．

【解答】解：连接OD ．

∵CD ⊥AB ，

∴CE=DE=CD=，

故S △OCE =S△ODE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，

又∵∠ABD=60°，

∴∠CDB=30°，

∴∠COB=60°，

∴OC=2，

∴S 扇形OBD =故选A ．

=，即阴影部分的面积为．

【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

4．（2016•娄底）如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D=40°，则∠CAB 的度数为（ ）

A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°

【分析】先根据圆周角定理求出∠B 及∠ACB 的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：∵∠D=40°，

∴∠B=∠D=40°．

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°﹣40°=50°．

故选C ．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

5．（2016•达州）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）

A ． B ．2 C ． D ．

【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可．

【解答】解：作直径CD ，

在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，

则OD=tan ∠CDO===4， ，

由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，

则tan ∠OBC=

故选：C ．

，

【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

6．（2016•广安）如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD=30°，CD=4

=（ ）

，则S 阴影

A ．2π B ．π C ．π D ．π

【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ．

【解答】解：如图，假设线段CD 、AB 交于点E ，

∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，

∴CE=ED=2，

又∵∠BCD=30°，

∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，

∴OE=DE•cot60°=2×=2，OD=2OE=4，

﹣OE ×DE +BE •CE=﹣2+2

=∴S 阴影=S扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC =．

故选B ．

【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．

7．（2016•自贡）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（ ）

A ．15° B ．25° C ．30° D ．75°

【分析】由三角形外角定理求得∠C 的度数，再由圆周角定理可求∠B 的度数．

【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，

∴∠C=∠AMD ﹣∠A=75°﹣45°=30°，

∴∠B=∠C=30°，

故选C ．

【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．

8．（2016•毕节市）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）

A ．100° B ．72° C ．64° D ．36°

【分析】连接OA ，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解答即可．

【解答】解：连接OA ，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C=28°，

∴∠OAB=64°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB=64°，

故选：C ．

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．

9．（2016•河池）如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切，与y 轴相交于A （0，2），B （0，8），则圆心P 的坐标是（ ）

A ．（5，3） B ．（5，4） C ．（3，5） D ．（4，5）

【分析】过P 作PC ⊥AB 于点C ，过P 作PD ⊥x 轴于点D ，由切线的性质可求得PD 的长，则可得PB 的长，由垂径定理可求得CB 的长，在Rt △PBC 中，由勾股定理可求得PC 的长，从而可求得P 点坐标．

【解答】解：

如图，过P 作PC ⊥AB 于点C ，过P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接PB ，

∵P 为圆心，

∴AC=BC，

∵A （0，2），B （0，8），

∴AB=8﹣2=6，

∴AC=BC=3，

∴OC=8﹣3=5，

∵⊙P 与x 轴相切，

∴PD=PB=OC=5，

在Rt △PBC 中，由勾股定理可得PC===4，

∴P 点坐标为（4，5），

故选D ．

【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理，利用切线的性质求得圆的半径是解题的关键．

10．（2015•黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD 的边AB=1，的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）

和都是以1为半径

A ． B ．1﹣ C ．﹣1 D ．1﹣

【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=

无阴影两部分的面积之差，即

﹣1=．

【解答】解：如图：

正方形的面积=S1+S 2+S 3+S 4；①

两个扇形的面积=2S3+S 1+S 2；②

②﹣①，得：S 3﹣S 4=S扇形﹣S 正方形=

故选：A ．

﹣1=．

【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．

11．（2014•镇江）如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ）

A ． B ． C ． D ．

【分析】过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，根据圆周角定理可得出∠BOD=∠A ，再根据勾股定理可求得BD=4，从而得出∠A 的正切值．

【解答】解：过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，

∵OB=5，OD=3，

∴BD=4，

∵∠A=∠BOC ，

∴∠A=∠BOD ，

∴tanA=tan∠BOD=故选：D ．

=，

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点．

12．（2013•江门模拟）如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A 与BC 相切于点D ，阴影部分的面积为（ ）

A ． B ． C ． D ．

【分析】阴影部分的面积是三角形ABC 的面积减去圆的面积，根据勾股定理可求得BC 的长，连接AD ，由等腰直角三角形的性质可得出AD 等于BC 的一半．

【解答】解：连接AD ，

∵∠A=90°，AB=AC=2cm，

∴由勾股定理得BC=2cm ，

∴AD=BC ，

∴AD=cm ，

﹣=2﹣． ∴S 阴影=S△ABC ﹣S 圆=故选B ．

【点评】本题是一道综合题，考查了扇形面积的计算以及等腰三角形的性质，是中档题．

13．（2011•深圳模拟）如图，某工件形状如图所示，等腰Rt △ABC 中斜边AB=4，点O 是AB 的中点，以O 为圆心的圆分别与两腰相切于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）

A ． B ． C ． D ．2﹣π

【分析】本题需先求出直角三角形的边长，再利用切线的性质和等腰直角三角形的性质得出四边形CDOE 是正方形，然后分别求出直角三角形ABC 、扇形FOD ，正方形CDOE ，扇形EOG 的面积，即可求出阴影部分的面积．

【解答】解：设AC=BC=x，

则x +x =4 x=2 ∴

设OD=R，则OE=R

∵AC ，BC 与⊙O 相切，

∴OD ⊥AD ，OE ⊥BC

∵∠A=45°

∴∠AOD=45°

∴∠A=∠AOD

∴AD=OD=R

∵AC=2

∵AC=2

∴AD=OD

∵∠C=90°

∴四边形ODCE 是正方形 ∴

∴S 正方形CDOE ==2 22

S 扇形FOD =S扇形EOG =

=

∴阴影部分的面积是2﹣

故选

A

【点评】本题主要考查了扇形面积的求法，在解题时要注意面积计算公式和图形的有关性质的综合应用．

14．（2006•兰州）若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（ ）

A ．3：2 B．3：1 C．5：3 D．2：1

【分析】利用轴的截面是一个正三角形，易得圆锥的底面半径和母线长的关系，把相应数值

2代入圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，圆锥底面积=π×半径比较即可．

【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，

∴S 底=πr ，S 侧=•2r •2πr=2πr ，

∴S 侧：S 底=2πr ：πr =2：1．

故选D ．

2222

【点评】此题主要考查圆锥的轴截面、侧面积与底面积的求法．

15．（2003•海南）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且为半圆的．设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论正确的是（ ）

A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 2＜S 3＜S 1 D ．S 3＜S 2＜S 1

【分析】首先根据△AOC 的面积=△BOC 的面积，得S 2＜S 1．再根据题意，知S 1占半圆面积的．所以S 3大于半圆面积的．

【解答】解：根据△AOC 的面积=△BOC 的面积，得S 2＜S 1，

再根据题意，知S 1占半圆面积的，

所以S 3大于半圆面积的．

故选B ．

【点评】此类题首先要比较有明显关系的两个图形的面积．

二．解答题（共10小题）

16．（2016•株洲）已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，且△AEF 为等边三角形

（1）求证：△DFB 是等腰三角形；

（2）若DA=AF ，求证：CF ⊥AB ．

【分析】（1）由AB 是⊙O 直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF 为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）过点A 作AM ⊥DF 于点M ，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EM=a，

AM=

a ，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC ，根据三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 直径，

∴∠ACB=90°，

∵△AEF 为等边三角形，

∴∠CAB=∠EFA=60°，

∴∠B=30°，

∵∠EFA=∠B +∠FDB ，

∴∠B=∠FDB=30°，

∴△DFB 是等腰三角形；

（2）过点A 作AM ⊥DF 于点M ，设AF=2a，

∵△AEF 是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a ，

在Rt △DAM 中，AD=AF=2a ，AM=，

∴DM=5a，∴DF=BF=6a，

∴AB=AF+BF=8a，

在Rt △ABC 中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，

∵AE=EF=AF=2a，

∴CE=AC﹣AE=2a，

∴∠ECF=∠EFC ，

∵∠AEF=∠ECF +∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，

∴∠AFC=∠AFE +∠EFC=60°+30°=90°，

∴CF ⊥AB ．

【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

17．（2016•宁夏）已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C ，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B ，由此推得∠B=∠C ，由等腰三角形的判定即可证得结论；

（2）连接AE ，由AB 为直径，可证得AE ⊥BC ，由（1）知AB=AC，证明△CDE ∽△CBA 后即可求得CD 的长．

【解答】（1）证明：∵ED=EC，

∴∠EDC=∠C ，

∵∠EDC=∠B ，

∴∠B=∠C ，

∴AB=AC；

（2）方法一：

解：连接AE ，

∵AB 为直径，

∴AE ⊥BC ，

由（1）知AB=AC，

∴BE=CE=BC=，

∵△CDE ∽△CBA ， ∴，

∴CE •CB=CD•CA ，AC=AB=4， ∴•2=4CD，

∴CD=．

方法二：

解：连接BD ，

∵AB 为直径，

∴BD ⊥AC ，

设CD=a，

由（1）知AC=AB=4，

则AD=4﹣a ，

在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：

BD 2=AB2﹣AD 2=42﹣（4﹣a ）2

在Rt △CBD 中，由勾股定理可得：

BD 2=BC2﹣CD 2=（2）2﹣a 2

∴42﹣（4﹣a ）2=（2）2﹣a 2

整理得：a=，

即：CD=．

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

18．（2016•福州）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为

（1）求证：BM=CM；

（2）当⊙O 的半径为2时，求的长．

中点，连接BM ，CM ．

【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；

（2）根据弧长公式计算．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB=CD， ∴=，

中点， ， =+，即

=， ∵M 为∴∴=+

∴BM=CM；

（2）解：∵⊙O 的半径为2，

∴⊙O 的周长为4π， ∵∴∴=

==

+==， ， 的长=××4π=×4π=π．

【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．

19．（2016•自贡）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD=BA，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ．

（1）求证：∠1=∠BAD ；

（2）求证：BE 是⊙O 的切线．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；

（2）连接BO ，求出OB ∥DE ，推出EB ⊥OB ，根据切线的判定得出即可；

【解答】证明：（1）∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD ，

∵∠1=∠BDA ，

∴∠1=∠BAD ；

（2）连接BO ，

∵∠ABC=90°，

又∵∠BAD +∠BCD=180°，

∴∠BCO +∠BCD=180°，

∵OB=OC，

∴∠BCO=∠CBO ，

∴∠CBO +∠BCD=180°，

∴OB ∥DE ，

∵BE ⊥DE ，

∴EB ⊥OB ，

∵OB 是⊙O 的半径，

∴BE 是⊙O 的切线．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

20．（2016•黄石）如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于A ，B ），AD ⊥CD ．

（1）若BC=3，AB=5，求AC 的值；

（2）若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．

【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC 的长即可；

（2）连接OC ，证OC ⊥CD 即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD ，即可得到OC ∥AD ，由于AD ⊥CD ，那么OC ⊥CD ，由此得证．

【解答】（1）解：∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上，

∴∠ACB=90°，

又∵BC=3，AB=5，

∴由勾股定理得AC=4；

（2）证明：连接OC

∵AC 是∠DAB 的角平分线，

∴∠DAC=∠BAC ，

又∵AD ⊥DC ，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC ∽△ACB ，

∴∠DCA=∠CBA ，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA ，

∵∠OAC +∠OBC=90°，

∴∠OCA +∠ACD=∠OCD=90°，

∴DC 是⊙O 的切线．

【点评】此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

21．（2016•菏泽）如图，直角△ABC 内接于⊙O ，点D 是直角△ABC 斜边AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线交AC 于E ，过点C 作∠ECP=∠AED ，CP 交DE 的延长线于点P ，连结PO 交⊙O 于点F ．

（1）求证：PC 是⊙O 的切线；

（2）若PC=3，PF=1，求AB 的长．

【分析】（1）连接OC ，欲证明PC 是⊙O 的切线，只要证明PC ⊥OC 即可．

（2）延长PO 交圆于G 点，由切割线定理求出PG 即可解决问题．

【解答】解：（1）如图，连接OC ，

∵PD ⊥AB ，

∴∠ADE=90°，

∵∠ECP=∠AED ，

又∵∠EAD=∠ACO ，

∴∠PCO=∠ECP +∠ACO=∠AED +∠EAD=90°，

∴PC ⊥OC ，

∴PC 是⊙O 切线．

（2）解法一：

延长PO 交圆于G 点，

∵PF ×PG=PC，PC=3，PF=1，

∴PG=9，

∴FG=9﹣1=8，

∴AB=FG=8．

解法二：

设⊙O 的半径为x ，则OC=x，OP=1+x

∵PC=3，且OC ⊥PC

222∴3+x =（1+x ）

解得x=4

∴

AB=2x=8 2

【点评】本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

22．（2016•新疆）如图，在△ABC ，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠

CBF=∠CAB ．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；

（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．

【分析】（1）连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．

（2）利用已知条件证得△AGC ∽△ABF ，利用比例式求得线段的长即可．

【解答】（1）证明：连接AE ，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，

∴∠1=∠CAB ．

∵∠

CBF=∠CAB ，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF +∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB 是⊙O 的直径，

∴直线BF 是⊙O 的切线．

（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于G ．

∵sin ∠

CBF=

∴sin ∠1=， ，∠1=∠CBF ，

∵在Rt △AEB 中，∠AEB=90°，AB=5，

∴BE=AB•sin ∠1=，

∵AB=AC，∠AEB=90°，

∴BC=2BE=2，

在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=∴sin ∠2=

==，cos ∠2====2， ，

在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2，

∴AG=3，

∵GC ∥BF ，

∴△AGC ∽△ABF ， ∴

∴

BF= =

【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

23．（2016•南昌校级自主招生）如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 在⊙O 上且

接AC 、AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ．

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）若，CD=4，求⊙O 的半径．

，连

【分析】（1）连结OC ，由F ，C ，B 三等分半圆，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC ，而∠OAC=∠OCA ，则∠FAC=∠OCA ，可判断OC ∥AF ，由于CD ⊥AF ，所以OC ⊥CD ，然后根据切线的判定定理得到CD 是⊙O 的切线；

（2）连结BC ，由AB 为直径得∠ACB=90°，由F ，C ，B 三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt △ADC 中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt △ACB 中，根据勾股定理求得AB ，进而求得⊙O 的半径．

【解答】（1）证明：连结OC ，如图， ∵，

∴∠FAC=∠BAC ，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA ，

∴∠FAC=∠OCA ，

∴OC ∥AF ，

∵CD ⊥AF ，

∴OC ⊥CD ，

∴CD 是⊙O 的切线；

（2）解：连结BC ，如图，

∵AB 为直径，

∴∠ACB=90°， ∵=，

∴∠BOC=×180°=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=30°，

在Rt △ADC 中，CD=4，

∴AC=2CD=8，

在Rt △ACB 中，BC +AC =AB，

即8+（AB ）=AB，

∴AB=，

．

222222∴⊙O 的半径为

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．

24．（2016•西安校级三模）如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ．

（1）请证明：E 是OB 的中点；

（2）若AB=8，求CD 的长．

【分析】（1）要证明：E 是OB 的中点，只要求证OE=OB=OC ，即证明∠OCE=30°即可．

（2）在直角△OCE 中，根据勾股定理就可以解得CE 的长，进而求出CD 的长．

【解答】（1）证明：连接AC ，如图

∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ， ∴

，

∴AC=AD，

∵过圆心O 的线CF ⊥AD ，

∴AF=DF，即CF 是AD 的中垂线，

∴AC=CD，

∴AC=AD=CD．

即：△ACD 是等边三角形，

∴∠FCD=30°，

在Rt △COE 中，

∴， ， ∴点E 为OB 的中点；

（2）解：在Rt △OCE 中，AB=8， ∴，

又∵BE=OE，

∴OE=2， ∴

∴．

，

【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．

25．（2016•金乡县一模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD=24，点M 在⊙O 上，MD 经过圆心O ，联结MB ．

（1）若BE=8，求⊙O 的半径；

（2）若∠DMB=∠D ，求线段OE 的长．

【分析】（1）根据垂径定理求出DE 的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；

（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B ，根据∠M=∠D ，求出∠D 的度数，根据锐角三角函数求出OE 的长．

【解答】解：（1）设⊙O 的半径为x ，则OE=x﹣8，

∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，

222在Rt △ODE 中，OD =DE+OE ，

222x =（x ﹣8）+12，

解得：x=13．

（2）∵OM=OB，

∴∠M=∠B ，

∴∠DOE=2∠M ，

又∠M=∠D ，

∴∠D=30°，

在Rt △OED 中，∵DE=12，∠D=30°，

∴OE=4．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力．