幂函数与二次函数
一、如何求解二次函数在某个闭区间上的最值
对于二次函数而言,首先确定对称轴,然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论. 讨论顺序:首先讨论二次项系数,然后讨论判别式情况,再讨论对称轴位置情况. 图像:y =x a (a ∈Q )
1)其它部分的图像由定义域及奇偶性,对称确定. 注意:作出α=-1, -的图像.
1111
, -, , ,1, 2,3在第一象限的图像.利用性质补齐第二或三象限2332
2)幂函数y =x
a
(a ∈Q )在第一象限的特征:
①a >1,图像经过(0,0), (1,1)单调递增; ②0
③a
二、初等函数图像变换
基本初等函数包含以下九种函数:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数.(三角函数、反三角函数待讲)
,由基本初等函数经过四则运算
以及简单复合所得的函数叫初等函数.
三、总结提高
1) 五个代表
函数y =x , y =x , y =x , y =x , y =x -1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表. 2) 两种方法
函数y =f (x )对称轴的判断方法:
① 对于二次函数y =f (x )对定义域内所有x ,都有f (x 1)=f (x 2),那么函数
2
3
12
y =f (x )的图象关于x =
x 1+x 2
对称. 2
② 对于二次函数y =f (x )对定义域内所有x ,都有f (a +x )=f (a -x )成立的充要条件是函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(a 为常数).
四、如何求解二次函数在某个闭区间上的最值
对于二次函数f (x )=ax +bx +c (a ≠0)而言,首先确定对称轴,然后与所给区间的位置
2
关系分三类进行讨论.讨论顺序:首先讨论二次项系数,然后讨论判别式情况,再讨论对称轴位置情况.
一、幂函数相关题型
幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体,综合性较强,解此类题的关键是弄清幂函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步:
1)第一步,利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围; 2)第二步,利用分类讨论的思想,结合函数的图象求出参数的取值范围.
*
【题干】设m ∈N ,已知函数f (x )=2m -m
(
2
)⋅x 2m
2
+3m -4
在(0, +∞)上是增函数.
(1)求函数f (x )的解析式.
f (x )⎤+λ2⎡(2)设g (x )=(λ≠0是常数),试讨论g (x )在(-∞,0)上的单调性,并f x 求g (x )在区间(-∞,0)上的最值.
2
【答案】 【解析】 【点评】
【题干】已知幂函数f (x )=x 函数,求满足(a +1)【答案】a
-m 3
m 2-2m -3
(m ∈N )的图象关于y 轴对称,且在(0, +∞)上是减
*
-
m 3
的a 的取值范围.
23
2
【解析】由于在(0, +∞)上是减函数,所以指数是小于零的,m -2m -3
m 的范围:-1
抛物线的关于y 轴对称,因此m -2m -3是偶数,所以m =1,是唯一的取值. 对于
2
(a +1)
-
m
3
-
m 3
,就是m =1的时候,(a +1)
-
13
-
13
-
13
的增减性,类似于反比例函数,在每个区间内是递减函数,可得:三种情况:1)当
a +1>0,3-2a >0, a +1>3-2a ,得到:
23
a +1>3-2a ,此时无解;3)当a +10,那么a
23
2
【点评】由幂函数的性质可得到幂指数m -2m -3
【题干】幂函数y =x a ,当a 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)、设点A (1,0), B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数
y =x α, y =x β的图象三等分,即有BM =MN =NA . 那么,αβ=( )
A. 1 C. 3
B. 2 D. 无法确定
【答案】A
【解析】BM =MN =NA ,点A (1,0), B (0,1),所以M , ⎪,N , ⎪,分别代入
⎛12⎫⎝33⎭⎛21⎫⎝33⎭
1221
y =x α, y =x β,α=log 2, β=log 1, αβ=log 1⋅log 2=1.
33333333
【点评】很有意思的题,开发学生思维,两种方法. 【题干】对于幂函数f (x )=x ,若0
4
5
⎛x 1+x 2⎫f (x 1)+f (x 2)大小关⎪,
2⎝2⎭
⎛x 1+x 2⎫f (x 1)+f (x 2)A. f ⎪>
22⎝⎭
C. f
⎛x 1+x 2⎫f (x 1)+f (x 2)B. f ⎪
22⎝⎭
D. 无法确定
⎛x 1+x 2⎫f (x 1)+f (x 2) ⎪=
2⎝2⎭
【答案】A
【解析】∵幂函数f (x )=x 在(0, +∞)上是增函数,图象是上凸的,∴当0
4
5
⎛x 1+x 2⎫f (x 1)+f (x 2). ⎪>
2⎝2⎭
【点评】
【题干】函数y =【答案】(-∞, 6]
【解析】由x +2x -24≥0得:x ≥4, x ≤-6,∵函数y =t 在[0, +∞)上为增函数,函
2
的单调递减区间是________.
1
2
数t =x +2x -24在(-∞, 6]上为减函数,故所给函数的单调减区间为(-∞, 6].
2
【点评】
【题干】已知幂函数y =f (x )的图象过点(27,3),试讨论其单调性.
【答案】在R 上单调递增.
1
1
【解析】设y =x ,代入点(27,3),得3=27,解得α=,所以y =x 3,在R 上单调
3
αα
递增. 【点评】
二、二次函数相关题型
1)分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断,如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等.
2)重要题型是二次函数根的分布情况,对应方法. ① 可以利用一元二次方程求根公式.
② 可以利用一元二次方程的判别式以及根与系数的关系. ③ 利用二次函数的图像列出不等式组.
【题干】已知抛物线y =ax 2-(a +c )x +c (其中a ≠c )不经过第二象限. (1)判断这条抛物线的顶点A (x 0, y 0)所在的象限,并说明理由;
(2)若经过这条抛物线的点A (x 0, y 0)的直线y =-x +k 与抛物线的另一个交点为
⎛a +c ⎫B , -c ⎪,求抛物线的解析式. ⎝a ⎭
【答案】(1)第一象限;(2)y =-2x 2+2x
【解析】抛物线过(1,0)(带进去成立)由于不过第二象限,故抛物线开口向下(如果向上,无线延伸肯定会经过第二象限)又因为抛物线过(1,0),如果与x 轴只有一个焦点,则知a =c ,矛盾. 故必与x 轴有两个交点. 一个是(1,0),另一个交∆=0点必在第一象限. 开口向下,与x 轴两个交点都在第一象限,因此知道顶点在第一象限.
⎧(a -c )2a +c
=+k (1)⎪-4a 2a ⎪⎪a +c -c =+k (2),由③得c =0. 将其代入①,②得⎨
a ⎪
2
⎪a +c ⎛a +c ⎫
-(a +c ) ⨯=c (3)⎪-c =a ⎪
a ⎝a ⎭⎩
1⎧a
-=-+k ⎪
. 解得a =-2,∴所求抛物线的解析式为y =-2x 2+2x . 2⎨4
⎪⎩0=-1+k
【点评】
【题干】函数f (x )=x +ax +3.
2
(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 得取值范围; (2)当x ∈[-2,2]时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围; 【答案】(1)[-2,6];(2)-7≤a ≤4
a 2a ⎫a 2⎛
≥a ,解得:a 的取值范围是[-2,6] 【解析】(1)f (x )= x +⎪+3-,令3-42⎭4⎝
(2)令对称轴b =-
2
a 7
,当-b ≤2时,f (-2)最小,即f (-2)≥a 解得a ≤,又因为23
有b ≤-2得a ≥4所以无解;当-2
-7≤a ≤-4.
【点评】
【题干】已知二次函数y =f (x )的定义域为R ,f (1)=2且在x =t 处(t 为实数)取得最值,若y =g (x )为一次函数,且f (x )+g (x )=x +2x -3.
2
(1)求y =f (x )得解析式;
(2)若x ∈[-1,2]时,f (x )≥-1恒成立,求t 的取值范围. 【答案】(1)f (x )=x 2-2tx +2t +1;(2
)1≤t ≤3
【解析】(1)设f (x )=a (x -t )+b ,又因为f (x )+g (x )=x 2+2x -3所以a =1,即
2
f (x )=(x -t )+b ,又因为f (1)=2代入得(1-t )+b =2,得b =-t 2+2t +1
所以f (x )=x 2-2tx +2t +1;
(2)利用二次函数图像求函数f (x )在区间内的最小值,只需f (x )min ≥-1即可.
2
①当t ≤-1时,f (x )min ≥-1不成立,②当-1
1得
22
1≤t ≤1
∴1≤t
∴2≤t ≤3,综上t
的取值范围是1t ≤3.
【点评】
2
【题干】已知二次函数f (x )=ax +bx (a ,b 为常数,且a ≠0)满足条件:
f (x -1)=f (3-x ),且方程f (x )=2x (1)求f (x )的解析式;
(2)是否存在实数m 、n (m
2
2【解析】(1)∵方程ax +bx -2x =0有等根,∴∆=(b -2)=0,得b =2. 由
2
f (x -1)=f (3-x )知此函数图像的对称轴方程为x =-f (x )=-x 2+2x .
(2)∵f (x )=-(x -1)+1≤1,∴An ≤1,即n ≤为x =1,∴当n ≤
2
b
=1,得a =-1,故2a
12
. 而抛物线y =-x +2x 的对称轴4
1
时,f (x )在{m , n }上为增函数,若满足题设条件的m , n 存在,则4
2
⎧⎧⎧m =0/m =-21⎪-m +2m =4m ⎪f (m )=4m
m
4⎪⎩n =0/n =-2⎪⎩-n +2n =4n ⎩f (n )=4n
∴m =-2, n =0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-8,0]. 由以上可知满足条件的m , n 存
在,m =-2,n =0. 【点评】
【题干】设a 为实数,函数f (x )=2x 2+(x -a )x -a (1)若f (0)≥1求a 的取值范围; (2)求f (x )的最小值;
(3)设函数h (x )=f (x ),x ∈(a , +∞)直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1....的解集.
⎧-2a 2, a ≥0
⎪
【答案】(1)a 的取值范围为(-∞, -1];(2)g (a )=⎨2a 2,
, a
⎛a -⎡a ⎫
+∞⎪ (3
) a , ⎢
⎪33⎥⎣⎢⎝⎦⎭
【解析】(1)因为f (0)=-a -a ≥1,所以-a >0,即a
2
此,a 的取值范围为(-∞, -1].
(2)记f (x )的最小值为g (a ),则有f (x )=2x +(x -a )(x -a )
2
2⎧⎛a ⎫2a 2
, x >a ⎪3 x -⎪+22
3⎭3=⎨⎝,(1)当a ≥0时,f (-a )=-2a ,由①②知f (x )≥-2a ,2⎪x +a -2a 2, x ≤a ()⎩
此时g (a )=-2a ;(2)当a
2
22⎛a ⎫22
f x ≥a ;,若,则由①知=a x >a ()⎪3⎝3⎭3
222
a ,此时g (a )=a 2,综上,得33
2
若x ≤a ,由x +a ≤2a
⎧-2a 2, a ≥0⎪
. g (a )=⎨22
⎪a , a
(3
)①当a ∈ -∞, ⎛ ⎝⎫ +∞a ∈时,解集为;②当时, a , +∞
()⎪⎪⎦⎣⎭⎣⎭
⎛a ⎡a +⎫解集为 a , +∞⎪. ⎢
⎪33⎥⎣⎢⎝⎦⎭
【点评】
【题干】如果方程x 2+(m -1)x +m 2-2=0的两个实根一个小于-1,另一个大于1,那么实数m 的取值范围是( )
A. B. (-2,0) C. (-2,1) D. (0,1) 【答案】C
【解析】构造函数f (x )=x 2+(m -1)x +m 2-2,∵方程x 2+(m -1)x +m 2-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,∴f (1)
2
(∴m 2+m -2
【点评】
三、指对幂函数综合题型
⎧-x 2+ax , x ≤1【题干】已知函数f (x )=⎨,若∃x 1, x 2∈R , x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2)
⎩ax -1, x >1
成立,则实数a 的取值范围是( ) A. a
B. a >2
D. a >2或a
C. -2
【解析】若x 1, x 2∈R , x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2)成立,则说明f (x )在R 上不单调,
⎧-x 2, x ≤1
当a =0时,f (x )=⎨,其图像如图所示,满足题意.
-1, x >1⎩
当a
2
a
. 2
当a >0时,函数y =-x 2+ax 的对称轴x =上不单调,则只要二次函数的对称轴x =
a
>0,其图像如图所示,要使得f (x )在R 2
a
【点评】
【题干】已知函数f (x )=x 2,设函数g (x )=-qf ⎡⎣f (x )⎤⎦+(2q -1)f (x )+1,问是否存在实数q (q
2
1
30
4
2
【解析】∵f (x )=x ,则g (x )=-qx +(2q -1)x +1.假设存在实数q (q
g (x )满足题设条件,设x 1
42
g (x 1)-g (x 2)=-qx 14+(2q -1)x 12+qx 2-(2q -1)x 2
22
=(x 1+x 2)(x 2-x 1)⎡q x +x ()-(2q -1)⎤12⎣⎦.若x 1, x 2∈(-∞, -4],易知x 1+x 20,要使g (x )在(-∞, -4]上是减函数,则应有q (x 12+x 2)-(2q -1)
32.而q
q (x 12+x 2)
()
1
.若x 1, x 2∈(-4,0),易知30
(x 1+x 2)(x 2-x 1)
2
q (x 12+x 2)-(2q -1)>0恒成立.∵-4
2222而q 32q .要使q x 1+x 2>2q -1恒成立,则必有2q -1≤32q ,()()
即q ≥-11.综上可知,存在实数q =-,使得g (x )在(-∞, -4]上是减函数,且在3030
(-4,0)上是增函数.
【点评】
【题干】已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),(a >0,且a ≠1).
(1)求函数f (x )的定义域;
(2)判断函数f (x )的奇偶性,并说明理由;
(3)设a =1,求解f (x )>0. 2
【答案】(1)(-1,1);(2)奇函数
⎧x +1>0【解析】(1)由题知:⎨,解得:-10⎩
(2)证明:因为函数f (x )的定义域为(-1,1),所以对任意x ∈(-1,1),
f (-x )=log a (-x +1)-log a ⎡⎣1-(-x )⎤⎦=-⎡⎣log a (x +1)-log a (1-x )⎤⎦=-f (x ), 所以函数f (x )是奇函数.
⎧x +1>0⎪(3)由题意知:log 1(x +1)>log 1(1-x ),即有⎨1-x >0,解得:-1
22⎪x +1
所以不等式f (x )>0的解集为x -1
【点评】
【题干】如图,函数f (x )的图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集是( )
A. {x |-1
C. {x |-1
【答案】C
【解析】如图,y =log 2(x +1)与f (x )图象交于(1,1),所以f (x )≥log 2(x +1)的解集为(-1,1].
【点评】
⎧
【题干】已知函数f (x )=⎪lg x ,0
⎨
⎩-1
2x +6, x >10,若a , b , c 互不相等,
⎪
且f (a )=f (b )=f (c ),则abc 的取值范围是( ).
A. (1,10) B. (5,6)
C. (10,12) D. (20,24)
【答案】C
【解析】作出函数f (x )的图像如图,不妨设a
=-1
2c +6∈(0,1),ab =1,0
2c +6
【点评】考查利用图象求解的能力和对数的运算,考查数形结合的思想方法
.
x ⎧⎪2-a , x
⎪⎩4(x -a )(x -2a ), x ≥1
①若a =1,则f (x )的最小值为________;
②若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________.
【答案】(1)-1(2)⎢,1⎪ [2, +∞)
x ⎧⎪2-a , x
1⎛1⎫⎛3⎫x ≥1时,f (x )min =f ⎪=4⨯⨯ -⎪=-1,所以f (x )min =-1. 2⎝2⎭⎝2⎭
x (2)若函数h (x )=2-a 在x 0,并且当x =1时,
h (1)=2-a >0,所以0
g (x )=4(x -a )(x -2a )有两个交点,当a ≤0,h (x )与x 轴无交点,g (x )无交点, 所以不合题意. 当h (1)=2-a ≤0时,a ≥2,g (x )的两个交点为x 1=a ,x 2=2a 都满足题意. 综上,a 的取值范围是1≤a
【点评】利用函数零点作函数图像,利用函数零点结合图像研究函数的性质,利用函数零点,确定参数的范围.