2.5有理数的大小比较例题与讲解

2.5 有理数的大小比较

1．两个负数的大小比较

(1)利用绝对值比较两个负数的大小的法则

在数轴上绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，即

两个负数，绝对值大的反而小．

例如：|－3|＝3，|－5|＝5，而3＜5，所以－3＞－5.

(2)利用绝对值比较两个负数大小的步骤

①分别求出两个负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小；

③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．

23【例1】 比较－的大小． 34

分析：两个负数比较大小，要先求出它们的绝对值，再根据绝对值的大小和两个负数大小比较的法则，确定出原数的大小．

2328398923－，⎪＝＜. 解：因为⎪⎪3312⎪4412121234

警误区 比较分数大小时注意的问题 在比较通分后两个分数的大小时，一般不要改变两数原来的顺序，以免最后判断时失误．

2．任意有理数的大小比较

有理数的大小比较方法较多，常见的有如下几种：

(1)法则比较法

有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．

根据正数、负数的定义，所有的正数都大于0，所有的负数都小于0，所以正数大于一切负数．

因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以可以用a ＞0表示a 是正数；反之，a 是正数也可以表示为a ＞0.

同理，a ＜0表示a 是负数；反之，a 是负数也可以表示为a ＜0. 另外可以用a ≥0表示a 是非负数，用a ≤0表示a 是非正数．

(2)数轴比较法

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，根据这个特点可把需要比较的数表示在数轴上，通过数轴比较两数的大小．

利用数轴比较有理数的大小的一般步骤为：①画数轴；②描点；③有序排列；④不等号连接．

(3)特殊值比较法

含有字母的数的比较，若采用取特殊值比较法，简单快捷．

【例2】 比较下列各数的大小：

(1)－|－1|__________－(－1) ；

(2)－(－3)__________0；

11－⎫__________－⎪－⎪； (3)－⎛⎝6⎭⎪7⎪

(4)－(－|－3.4|)__________－(＋|3.4|)．

解析：(1)化简－|－1|＝－1，－(－1) ＝1，因为负数小于正数，所以－|－1|＜－(－1) ；

11＝，(2)化简－(－3) ＝3，因为正数都大于0，所以－(－3) ＞0；(3)分别化简两数，得－⎛⎝66

1111－⎪＝－，因为正数大于负数，所以－⎛－⎫＞－⎪－⎪；(4)同时化简两数，得－(－|－⎪

⎪7⎪⎝6

⎭⎪7⎪7－3.4|)＝3.4，－(＋|3.4|)＝－3.4，所以－(－|－3.4|)＞－(＋|3.4|)．

答案：(1)＜ (2)＞ (3)＞ (4)＞

解技巧 比较较复杂形式的数的方法 在比较大小时，有时可能出现含有负数的绝对值或负数的相反数的形式给出的数，这种形式给出的数不容易直接观察出大小，我们要先化简，然后再选择适当的比较方法进行大小比较．

3．几个有理数的大小比较

几个有理数的大小比较主要有以下几条法则：(1)正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；(2)绝对值越大的正数就越大；绝对值越大的负数反而越小；(3)在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大．

利用数轴能揭示点的位置关系与数的大小关系的联系，所以较好地体现了数形结合的思想，利用它能方便地解决多个有理数(或其绝对值、相反数等) 大小比较的问题．

213【例3】 用“＜”号将0.01，－，0，，－连接起来． 31 0004

11233分析：这一列数中，正数有0.01，，且＜0.01；负数有－，－，且－＜－1 0001 000344

2321；还有0，根据有理数的大小比较法则可知，－＜－＜0＜＜0.01. 3431 000

321解：－＜－＜0＜＜0.01. 431 000

解技巧 用“＜”(或“＞”) 连接有理数的方法 用“＜”号连接时，先按绝对值由大到小排列负数，再排0，最后按绝对值由小到大排列正数．

4. 利用数轴比较含有字母的有理数的大小

“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计算，利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识联系，它使数和直线上的点建立了对应关系，揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．

含有字母的有理数的大小本来是不确定的，例如字母a 可以表示任意有理数，但是只要把字母的位置确定在数轴上，它们的大小关系就能确定．

【例4】 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，试比较a ，－a ，b ，－b ，c ，－c, 0的大小，并用“＜”号连接．

分析：观察数轴知a ＜0，b ＜0，c ＞0；根据绝对值的意义，|a |＞|b |＞|c |；根据相反数的

几何意义，可以把a ，－a ，b ，－b ，c ，－c, 0的大小都表示在数轴上，从而利用数轴比较大小．

解：把a ，－a ，b ，－b ，c ，－c, 0分别表示在数轴上，如图所示．

所以a ＜b ＜－c ＜0＜c ＜－b ＜－a .

析规律 互为相反数和绝对值相等的两个数的几何特点 互为相反数的两个数在数轴上到原点的距离相等，绝对值相等的两个数在数轴上到原点的距离相等．

5．有理数的大小关系在现实生活中的应用

比较一些数的大小关系，在现实生活中经常遇到，例如比赛时按成绩排列顺序等，这时经常利用数轴来进行排序．

在现实生活中，经常利用有理数的绝对值的大小来判断产品的好坏，工具的精益程度等．绝对值越小说明产品越好，越接近标准；绝对值越小说明所测量的工具越精益．

在数轴上通常通过绝对值求距离，以此来判断两个目标之间的距离关系．这时就要根据绝对值的几何意义，结合数轴求解．

中考中经常以“数轴”为背景设计有理数的大小比较问题，它重点考查同学们大小比较的能力以及数形结合的能力．数轴能够实现数与形的结合，而绝对值采用的是分类讨论的思想方法，这两种思想方法是同学们应该重点掌握的方法，在现实生活中有广泛的应用，经常用来解决实际问题．

【例5】 在一次游戏结束时，5个队的得分如下(答对得正分，答错得负分)

A 队：－50分；

B 队：150分；

C 队：－300分；

D 队：0分；

E 队：100分．

(1)把这些队的得分按低分到高分排序；

(2)画一条数轴，将每个队的得分标在数轴上，同时将代表该队的字母也标上；

(3)从数轴上看，A 队与B 队的距离是多少？A 队与C 队的距离是多少？C 队与D 队的距离是多少？

分析：(1)按“负数＜零＜正数”的顺序排列；(2)画数轴时单位长度规定为100比较合适；(3)求两队之间的距离，直接数出数轴上表示两队的点之间的单位长度．

解：(1)－300分＜－50分＜0分＜100分＜150分；

(2)如图所示：

(3)A 队与B 队的距离是200分，A 队与C 队的距离是250分，C 队与D 队的距离是300

分．