利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围
课型:专题复习课
复习重点:利用导数的有关知识,求参数的取值范围
基础知识:导数的几何意义、函数的极值和最值的求法、函数单调性的充要条
件的应用.
复习难点:解题方法灵活变通.
一. 已知函数单调性,求参数的取值范围
类型1.参数放在函数表达式上
例1.设函数f (x ) =2x 3-3(a +1) x 2+6ax +8其中a ∈R .
(1) 若f (x ) 在x =3处得极值, 求常数a 的值. (2) 若f (x ) 在(-∞, 0) 上为增函数, 求a 的取值范围
略解:(1)由f ' (3) =0解得a =3. 经检验知a =3时, x =3为f (x ) 的极值点
(2)方法1:f ' (x ) =6x 2-6(a +1) x +6a =6(x -a )(x -1)
当a >1时, f (x ) 在(-∞, 1), (a , +∞) 上递增, 符合条件.
当a =1时, f (x ) =6(x -1) 2≥0恒成立, f (x ) 在(-∞, +∞) 上递增.
当a
综上所述. a ≥0时, f (x ) 在(-∞, 0) 上递增.
方法2:
因为f (x ) 在(-∞, 0) 上递增
所以f ' (x ) ≥0在x ∈(-∞, 0) 上恒成立
即x (x -1) ≥a (x -1) 在x ∈(-∞, 0) 上恒成立
x
∴x ≤a
从而a ≥0
方法3.
保证f ' (x ) =6x 2-6(a +1) x +6a 在(-∞, 0]上最小值大于或等于零
⎧a +1⎧a +1≥0
⎪⎪f ' (0) ≥0⎩∆≤0⎩
可解得a ≥0
解题方法总结:求f ' (x ) 后,若能因式分解则先因式分解,讨论f ' (x ) =0两根的大小
判断函数f (x ) 的单调性,若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成
立问题.
基础训练:
1. 设函数f (x ) =2x 3-3(a -1) x 2+1, 其中a ≥1
(1). 求f (x ) 的单调区间;
(2). 讨论f (x ) 的极值.
类型2.参数放在区间边界上
例2.已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d 在x =0处取得极值, 曲线y =f (x ) 过原点和点
p(-1,2),若曲线y =f (x ) 在点P 处的切线与直线y =2x 的夹角为45 且切线的倾斜角为
钝角.
(1) 求f (x ) 的表达式
(2) 若f (x ) 在区间[2m-1,m+1]上递增, 求m 的取值范围.
略解 (1)f (x ) =x 3+3x 2
(2) f ' (x ) =3x 2+6x =3x (x +2) 可知f (x ) 在(-∞, -2), (0, +∞) 上递增, 在(-2, 0) 上递减
从而只要保证[2m -1, m +1]是(-∞, -2) 或(0, +∞) 的一个子区间
⎧m +1≤-2⎧2m -1≥0 所以⎨或⎨⎩m +1>2m -1⎩m +1>2m -1
1解得m ∈(-∞, -3] [, 2]2
总结:先判断函数的单调性, 再保证问题中的区间是函数单调递增(递减) 区间的一个子
区间即可.
基础训练:
2. 已知函数f (x ) =x 3+3x 2-7, 若f (x ) 在[a , a +1]上单调递增, 求a 的取值范围.
二.已知不等式在某区间上恒成立,求参数的取值范围
类型1.参数放在不等式上
2例3. 已知f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 在x =-与x =1时都取得极值 3
(1) 求a、b的值及函数f (x ) 的单调区间.
(2) 若对x ∈[-1, 2],不等式f (x )
1略解:(1)a =-, b =-2 2
22223(2). f ' (x ) =3x 2-x -2, 由3x 2-x -2=0得x =-或x =1且f (-) =+c , f (1) =-+c 33272
1f (-1) =+c , f (2) =2+c , 所以f (x ) 在[-1, 2]上的最大值为f (2) =2+c 2
从而c 2>2+c ,解得c 2
总结:区间给定情况下, 转化为求函数在给定区间上的最值.
基础训练:
3x 2
3. 已知函数f (x ) =x --2x +5, 若对任意x ∈[-1, 2]都有f (x ) >m 则实数m 的取值范围是__________2
类型2.参数放在区间上
例4.已知三次函数f (x ) =ax 3-5x 2+cx +d 图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且
f (x ) 在x=3处有极值.
(1) 求f (x ) 的解析式.
(2) 当x ∈(0, m ) 时, f (x ) >0恒成立, 求实数m 的取值范围.
分析:(1)f (x ) =x 3-5x 2+3x +9
(2). f ' (x ) =3x 2-10x +3=(3x -1)(x -3)
11由f ‘(x ) =0得x 1=, x 2=3当x ∈(0, ) 时f ' (x ) >0, f (x ) 单调递增,所以f (x ) >f (0) =933
1当x ∈(, 3) 时f ' (x ) f (3) =03
所以当m >3时f (x ) >0在(0, m ) 内不恒成立,当且仅当m ∈(0, 3]时f (x ) >0在(0, m ) 内恒成立
所以m 的取值范围为(0, 3]
基础训练:
4. 若不等式x 4-4x 3≥2-a 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围是___________.
三.知函数图象的交点情况,求参数的取值范围.
例5. 已知函数f (x ) =ax 3+bx 2-3x 在x =-1, x =1处取得极值
(1) 求函数f (x ) 的解析式.
(2) 若过点A (1, m )(m ≠-2) 可作曲线y=f (x ) 的三条切线, 求实数m 的取值范围.
略解(1)求得f (x ) =x 3-3x
3(2)设切点为M (x 0, x 0-3x 0), 因为f ' (x ) =3x 2-3
2所以切线方程为y -m =(3x 0-3)(x -1), 又切线过点M
32所以x 0-3x 0-m =(3x 0-3)(x 0-1)
32即2x 0-3x 0+m +3=0*
因为过点A 可作曲线的三条切线, 所以关于x 0的方程*有三个不同的实数根
322设g (x 0) =2x 0-3x 0+m +3则g ' (x 0) =6x 0-6x 0
由g ' (x 0) =0得x 0=0或x 0=1
所以g (x 0) 在(-∞, 0), (1, +∞) 上单调递增, 在(0, 1) 上单调递减, 故函数g (x 0) 的极值点为x 0=0, x 0=1
⎧g (0) >0所以关于x 0的方程*有三个不同实根的充要条件是⎨解得-3
所求的实数m 的取值范围是(-3, -2)
总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数.
基础训练:
5. 设a 为实数, 函数f (x ) =x 3-x 2-x +a
(1) 求f (x ) 的极值
(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线y =f (x ) 与x 轴仅有一个交点
四. 开放型的问题,求参数的取值范围。
例6.已知f (x ) =x 2+c , 且f [f (x )]=f (x 2+1) 。
(1)设g (x ) =f [f (x )],求g (x ) 的解析式。
(2)设ϕ(x ) =g (x ) -λf (x ) ,试问:是否存在λ∈R ,使ϕ(x ) 在(-∞, -1)上是单调递减函数,且在(-1, 0)上是单调递增函数;若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由。
分析:(1)易求c=1,g (x ) =x 4+2x 2+2
(2)ϕ(x ) =g (x ) -λf (x ) =x 4+(2-λ) x 2+(2-λ) ,∴ϕ'(x ) =2x [2x 2+(2-λ)] 由题意ϕ(x ) 在(-∞, -1)上是单调递减函数,且在(-1, 0)上是单调递增函数知,ϕ(-1) =0是极小值,∴由ϕ'(-1) =0得λ=4
当λ=4,x ∈(-1, 0) 时,ϕ'(x ) >0, ∴ϕ(x ) 是单调递增函数;
x ∈(-∞, -1) 时,ϕ'(x )
在文科数学中, 涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决, 只要把导数的几何意义, 用导数求函数的极值及最值, 用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂, 那么, 利用导数求参数的取值范围这个问题即可迎刃而解.