矩形.菱形的性质及判定
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
一、知识概述
1.矩形的有关概念
矩形:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2、矩形的性质定理 说明:矩形具有平行四边形的一切性质. 定理1:矩形的四个角都是直角. 定理2:矩形的对角线相等. 推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3、矩形的判定定理
定理1:对角线相等的平行四边形是矩形. 定理2:有三个角是直角的四边形是矩形. 4.菱形的有关概念
菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
5、菱形的性质定理 说明:菱形具有平行四边形的一切性质,并且具有它特殊的性质. 定理:菱形的四条边都相等. 定理2:菱形的对角线互相垂直.并且每条对角线平分一组对角. 6、菱形的判定定理
定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理2:四条边都相等的四边形是菱形. 二、重难点知识归纳
1、特殊的平行四边形知识结构
三、典型例题讲解
例1.菱形的周长是8 cm,则菱形的一边长是______.
变式1.菱形的一个内角为120°, 平分这个内角的对角线长为11厘米,菱形的周长为______. 变式2.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm,则菱形的面积是_______.
变式3.菱形的面积为24 cm2,一对角线长为6 cm,则另一对角线长为______,边长为______.
例2. 如图,已知□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ,与AC 相交于点O . 求证:四边形AFCE 是菱形.
变式1. 如图所示,M ,N 分别是平行四边形ABCD 的对边AD ,BC 的中点,且AD=2AB,求证四边形PMQN 为矩形.
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1. 矩形的两条对角线的夹角之一为60°,矩形的较短边与一条对角线的长的和是12cm ,则较长的边长为 ,较短的边长为 ,对角线的长为 .
2. 矩形的两条对角线的夹角为60°,较短边的长为12cm ,则对角线的长为________cm 3. 如图,矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于点E ,∠BAE=30°,BD=15cm,则AB=________
4. 如图所示,在矩形ABCD 中,DG ⊥AC ,G 为垂足,∠CDG:∠GDA=1:3,那么∠BDG=_____;若AC=8,DG=_____ D
A A C
B D C B C F
第4题 第5题 第3题
5. 如图,已知在矩形ABCD 中,DF 平分∠ADC ,交AC 于点E ,交BC 于点F ,∠BDF=15°,则∠DOC=_______,∠COF=_______ 6. 如图,菱形ABCD 中,∠B=∠EAF=60°,∠BAF=75°,则∠CEF=_______度
7. 如图,矩形ABCD 中,若AE ⊥BD 于E ,且OE ∶OD =1∶2,AE =3cm ,则DE =cm 。
。 D
A
D
B
第7题 第6题
8. 菱形的周长为20cm ,两邻角的比为1:2,较短对角线的长是 ,一组对边的距离为 ,面积是 9. 如果矩形的一边长为8,一条对角线长为10,那么这个矩形面积是__________。 10. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ,则它的面积为___
11.如图.边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是 .
12.如图,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF .若CD =6,则AF 等于____________. D
C '
B ' B F 第11题 第12题
1. 如图,在平行四边形ABC D 中,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F ,BD 与AE 、AF 分别相交于G 、H . (1)求证:△ABE ∽△ADF ;
(2)若AG =AH ,求证:四边形ABCD 是菱形.
2. 如图,在矩形ABCD 中,E 是AD 上一点,F 是AB 上一点,EF =CE ,且EF ⊥CE , DE =2cm ,矩形ABCD 的周长为16cm ,求AE 与CF 的长.
D
C
3. 已知:如图,平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ,F ,G ,H ,求证:四边形EFGH 是矩形。
4. 如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的一点,E 是AD 的中点,过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ,且AF =BD ,连结BF 。
(1) 求证:BD =CD ; (2) 如果AB =AC ,试判断四边形AFBD 的形状,并证明你的结论。
1
5如图所示,已知菱形ABCD 中E 在BC 上,且AB=AE,∠BAE=2∠EAD ,AE 交BD 于M ,试说明BE=AM。