半管型滑雪场的设计

U

型滑雪场的优化设计

摘要

正如大家所知，滑雪场的半管形状对滑雪运动员的动作的完成具有极其重要的作用，如垂直间距、旋转度等约束条件。因此，设计出满足运动需求的滑雪场已成为相关部门的巨大挑战，本文便是对此类问题的一个优化设计。

基于物理学分析，建立了U滑雪场地的优化模型，以提高运动员的腾空高度并完成更多复杂的技巧动作。主要分析了运动员在半管场地的曲型过渡滑道上的运动情况，包括摩擦力做功，能量转化等因素。这些因素都决定了运动员的起飞速度和腾空时间。

在传统场地的设计中存在一定的缺陷，针对这些问题, 模型首先将运动员与滑板视为同一质点，通过建立能量守恒定律建立数学模型，分段考虑整个滑雪过程，采用设立典型位置下运动员和滑板受力分析的方法，再由约束条件尽量做出具体的模型，改变单板滑雪场的形状，进而优化滑雪场。具体考虑到速度会受摩擦力的影响，为此特别通过MATLAB软件计算出槽的长度、过渡轨道的弧度、场地的倾角等因素找到了它们之间的最佳函数关系解析式，从而可根据此关系设计出能够尽量减少运动员的动能损失，最终可以保证足够大的腾空高度和缓冲地带长度以调整运动员的姿势来保持平衡。其关系式为：

1122

mvDmvAmgsAFsin22

mgR[22(cos2cos1)(sin2sin1)(221)(e(22)e(21))]-421

sCE-mgR(62cos23sin222e222e22822)

-mgcos-cos421

关键词：优化设计，能量守恒定律，受力分析，MATLAB

一、问题重述

1.1 有关滑雪场

滑雪竞赛是一项冬季极限运动，场地主要包括雪覆盖的斜坡，运动员在雪地上通过滑行完成比赛。其中，半管滑雪是集合竞技性与观赏性的一项冬季运动会运动项目。半管滑雪的场地是一个U型雪槽（见图1），滑雪者通过从与U型管相连接的助滑道滑入，以一定的初速度到达U型管边缘，之后运动员在槽中进行往返滑行，当其每次滑离U型管的边缘后可在空中做出翻转，弹跳等动作以完成表演。

1.2 问题的提出

确定一个滑雪场（现在仅知是半管状）的形状来使得一个滑板运动员所能达到的垂直间距最大化。修改形状以适应其他要求，例如使得运动员的扭转最大化。要建造一个实用的场地，又该做出何种取舍？

图1 U型滑雪场

[1]

二、问题分析

通过对单板滑雪比赛的视频观看，我们初步了解到一个运动员要想在空中更好地去展现自己的动作，就必须让自己拥有足够的腾空时间，那么在垂直间距内腾空时的速度就必须得到保证，而这些决定因素都与运动员所受到的重力、摩擦力和能量等物理学中的因素有着密切的关系。且若忽略了滑雪场内积雪质量和滑雪板的品质等条件，上述物理因素都会影响一个单板滑雪场的外形设计。

为此，本文将通过建立能量守恒模型，分段考虑整个滑雪过程，采用设立典型位置下运动员和滑板受力分析的方法，再由约束条件尽量做出具体的模型，改变单板滑雪场的形状，进而优化滑雪场，使熟练的单板滑雪选手最大限度地产生垂直腾空，更好的去展现该项运动的魅力。

三、模型的假设与符号说明

3.1 模型的假设

（1）假设忽略滑雪运动员的动作变化和位置变化导致的重心变化，将其视为同一个质点；

（2）假设雪道雪质达标且表面均匀、无凹凸；

（3）假设滑雪场处于真空环境中，即无空气阻力和环境变化； （4）假设运动员在滑道中间平坦地段的滑行路径为直线； （5）假设滑道上口与下口的宽度相等。 3.2 符号说明

四、模型的建立与求解

4.1 滑行路径模型的建立

根据滑雪比赛现场的视频观摩分析，我们可以得出U型滑雪场的基本机构图，如图2所示。以此建立模型，绘制简化模型图进行物理学分析。

图2

首先，我们假设滑雪者以v0的速度进入滑道，并在图3给定的路线上滑动，这被广泛认为能产生最低的能量损耗。此外，考虑到在接下来的时间里的能量损

失和精力的退化，每一次的腾空高度和和扭转幅度都在减小，我们会从滑雪者进入单板滑雪场入口到脱离滑道的那一刻来证明这个过程。[2]

图3

如图，滑雪运动员从点A进入，经过弧AB、BC、弧CD到达点D为滑雪运动员在雪上的一个过程。

sCEsDF

 cos （1） sBCsAD

sin

sGH

（2） sGI

据此分析可得，当运动员滑到点D时的动能越大，最大垂直距离越大。从点A到点D由于摩擦损失的机械能等于A、D两点机械能之差：

WfWAWD

1122

mvAmvDmgsAFsin （3） 22

4.2模型的分段分析与求解

通过上文对模型的基本了解，下面我们将对所建模型进行分段考虑，来更加详细的分析出在滑雪过程中，影响运动员腾出高度的重要因素，即每段摩擦力的做功情况。

（1）由图4对AB段进行分析：

图4

mgsinFNma Fv2

NmgcosmR

adv

dt

vd

R

dt

将式（5）对t求导，得

dFNdtmgsinddt2mvRdv

dt

联立式（4）（6）（7）（8）得

dFN

d

mgsin2FN 用MATLAB软件对其求解，得：（程序见附录1）

Fmg(2sincos)

2)N42

1

Ce( 当0时，FNmg，

得 C(422)

42

1

mg， mg(2sincose(2)(42即 F2))

N421

因此，通过以上那个计算求得AB段中摩擦力所做的功为

4）（5）（6）（7）（8）（9）10） 11） （

（ （

WfABFNdsFNRd

2

2

111

2

mgR(2sincose(2)(422))



421

用MATLAB解得：（见附录2）

mgR[22(coscos)(sinsin)(221)(e(22)e(21))]

W2121fAB

42

1

（2）由图5对BC段进行分析：

图5

FNmgcos fBCFNmgcos WfBCfBCsBC

mgcos

sCE

cos

（3）由图6对CD段进行分析：

图6

12）

13）

14）

（ （ （

-mgsinFNma （15）

v2

FNmgcosm （16）

Rdv

（17） dtvd

 （18）

Rdt

将式（16）对t求导，得

dFNd2mvdv

mgsin （19） dtdtRdt

联立式（15）（17）（18）（19）得

dFN

-3mgsin2FN （20） d

用MATLAB解得：（见附录3）

a

FN

3mg(2sincos)

Ce(2) 2

41

当0时，FNmg，

(424)

得 Cmg 2

41

mg(6sin3cose(2)(424))

即 FN 2

41

因此，求得CD段摩擦力所做的功为

WfCDFNdsFNRd

222

mgR(6sin3cose(2)(424))

2

41

用MATLAB解得：（见附录4）

WfCD

-mgR(62cos23sin222e222e22822)



421

然后，根据以上所得结果可知，运动员在滑行期间其摩擦力f所做的功为：

WfWfABWfBCWfCD

mgR[22(cos2cos1)(sin2sin1)(221)(e(22)e(21))]

421sCE-mgR(62cos23sin222e222e22822)

mgcos

cos421

根据式（3）得： 1122

mvDmvAmgsAFsin-Wf22

12

mvAmgsAFsin-WfAB-WfBC-WfCD

212

mvAmgsAFsin2mgR[22(cos2cos1)(sin2sin1)(221)(e(22)e(21))]-421

sCE-mgR(62cos23sin222e222e22822)

-mgcos-cos421

综上所述，根据能量守恒定律可知，运动员在整个运动过程所需的能量均

21

来自于初始动能，即mD。因此，运动员在滑道上完成比赛动作的情况，如扭

2

转、摸板、跳跃等动作的完成质量、高度的好坏均跟其有关。为此，滑雪场的U型槽的设计应根据此函数关系进行。

五、模型的评价与推广

5.1 模型的评价

优点：该模型可使运动员在空中的垂直距离达到最高，将人体看作刚体, 分析运动员在腾空时的扭转运动, 证明空中扭转并不影响腾空高度，充分利用物理学知识和微积分，建立了数学模型并求得了最优解，即得到了半管型场地设计最优的结论。该模型较成功的满足了提高运动员腾空高度的需求。

缺点：因没有具体数据而无法得到最为准确的设计数据。且把滑雪者和滑雪板视为同一质点的模型忽略了运动的质心在运动。事实上，偏离中心的质量不仅影响摩擦，也很影响直线运动。 5.2 模型的推广

该模型还适用于其他运动场地的设计问题，如滑冰赛场，只需将研究主体由滑板运动员换为滑冰运动员，其他计算理论与之相仿。

参考文献

[1] http://www.letv.com/ptv/vplay/514206.html

[2] 陈文君，赵丹，东栋.半管滑雪场地模型设计.纯粹数学与应用数学，2011.

附 录

附录1

>> dsolve('Dy=m*g*sin(t)-2*u*y') ans =

exp(-2*u*t)*C1+m*g*(-cos(t)+2*u*sin(t))/(4*u^2+1)

附录2

>> syms u m g r x y

y=int(u*m*g*r*(2*u*sin(x)-cos(x)+exp(-2*u*x)*(4*u^2+2))/(4*u^2+1),x1,x2) y =

m*g*r*(-2*u^2*cos(x2)-sin(x2)*u-2*exp(-2*u*x2)*u^2-exp(-2*u*x2)+2*u^2*cos(x1)+sin(x1)*u+2*exp(-2*u*x1)*u^2+exp(-2*u*x1))/(4*u^2+1)

附录3

>> dsolve('Dy=-3*m*g*sin(t)-2*u*y') ans =

exp(-2*u*t)*C1-3*g*m*(-cos(t)+2*u*sin(t))/(4*u^2+1)

附录4

>> y=int(u*m*g*r*(6*u*sin(x)-3*cos(x)+exp(-2*u*x)*(4*u^2+4))/(4*u^2+1),x,0,x1) y =

-m*g*r*(6*u^2*cos(x1)+3*sin(x1)*u+2*exp(-2*u*x1)*u^2+2*exp(-2*u*x1)-8*u^2-2)/(4*u^2+1)