必修五数学第三单元测试题

第三章 不等式

　　一、选择题

　　1．若a＝20.5，b＝log893，c＝log89sin，则( )．

　　A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

　　2．设a，b是非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是( )．

　　A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C．＜ D．＜

　　3．若对任意实数x∈R，不等式｜x｜≥ax恒成立，则实数a的取值范围是( )．

　　A．a＜－1 B．｜a｜≤1 C．｜a｜＜1 D．a≥1

　　4．不等式x3－x≥0的解集为( )．

　　A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)

　　C．[0，1)∪(1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，＋∞)

　　5．已知f(x)在R上是减函数，则满足f()＞f(1)的实数取值范围是( )．

　　A．(－∞，1) B．(2，＋∞)

　　C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1，2)

　　6．已知不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为图中( )．

　　

　　

　　 A B C D

　　7．设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝5x＋y的最大值是( )．

　　A．2 B．3 C．4 D．5

　　8．设变量x，y满足 设y＝kx，则k的取值范围是( )．

　　A．[，] B．[，2] C．[，2] D．[，＋∞)

　　9．已知a，b∈R，则使｜a｜＋｜b｜≥1成立的一个充分不必要条件是( )．

　　A．｜a＋b｜＜1 B．a≤1，且b≤1

　　C．a＜1，且b＜1 D．a2＋b2≥1

　　10．若lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为( )．

　　A． B． C． D．2

　　二、填空题

　　11．以下四个不等式：①a＜0＜b，②b＜a＜0，③b＜0＜a，④0＜b＜a，其中使＜成立的充分条件是 ．

　　12．设函数f(x)＝ 则不等式xf(x)＋x≤4的解集是____________．

　　13．若不等式(－1)na＜2＋对任意正整数n恒成立， 则a的取值范围是 ．

　　14．关于x的不等式x2－(a＋＋1)x＋a＋＜0(a＞0)的解集为__________________．

　　15．若不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是空集，则a的取值范围是 ．

　　三、解答题

　　16．已知函数f(x)＝x2－2x＋，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，求f(x)的最小值．

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

17．甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点?

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　18＊．已知关于x的不等式(ax－5)(x2－a)＜0的解集为M．

　　(1)当a＝4时，求集合M；

　　(2)当3∈M，且5∈M时，求实数a的取值范围．

　　

　　

　　

　　

　　

　

　

　　

　　

　　

　　

　　

第三章 不等式

参考答案

　　一、选择题

　　1．A

　　解析：三个以上的实数比较大小，可以先估算，进行分类(与0比较或与1比较)，再应用不等式性质或作差法．

　　因为89＞1，0＜sin＜1，所以c＝log8989sin＜0．

　　又因为3＞1，所以b＝log893＞0，而a＝20.5＞0，故c最小，只需再比较a与b的大小．

　　由指数函数的性质知，20.5＞1而且0＜log89893＜log898989＝1，所以a＞b，即a＞b＞c．

　　2．C

　　解析：比较两个实数的大小，可采用作差法，也可用特殊值排除法，以下用作差法．

　　∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，

　　当a＜b，且a，b均为负数时，(a＋b)( a－b)＞0，a2 ＞b2，排除A．

　　∵ab2－a2b＝ab(b－a)，

　　由于b－a＞0，当a，b同号时(比如a＝1，b＝2)，ab(b－a)＞0，ab2＞a2b，排除B．

　　∵－＝＜0，即＜．

　　同样可以用作差法判断＜是错误的．

　　3．B

　　解析：由于不等号两边的函数比较熟悉，可以尝试数形结合法．

　　令f(x)＝｜x｜，g(x)＝ax，画出图象如右图，

　　由图可以看出｜a｜≤1．

　　4．D

　　解析：用数轴标根法求解．

　　x3－x≥0可化为

　　x(x－1)(x＋1)≥0，

　　如图，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤0，或x≥1}．

　　5．C

　　解析：关键是利用单调性去掉“f”，转化为不含“f”的不等式求解．

　　∵f(x)在R上是减函数，

　　∴f()＞f(1)＜1＞0x＜1或x＞2．

　　6．B

　　解析：首先根据方程ax2－x－c＝0的根确定a，c，再求出f(－x)．

　　由已知，方程ax2－x－c＝0的两个实根为－2和1，则(－2)＋1＝，(－2)×1＝，解得a＝－1，c＝－2，则f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，由开口方向和对称轴位置判断为B．

　　7．D

　　解：先画可行域如图．作直线l0:5x＋y＝0，平行移动直线l0至直线l，从图形中可以发现，当直线l经过平面区域内的点A时，直线在y轴的截距最大，此时z最大．

　　由，解得，即A(1，0)，

　　∴z＝5×1＋0＝5．

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

8．C

　　解析：k的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率．

　　解: 先画出题中不等式组所表示的区域(如图)，可以看出kOA最小，kOB最大．

　　由得A(2，1)，

　　kOA＝＝；

　　由得B(1，2)，

　　kOB＝＝2．∴≤k≤2，即k∈[，2]．

　　9．D

　　分析:如果①：某选项能推出|a|＋|b|≥1，则充分性成立；还需要②：|a|＋|b|≥1不能推出该选项，①和②满足，该选项就是充分不必要条件．

　　解：若a2＋b2≥1，则(|a|＋|b|)2＝a2＋2|ab|＋b2≥a2＋b2≥1，|a|＋|b|≥1，充分性成立．但|a|＋|b|≥1时，未必有a

2＋b2≥1，例如＋＝1，然而＋＜1．

　　10．B

　　解：∵lgx＋lgy＝2，∴xy＝100，且x＞0，y＞0，

　　∴＋≥2＝，即＋≥，

　　当且仅当　x＝10，y＝10时取等号．

　　二、填空题

　　11．①②④．

　　解：a＜0＜b＜0＜，充分性成立；

　　b＜a＜0ab＞0，b－a＜0＜0，即＜，充分性成立；

　　b＜0＜a＜0，＞0＞，充分性不成立；

　　0＜b＜aab＞0，b－a＜0＜，充分性成立．

　　12．{x｜0＜x≤2，或x＜0}．

　　解析：由于f(x)是分段函数，所以要分别对每一段(分别在x＞0，x＜0条件下)解不等式．

　　由 0＜x≤2，

　　由 　x＜0，

　　∴0＜x≤2或x＜0．

　　13．［－2，)．

　　解析：首先处理(－1)n，需要对n的奇偶性进行讨论．

　　若n为奇数，原不等式－a＜2＋ a＞－(2＋)，即a＞－(2＋)对任意正奇数n恒成立，因为－(2＋)＝－2－＜－2，所以只需a≥－2．

　　若n为偶数，原不等式a＜2－，即a＜2－对任意正偶数n恒成立，

　　只需a＜(2－)最小值＝2－＝，即a＜．

　　所以若对任意正整数n不等式恒成立，以上应同时满足，

　　故－2≤a＜．

　　14．{x｜1＜x＜a＋}．

　　解析：首先判断方程x2－(a＋＋1)x＋a＋＝0(a＞0)是否有实数根，实数根大小是否确定．

　　x2－(a＋＋1)x＋a＋＜0可化为(x－1)[x－(a＋)]＜0，

　　∵a＞0，a＋≥2＞1，∴1＜x＜a＋．

　　15．{x｜－1＜a＜3}．

　　解析：把问题等价转化为“恒成立”问题．

　　x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是空集，

　　 x2－2x＋3＞a2－2a－1在R上恒成立，

　　 x2－2x－a2＋2a＋4＞0在R上恒成立．

　　因为抛物线y＝x2－2x－a2＋2a＋4开口向上，故只需△＝4－4(－a2＋2a＋4)＜0，

　　即x2－2x＋3＜0－1＜a＜3．

　　三、解答题

　　16．解析：f(x)＝(x－1)2＋－1≥2－1＝．

　　当x－1＝时，即x＝1±时，f(x)取到最小值．

　　17．分析：行走时间短者先到达指定地点，问题的实质是比较两个实数(式子)的大小，用作差法．

　　解：设从出发地到指定地点的路程是s，甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，则，，所以t1＝，t2＝．

　　t1－t2＝=，

　　因为s，m，n均为正数且m≠n，所以t1－t2＜0，即t1＜t2，

　　所以甲比乙先到达指定地点．

　　18＊．解：(1)当a＝4时，(ax－5)(x2－a)＜0(x－)(x－2)(x＋2)＜0，由数轴标根法得x＜－2，或＜x＜2．

　　故M＝{x｜x＜－2，或＜x＜2}．

　　(2)3∈M，且5∈M

　　 1≤a＜，或9＜a≤25．

　　故实数a的取值范围是{x｜1≤a＜，或9＜a≤25}．

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