一元一次方程专题讲解

一元一次方程专题讲解

（一）知识专题讲解

专题1 行程问题

专题概说：行程问题中常用的关系式：路程＝速度×时间。 一般行程问题包括三种情况：

① 相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离 ② 追及问题：

a、 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程

b、 同时不同地出发：前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程 ③ 航行问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速速－水流速度

例1 甲、乙两人相距40千米，甲先出发1.5小时乙再出发，甲在后乙在前，两人同向而行，甲的速度是每小时8千米，乙的速度是每小时6千米，甲出发几小时后追上乙？

例2 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲的速度比乙快3千米每小时，两人从上午8时出发，上午10时还相距15千米，到中午12时两人又相距15千米，求A、B两地间的距离。

例3 在水流速度为2.5千米每小时的航段，从A地上船沿江而下至B地，然后逆江而上到C地下船，共4小时（其中AB＞BC），若A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米每小时，求A、B间的距离。

专题2 商品利润率问题

专题概说：商品销售问题中常用的关系式：商品利润＝商品售价－商品进价；标价＝进价×（1＋利润率）；

商品利润率＝商品利润／商品进价×100％。

例1 某种风扇因季节原因准备打折出售，如果按原定价的7.5折出售，将赔30元；如果按原定价的9折出售，将赚15元，问这种风扇的原定价为多少元？

例2 商店将某种彩电先在进价的基础上提高40％标出售价，然后以80％的优惠价出售，结果每台彩电赚了300元，则经销这种彩电的利润率是多少？

专题3 工程问题

专题概说：未知工作总量，常把工作总量看做1。常用关系式：工作量＝工作效率×工作时间；各部分工作量之和＝1。 例1 某项工作，甲单独做要4h完成，乙单独做要6h完成，甲先做30min，然后甲、乙一起做，问：甲、乙一起做还要多长时间才能完成全部工作？

例2 一项工作，甲单独完成要用9天，乙单独完成要用12天，丙单独完成要用15天，若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，则还要多少天才能完成这项工作的5／6？

专题4 劳力调配问题

专题概说：解此类题时除了要找准调配后各处人数之间的数量关系，还要弄清楚调配前各处人数和调配后各处人数，一般从调配后的数量关系中找相等关系。 例1 少先队中两个中队参加义务劳动，第一中队有42人，第二中队有36人。因任务需要，要求第一中队的人数比第二中队的人数多一倍。问：需要从第二中队中抽调多少人支援第一中队？

例2 某机关有三个部门，A部门有公务员84人，B部门有公务员56人，C部门有公务员60人，现要求每个部门按相同的比例裁员，使这个机关仅留下公务员150人，那么C部门留下的公务员是多少人？

专题5 数字问题

专题概说：要弄清数字与数的关系，能正确表示多位数是解题的关键。一般地，要抓住数字间或新数与原数之间的关系找相等关系，常需设间接未知数列方程。 例1 一个三位数，它的百位上的数字比十位上的数字的2倍大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍小1，如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数。

例2 一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和是9，这个两位数加上27就等于十位上的数字与个位上的数字对调后的两位数，求原来的两位数。

专题6 浓度问题

专题概说：浓度问题也是常见的问题，它有溶液稀释问题，加浓问题以及混合配制问题，解决这些问题的关键是抓住配制前后溶质之间的关系，溶液之间的关系或者是溶剂之间的关系，必要时可先画图或列表帮助分析。

常用的关系式：溶液的量＝溶质的量＋溶剂的量；浓度＝溶质的量／溶液的量×100%。

例1 要配制浓度为10%的盐酸溶液200毫升，现在要求用浓度为16%的盐酸溶液50毫升，然后再加入浓度为5%的甲种盐酸溶液和浓度为30%的乙种盐酸溶液，应再取这两种溶液各多少毫升？

例2 要配制浓度为10%的盐水100千克，若只有浓度为5%的盐水，则需取多少千克盐水，再加多少千克盐？

专题7 等积变形问题

专题概说：解决此类问题时，常用几何图形的面积、周长、体积计算公式进行相关运算。 常用的相等关系是：① 形变积不变；②形变积也变，但质量不变。

例1 将一个底面直径为10厘米，高为40厘米的圆柱形钢坯锻压成底面直径为20厘米的圆柱形钢坯，高变成多少？（提示：圆柱的体积＝底面积×高）

例2 用一个底面半径为40mm，高为120mm的圆柱形小玻璃杯向一个底面半径为100mm的圆柱形大玻璃杯中倒水，倒了满满10小杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm，则大玻璃杯的高度是多少？

专题8 储蓄问题

专题概说：从1999年11月1日起，国家对个人在银行存款的利息征收利息税，税率是20%，储户取款时由银行代扣代收。此问题中常用的相等关系有：①利息＝本金×利率×存期；②本息和＝本金＋税后利息；③税后利息＝利息×（1－20%）。

例1 某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元，甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为3.7%，一年到期后，扣除20%的利息税，共得利息5000元，求甲、乙两种存款各多少万元？

例2 若银行一年定期储蓄的年利率为1.98%，某储户到银行领取一年到期的本金和利息时，扣除了20%的利息税198元，问：该储户存入银行的本金是多少元？该储户实得利息是多少元？

（二）思维方法专题讲解

专题9 数形结合思想方法

专题概说：数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数与形结合起来分析问题的思想方法，本章在列方程解应用题时常用这种方法分析问题。

例1 A、B两站间的距离为448千米，一列慢车从A站出发，每小时行驶60千米，一列快车从B站出发，每小时行驶80千米，两车相向而行，慢车先开28分钟，快车开出多少小时后两车相遇？

例2 A、B两地相距50千米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，同向而行，若甲先出发两小时后，乙再出发，且甲在乙后面，已知甲的速度为16千米每小时，乙的速度为10千米每小时，问乙出发几小时后被甲追上？

专题10 分类讨论的思想方法

专题概说：在列方程解决实际问题时，常常遇到决策性问题与方案探究性问题，解决此类问题，最常用的就是分类讨论的思想方法，分类讨论思想，就是对所有可能出现的情形进行讨论，最后进行优化选择。

例1 长沙市某公园的门票价格如下表所示：

某校九年级甲、乙两班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。若以班为单位分别购买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购买门票，一共只需付515元，那么甲、乙两个班分别有多少人？

例2 某市百货商场元月一日搞促销活动，购物不超过200元不给予优惠；超过200元，而不足500元优惠10%；超过500元，其中500元按九折优惠，超过500元部分按八折优惠，某人两次购物分别花了134元和466元。

（1） 此人两次所购买的物品如果不打折，共值多少钱？ （2） 在此次活动中，他节省了多少钱？

（3） 若此人一次性购买相同的商品能节省多少钱？