高中数学常用逻辑用语知识点

高中数学常用逻辑用语

目标认知

考试大纲要求：

1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2. 了解命题“若p, 则q ”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系. 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

重点：难点：

充分条件与必要条件的判定

根据命题关系或充分(或必要) 条件进行逻辑推理。

知识要点梳理知识点一：命题

1.

定义：

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.

（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题 （3）命题“① 若要判断命题“判断。如：

”的真假判定方式：

”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助

一定推出.

”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.

② 若要判断命题“ 注意：“

不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.

2. 逻辑联结词：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.

（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：

①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）. （3

①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。 ③“非p ”与p 的真假相反. 注意：

（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：一是p 成立

且q 不成立，二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 也成立。可以类比于集合中“（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：

“p 或q ”的否定是“

p 且

q ”； “p 且q ” 的否定是“

p 或

q ”.

或

”.

（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

知识点二：四种命题

1. 四种命题的形式：

p 和

q 分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式为：

用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用

原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若

p 则

q ； 逆否命题：若

q 则

p.

2. 四种命题的关系

①原命题 ②逆命题

逆否命题. 它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.

否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.

除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命

题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。

知识点三：充分条件与必要条件

1.

定义：

对于“若p 则q ”形式的命题：

从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件p 与结论q 之间的关系． ①若p ②若p

q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； q ，但q

p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；

③若q ⇒p 且p ≠>q ，则p 是q 成立的必要不充分条件；

④若既有p q ，又有q p ，记作p q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.

⑤若p ≠>q 且q ≠>p ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件．

从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断p 、q 相应的集合关系．

建立与p 、q 相应的集合，即p :A =x p (x )成立若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若

A 若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若

B 若A =B ，则p 是q 成立的充要条件；

若A ⊆/B 且B ⊇/A ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件．

2. 理解认知：

{

}，q :B ={x q (x )成立}．

B ，则p 是q 成立的充分不必要条件； A ，则p 是q 成立的必要不充分条件；

（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，

再用结论 推条件，最后进行判断.

（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据. “当且仅当”. “有且仅有”. “必须且只须”. “等价于”“„反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：

（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原

命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用

与

；

与

；

与

的等价关系，对于

条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法. (3) 利用集合间的包含关系判断，比如A

B

A ，即A

B.

B 可判断为A

B ；A=B可判断为A

B ，且

如图：

“ “

”

”

“

“

，且

”

是

”是的充分不必要条件.

的充分必要条件.

知识点四：全称量词与存在量词

1. 全称量词与存在量词

全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“

”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)

”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.

成立”可表示为“

（II ）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”，“有点”, “有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有 存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示 为“

2. 对含有一个量词的命题进行否定

”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.

（I ）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：

，他的否定

：

全称命题的否定是特称命题。

（II ）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：注意：

（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一

次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。

，他的否定

：

特称命题的否定是全称命题。

规律方法指导

1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真

假性一致.

2. 要注意区分命题的否定与否命题.

3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二 者相互对照可加深认识和理解.

4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分 性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命 题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件. 5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。

总结升华：

1. 判断复合命题的真假的步骤： ①确定复合命题的构成形式；

②判断其中简单命题p 和q 的真假；

③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假. 2. 条件“

或

”是“或”的关系，否定时要注意.

类型二：四种命题及其关系

真假。

2. 写出命题“已知

是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其

解析：逆命题：已知 否命题：已知 逆否命题：已知 总结升华： 1. “已知

是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 是实数，若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题； 是实数，若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题。

是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；

2. 互为逆否命题的两个命题同真假； 3. 注意区分命题的否定和否命题.

类型三：全称命题与特称命题真假的判断

总结升华：

1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中每一个元素，验证要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个

，使

成立；

不成立可；

，使

2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个

成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.

类型四：充要条件的判断

总结升华：

1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；

2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是

与

关系.

类型五：求参数的取值范围

总结升华：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”. 可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论．

总结升华：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。

类型六：证明

总结升华：

1. 利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）. 从这个假设出发，经过推理论证， 得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现， 或以“至多„”、“至少„”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是 比原命题更具体更容易研究的命题.

2. 反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题． 总结升华：

1. 对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必须分清条件是什 么，结论是什么。 2. 充分性：由条件

结论；必要性：由结论

条件

.

”）.

3. 叙述方式的变化（比如是的充分不必要条件”等价于“的充分不必要要条件是

三、典型例题选讲

例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（1）已知a ，b ，c 为实数，若ac

（3）若x 2+y 2=0，则x ，y 全为零．

分析：写出一个命题的四种命题形式，关键是分清命题的条件与结论，把命题写成“如果„那么„”的形

式，再根据四种命题的定义写出其他三种命题即可．

解：（1）原命题是真命题；

逆命题：若ax +bx +c =0有两个不相等的实数根，则ac

2

2

2

2

（2）原命题形式可写成：若两条直线平行，则它们不相交，（真）； 逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，（假）； 否命题：若两条直线不平行，则它们相交，（假）； 逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行，（真）． （3）原命题是真命题；

逆命题：若x ，y 全为零，则x 2+y 2=0，（真）； 否命题：若x 2+y 2≠0，则x ，y 不全为零，（真）； 逆否命题：若x ，y 不全为零，则x 2+y 2≠0，（真）．

归纳小结：(1)本题考查了命题的四种形式，并能进行真假判断，强化对知识运用的灵活性．

(2)要注意四种命题之间的等价关系，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价．在判断一个命题是真命题时，要严格按照数学逻辑进行推理证明，而要说明它是假命题时，只需要举出一个反例即可．

(3)在否定条件或结论时，要注意否定词语的使用．常见否定词语有：

例2 说明下列命题形式，指出构成它们的简单命题： ⑴矩形的对角线垂直平分；

2

⑵不等式x -x -2>0的解集是x x >2或x

{

⑶4≥3； ⑷方程

没有实数根．

分析：根据命题中出现的逻辑联结词或隐含的逻辑联结词，进行命题结构的判断，其中解题的关键是正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义．

解：⑴这个命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：矩形的对角线互相垂直，q ：矩形的对角线互相平分．

22

q ：⑵这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：不等式x -x -2>0的解集是x x >2，不等式x -x -2>0

{}

的解集是或x x

⑶这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：4>3，q ：4=3． ⑷这个命题是“￢p ”的形式，其中p ：方程

有实数根．

{}

归纳小结：⑴本题考查了含有逻辑联结词的命题结构，要求能正确理解逻辑联结词，并找出隐含的逻辑联

结词，能根据命题形式分析问题、解决问题．

⑵把简单命题合成为复合命题或把复合命题分解为两个简单命题并判断其真假是本节的重点之一，关键在于理解逻辑联结词的含义．熟悉真值表可以加快对含有逻辑联结词的命题的真假判断．

⑶逻辑联结词中的“或”

、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不完全相同的．如逻辑词中的“或”含有可以兼有之意，而生活中的“或”一般不可兼有的意思．

例3（2008广东）已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）

A ．(⌝p ) ∨q B ．p ∧q C ．(⌝p ) ∧(⌝q ) D ．(⌝p ) ∨(⌝q )

分析：本题只需要判断出命题p 和命题q 的真假，根据真值表进行判断即可．

解：由题意可以判断命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以命题⌝p 是假命题，命题⌝q 是真命题．只有(⌝p ) ∨(⌝q ) 是真命题，故选D ．

归纳小结：（1）本题考查了命题的真假判断和真值表的使用，考查了逻辑判断的思辩能力和推理能力； （2）命题p ∨q 的真假判断是“一真就真，全假为假”；命题p ∧q 的真假判断是“一假就假，全真为真”；命题p 与⌝p 的真假相反.

例4（2009年北京）“α=

π

6

+2k π(k ∈Z ) ”是“cos 2α=

1

”的（ ） 2

A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

分析：简易逻辑中充要条件的判断前提是先明确条件与结论，即弄清楚哪个是条件，哪个是结论，再根据条件分析出推式的关系，从而利用定义和推式得到结论．

解：当α=

π

1π⎫π1⎛

+2k π(k ∈Z ) 时，cos 2α=cos 4k π+⎪=cos =，即p ⇒q ．反之，当cos 2α=623⎭32⎝

时，有2α=2k π+

或2α=2k π-

π

3

⇒α=k π+⇒α=k π-

π

6

(k ∈Z )，

(k ∈Z )，即q ≠>p ．

1

”的充分不必要条件，故选A ． 2

π

3

π

6

综上所述，“α=

π

6

+2k π(k ∈Z ) ”是“cos 2α=

例5（2008福建) 设集合A =⎨x

x ⎧⎫

⎩x -1⎭

A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断．

解：∵A =x 0

∴

A B . 故选A ． 归纳小结：（1）本题考查了充要条件的定义，这是高考试题题型的常见形式之一，可与其他考查内容综合．同时还考查了数学转化思想、合情推理能力．

（2）充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：①确定问题的条件和结论；②尝试从条件推结论，结论推条件；③确定条件是结论的什么条件．也可以从命题体现的集合运算关系，判断出命题间的条件．

在从条件推结论，结论推条件时，可以利用学过的定理、定义和公式直接做逻辑判断，或利用数轴或Venn 图分析两个集合的关系判断出“p ⇒q ”和“q ⇒p ”的真假．

例6（2007湖北）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④⌝p 是⌝s 的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命

{}

题序号是（ ）

A. ①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤

分析：本题命题及其关系较多，如果直接解决则比较麻烦，可以用符号“⇒”、“⇔”等符号表示，简化题意，解决方便．

解：由题意可知：p ⇒r ，且r ≠>p ，q ⇒r ⇒s ⇒q ．

所以s ⇔q ，①正确；p ⇒r ⇔q ，且q ≠>p ，②正确；r ⇔q ，③不正确； p ⇒r ⇔s ，且s ≠>p ，④正确；r ⇔s ，⑤不正确． 故选B ． 归纳小结：（1）本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题之间关系的转化，逆否命题的等价性，考查了逻辑思辩能力和转化思想．

（2）在命题之间的充分条件、必要条件、充要条件的推导过程中，使用符号语言可以简化过程，降低思维量．

例7 已知命题p ：-

x -1

≤2，命题q ：x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)，若￢p 是￢q 的充分不必要条3

件，求实数m 的取值范围．

分析：￢p 是￢q 的充分不必要条件转化为等价命题形式：q 是p 的充分不必要条件，利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，从而求出m 的取值范围．

解：记A =⎨x 1-

⎧⎩x -1⎫

≤2⎬={x -2≤x ≤10}， 3⎭

B ={x x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)}={x 1-m ≤x ≤1+m (m >0)}

∵￢p 是￢q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件，即

B

A .

⎧m >0

⎪

∴⎨1-m >-2，解得0

所以实数m 的取值范围是0

归纳小结：(1)本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，考查了转化思想的运用，强调了知识点运用的灵活性．

(2)对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，在判断或利用两个命题的充要条件时，可以利用它们的等价式，即将命题转化为另一个等价形式的命题，一般可以利用逆否命题的等价形式：

①若￢p ⇒￢q ，即q ⇒p ，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；

②若￢p ⇒￢q ，且￢q ≠>￢p ，即q ⇒p ，且p ≠>q ，则p 是q 的必要不充分条件； ③若￢q ⇒￢p ，且￢p ≠>￢q ，即p ⇒q ，且q ≠>p ，则p 是q 的充分不必要条件； ④若￢p ⇔￢q ，则p ⇔q ，即p 、q 互为充要条件；

⑤若￢p ≠>￢q ，且￢q ≠>￢p ，即q ≠>p ，且p ≠>q ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

例8（2009年海南、宁夏）有四个关于三角函数的命题：

p 1：∃x ∈R ，sin 2

x x 1

+cos 2= p 2：∃x 、y ∈R ，sin (x -y )=sin x -sin y 222

p 3：∀x ∈

[0, π]π=sin x p 4：sin x =cos y ⇒x +y =

2其中是假命题的有（ ）

A ．p 1，p 4 B．p 2，p 4 C．p 1，p 3 D．p 2，p 4

分析：若全称命题为真命题，必须对限定范围内的元素中的全体都成立；若特称命题是真命题，只需在限

定范围中有一个元素满足条件即可．

解：p 1是假命题，因为∀x ∈R ，sin

2

x x

+cos 2=1； 22

p 2是真命题，如x =y =0时成立； p 3是真命题， ∀x ∈[0, π]，sin x ≥0.

p 4是假命题，如x =

=sin x =sin x ； π

2

，y =2π时，sin x =cos y ，但x +y ≠

π

2

．

故选A ． 归纳小结：（1）本题考查了全称命题与特称命题的真假判断，同时也考查了对概念的转化能力和推理能力． （2）一般地说，全称命题与特称命题的真假判断方法是：

①判定一个全称命题是真命题时，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证p (x )成立即可； ②判定一个全称命题是假命题时，只要能列举出集合M 中的一个元素x 0，使p (x 0)不成立即可； ③判定一个特称命题是真命题时，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这个特称命题就是假命题．

例9（2007宁夏）已知命题p ：∀x ∈R , sin x ≤1，则（ ） A. ⌝p :∃x ∈R , sin x ≥1 B.⌝p :∀x ∈R , sin x ≥1 C. ⌝p :∃x ∈R , sin x >1 D.⌝p :∀x ∈R , sin x >1

分析：对全称（特称）命题的否定是将其全称（存在）量词改为存在（全称）量词，再将结论否定． 解：将∀变为∃，同时否定sin x ≤1，可以得到⌝p :∃x ∈R , sin x >1．

故选C ．

归纳小结：(1)本题考查了含有一个量词的命题的否定及否定词的运用，对学生的逻辑判断能力进行考查． (2)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p ：∀x ∈M , p (x )，它的否定￢p ：∃x 0∈M ，￢p (x 0)． 特称命题p ：∃x 0∈M , p (x 0)，它的否定￢p ：∀x ∈M ，￢p (x )． 要注意否定词的运用．

22

例10 已知命题p ：x +mx +1=0有两个不等的负根，命题q ：4x +4(m -2)x +10无实数根．若命

题p 与命题q 有且只有一个为真，求实数m 的取值范围．

分析：对命题p 和命题q 的条件进行化简可得m 的范围，再对p 、q 的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出m 的取值范围．

解：∵方程x +mx +1=0有两个不等的负根， 2

⎧m 2-4>0∴⎨，解得m >2.

⎩-m

∵方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实数根，

∴16(m -2)-16

若命题p 为真，命题q 为假，则⎨2⎧m >2，得m ≥3.

⎩m ≤1或m ≥3

⎧m ≤2若命题p 为假，命题q 为真，则⎨，得1

综上所述，实数m 的取值范围为1

归纳小结：(1)本题考查了方程求解的条件、命题真假的讨论、集合运算等知识，突出考查了分类讨论思想，和把命题真假转化为集合运算的能力．

(2)根据问题条件求出命题所对应的集合范围，将命题的真假条件转化为集合的运算，即当命题为真时，则条件所对集合为原集合，当命题为假时，则条件所对应的集合为补集．两个命题的真假同时成立，则条件所对应的集合为两个集合的交集．在命题的真假性不能确定的前提下，应作分类讨论．

四、本专题总结

本专题内容主要是常用逻辑用语，包括命题与量词，逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式．

1．要理解命题的四种形式，并会运用逻辑推理判断真命题，利用举反例判断假命题．原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假．

2．理解逻辑联结词的含义，能正确分析命题形式，指出构成它们的简单命题，并会依据真值表判断命题的真假．

3．注意一个命题的否定与命题的否命题是不同的，原命题的否定只否定结论，原命题的否命题既否定条件，又否定结论．

4．判断充要条件的三种方法是：定义法、等价法、利用集合间的包含关系作判断．

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